Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Abb. 3.2 zeigt eine unendlich lange Saite, die zur Zeit t 0 am Punkt P angezupft wird, wobei
die Punkte p‘ und p‘‘ zu diesem Zeitpunkt fixiert werden, um eine Dreiecksform zu erhalten.
Die Auslenkung der Saite zum Zeitpunkt t setzt sich aus den Einzelauslenkungen der in
entgegengesetzte Richtung und mit der Geschwindigkeit c auseinanderlaufenden Teilwellen
zusammen.
3.1.2 Die Digitalisierung der Wanderwellen
Um das erhaltene zeit- und ortskontinuierliche Modell der Wanderwelle in einer
Computersimulation zu implementieren, muß die gefundene Lösung auch in einer zeit- und
ortsdiskreten Umgebung funktionieren. Hierfür werden Zeit und Ort in kleine
Einheitsabschnitte unterteilt: T s [s] sei das zeitliche und X s [m] das räumliche
Samplingintervall 12 . Eine naheliegende Wahl für die Länge des räumlichen Intervalls ist die
Strecke, die die Welle in einem Zeitintervall T s zurücklegt, also X s := c⋅T s .
Die Digitalisierung erfolgt einfach durch den Austausch der Variablen:
Online-Version 1.0
x → x m = mX s
t → t n = nT s
31
( 3.
9)
wobei m, n∈ Ζ. Zusammen mit der Wanderwellenlösung der Wellengleichung (3.1) ergibt
sich
x m xm
X s
X s
y(
x , t ) = y ( t − ) + y ( t + ) = y ( nT − m ) + y ( nT + m )
m n r n
l n
r s
l s
c c
c
c
=
y r[(
n − m)
Ts]
+ yl[(
n + m)
Ts]
Zur Vereinfachung soll durchgehend gelten
y + (n) := y r(nT s)
y - (n) := y l(nT s)
( 3.
10)
( 3.
11)
12 Die Digitalisierung analoger Datenströme wird als „Sampling“ bezeichnet, wobei in zeitlichen
Abständen T s = 1/F s (T s:Samplingintervall, F s:Samplingfrequenz) Messungen der Signalamplitude
vorgenommen werden; die Amplituden werden mit einer Auflösung bestimmt, die der sogenannten
Bitrate B s entspricht. Bei der digitalen Audio-CD sind diese Werte z.B. auf F s = 44,1 kHz und B s = 16
Bit festgelegt (‚Redbook-Format‘). Hiermit können Signale im Frequenzbereich 0 Hz bis 22,05 kHz
digitalisiert werden (Nyquist-Theorem).