Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Bewirkt das Medium, in dem sich die Welle ausbreitet, weder Dämpfung noch Verstärkung,
so sind β und α reell. Substituiert man α= s und β=v mit s als zeitliche und v als räumliche
Frequenz, so ist
eine Lösung für alle s, mit der Dispersionsrelation
Durch Superposition erhält man
y(
x,
t)
=
∑
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i
A
+
x
si
( t − )
( ) c
−
s ⋅ e + A ( s )
i
y(
x,
t)
=
v (
s)
= ±
x
s ( t ± )
e c
∑
i
i
⋅ e
x
si
( t + )
c
( 3.
6)
( 3.
7)
Dies ist ebenfalls eine Lösung, wobei A + (s i) und A - (s i) willkürliche komplexwertige
Funktionen beliebiger Punkte s i in der komplexen Ebene sind. Setzt man s = jω und
erweitert die Summation zu einem Integral, so ergibt sich mit Hilfe des Fourier-Theorems
x x
y( x,
t)
= yr
( t − ) + yl
( t + )
c c
( 3.
8)
für willkürliche kontinuierliche Funktionen y r(x,t) und y l(x,t). Dies entspricht der 1747 von
d’Alembert vorgestellten Wanderwellenlösung der eindimensionalen Wellengleichung
[d’Alembert, 1747]. Eine von (t-x/c) bzw. (t+x/c) abhängige Funktion läßt sich als eine mit
der Geschwindigkeit c nach rechts bzw. links laufende Welle betrachten.
Abb. 3.2: Darstellung einer unendlich langen idealen Saite, die an den drei mit
‚p‘ markierten Orten fixiert wird, um der Saite im Bereich zwischen den beiden
äußeren Punkten eine Dreiecksform aufzuprägen. Diese Form ergibt sich aus
der Superposition zweier identischer dreieckiger Teilwellen, die sich mit derselben
Ausbreitungsgeschwindigkeit c in entgegengesetzte Richtung auf der Saite
ausbreiten. Die Form der Saite ergibt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Superposition
der beiden Teilwellen.
s
c
( 3.
5)