Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Im Falle von transversalen Wellen (man vergleiche die in Abschnitt 3.3.1 abgeleitete
Beziehung p ± (n) = ± R t u ± (n)) erfüllen die sich ausbreitenden ebenen Wellen in jeder der
drei Bereiche die Beziehung [Kolsky, 1963]
wobei die Wellenimpedanz nun durch R = Υρ
beschrieben wird, mit ρ als Massendichte
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i
und Y als Elastizitätsmodul (Young-Modul) des Mediums. Wenn der Wellenwiderstand R i
konstant ist, wird die Form der sich fortpflanzenden Welle nicht geändert, während sie sich
von einem Ende einer Sektion zum anderen ausbreitet. In diesem Fall muß man f i ± an den
Begrenzungen jedes Bereiches nur als Funktion der Zeit betrachten. Wie in Abb. A6.1
gezeigt, wird f i ± (t) als Kraft am linken Rand der Sektion i definiert. Folglich finden wir dann
am rechten Rand der Sektion i die Wanderwellen f i + (t-τ) und fi - (t+τ), wobei τ die Zeit ist, die
die Teilwelle benötigt, um vom einen Ende der Sektion zum anderen zu gelangen.
Die Erhaltung von Energie und Masse erzwingt, daß die Kräfte und Geschwindigkeiten an
einer Impedanzdiskontinuität kontinuierlich sind:
Dabei sind Kraft und Geschwindigkeit links und rechts von der Verbindung als positiv
definiert sind. Zusammen mit den letzten beiden oberen Gleichungen folgen aus Gleichung
(A6.1) analog zu optischen Wellenleitern die ‚Streubeziehungen‘:
wobei
der i-te Reflektionskoeffizient genannt wird. Solange R i(t) ≥ 0 ist, bleibt k i(t) ∈ [-1,1]. Die
Streubeziehungen werden in Abb. A6.1 b) und Abb. A6.2 schematisch veranschaulicht. Im
Bereich der linearen Sprachsynthese nennt man solche Konstruktionen ‚Kelly-Lochbaum‘-
Streuverbindungen [Markel&Gray, 1976].
−
±
±
f i
i
( t)
= ± Riv
( t)
(A6.
1)
f
v
i−1
i−1
( c ⋅T
, t)
= f
( c ⋅T
, t)
= v
s
s
133
i
i
( 0,
t)
( 0,
t)
+
+
−
f i
i i − s i i
( t)
= [ 1+
k ( t)]
f 1 ( t − T ) − k ( t)
f ( t)
f i−1
( t + Ts
) = ki
( t)
f i −1
( t −Ts
) + [ 1 − k i ( t)]
f i
+
−
( t)
Ri(
t)
− Ri−1(
t)
ki
( t)
≡ (A6.
4)
R ( t)
+ R ( t)
i
i−1
(A6.
2)
(A6.
3)