Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
3.5.8 Die Reflexions-Transferfunktion
Benutzt man die Bilinear-Transformation zur digitalen Implementierung der ‚driving-point‘-
Impedanz in den Wellenleiter [Smith, 1983], erhält man für die digitale Impedanz-
Transferfunktion _ b(z):
wobei F b(z) die z-Transformierte, auf den Steg wirkende Kraft darstellt und V b(z) die
z-Transformierte vertikale Geschwindigkeit des Steges ist. _ b(z) nennt man auch
Reflektanz. Da Steg und Saite sich in dieselbe Richtung bewegen, ist V b(z)= V(z). Die auf
die Brücke wirkende Kraft ist gegeben durch f l(0,t). Da aber die nach rechts wirkende Kraft
zur Wellenvariablen f erklärt wurde (siehe auch Abschnitt 3.3.1), gilt F b(z) = - F(0,z). Nun
kann die Impedanz der Saitenbegrenzung durch den Steg in den Größen ausgedrückt
werden, die den Zustand der Saitenbewegung beschreiben:
Im Kontext der Simulation sind die Werte für die Reflektanz _ b(z), die Wellenimpedanz der
Saite R und die Wellenvariablen, die auf die Brücke einwirken (in diesem Fall F - (z) wie in
obiger Gleichung) bekannt. Dies führt zur Reflexions-Transferfunktion an der Stelle des
Steges:
(
−1
⎛ 2 1−
z ⎞ Fb
( z)
Rb
( z)
≡ Rb
⎜ ⋅ = 1
T 1 z
⎟ −
⎝ + ⎠ Vb
( z)
(
−
+
−
F(
z)
F ( z)
+ F ( z)
F ( z)
+ F ( z)
( z)
= − = −
= −R
⋅
−
+
V ( z)
V ( z)
+ V ( z)
F ( z)
− F ( z)
Rb +
+
−
(
+
F ( z)
Rb
( z)
− R
Sb
( z)
≡ = (
−
F ( z)
R ( z)
+ R
Da _ b(z) positiv-reell ist, ist S b(z) eine Schur-Funktion 26 [Smith, 2000]: |S b(z)| ≤ 1 für |z| ≤ 1.
Schur-Funktionen werden zu Allpaßfiltern, wenn die Dämpfung gegen Null geht. Sie
verstärken keine Frequenzbereiche, so daß die Stabilität der Rückkopplungsschleife nicht
gefährdet wird. Reflexionsfilter haben immer eine gerade Anzahl an Polen und Nullstellen,
was man auch aus obiger Gleichung herauslesen kann.
Die Reflexions-Transferfunktion S b(z) wurde für Kraftwellen definiert. Wächst die
Impedanzfunktion des Steges gegen unendlich, wird die Verbindung zwischen Saite und
Steg starr und S b(z) erreicht den Wert 1 - ein Ergebnis, das mit der Analyse steifer
26 Eine Schur-Funktion S(z) ist definiert als eine komplexe analytische Funktion, wobei z beschränkt
ist auf |z| ≤ 1. Die Funktion S(z) ≡ (1-R(z)) / (1+R(z)) ist eine Schur-Funktion, wenn und nur wenn
R(z) positiv real ist.
Online-Version 1.0 58
b
( 3.
51)
(
3.
52)
( 3.
53)