Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
K K
wobei R = = = Kε
als Wellenimpedanz der Saite bezeichnet wird.
c K
ε
Die Wellenimpedanz oder auch charakteristische Impedanz der Saite wird meist dargestellt
als
R ≡
K
Kε
= = cε
c
( 3.
40)
Man kann sie als geometrisches Mittel der beiden Trägheitswiderstände ‚Spannung‘
(Federkraft) und ‚Masse‘ (Trägheitskraft) betrachten [Smith, 2000].
Die digitalisierten Wanderwellenkomponenten der Kraftwelle können somit durch die
Wellenimpedanz R und die Geschwindigkeitswellenkomponenten v beschrieben werden:
Dies zeigt, daß innerhalb einer Wanderwelle die Kraft immer mit der Geschwindigkeit in
Phase ist 21 . Die fundamentale Beziehung f + = Rv + wird manchmal als das mechanische
Äquivalent zum Ohmschen Gesetz der Elektrodynamik bezeichnet [Smith, 2000].
Im Falle einer akustischen Röhre, wie z.B. einer Flöte, wird die Kraft durch den Druck
ersetzt. Man erhält die analoge Beziehung
mit R t als Wellenimpedanz der akustischen Röhre und p + (n) als nach rechts laufende
longitudinale Druckwellenkomponente; u ± (n) sind die Schallschnellewellen.
Innerhalb einer akustischen Röhre berechnet sich die Wellenimpedanz nach [Morse, 1981;
Kinsler&Frey et.al., 2000] aus
Online-Version 1.0
f
f
( n)
= Rv ( n)
−
( n)
= −Rv
( n)
R
t
⋅c
≡
A
ρ
wobei ρ die Masse pro Luftvolumen und c L die Schallgeschwindigkeit in Luft ist. A ist die
Querschnittsfläche der akustischen Röhre [McIntyre et al., 1983].
+
−
+
+
p ( n)
= R u ( n)
−
−
p ( n)
= −R
u ( n)
t
+
t
21 Dies gilt nur mit der Annahme, daß das Minuszeichen eine Richtungsänderung angibt und keine
Phasenänderung. Das Minuszeichen verschwindet, wenn man die linksgerichtete Kraftwelle als
Saitenkraft definiert betrachtet, die nur nach links wirkt (s.o., f l = -f r).
43
L
( 3.
41)
( 3.
42)
(
3.
43)