Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Im Falle einer frequenzabhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit muß die Einheitsverzöge-
rung z -1 daher durch z -1 → z –C0 /C(ω) ersezt werden. Jedes Einheitsdelay wird nun zu einem
Allpaßfilter 19 , das die benötigte, von der Frequenz abhängige Verzögerung approximiert
(Abb. 3.6). In der Abbildung stellt H a(z) den Allpaßfilter der rationalen Approximation
z –C0 /C(ω) dar. Die Darstellung in der Frequenzebene wird in diesem Falle mit der
z-Transformation erreicht [Strum & Kirk, 1988]. Die z-Transformation ersetzt für zeitdiskrete
Systeme die Rolle der Laplace-Transformation bei zeitkontinuierlichen Systemen. Näheres
zur Konstruktion eines solchen Allpaßfilters findet sich im Anhang A3.
Abb. 3.6: Wellenleiterdarstellung einer steifen Saite; Allpaßfilter H a(z) nehmen
den Platz der Einheitsverzögerer ein (Abb. aus [Smith, 2000]).
3.2.3 Die digitale verlustbehaftete steife Saite
Die komplette lineare zeitinvariante Verallgemeinerung der verlustbehafteten steifen Saite
wird beschrieben durch
woraus mit dem Ansatz y(x,t) = e st+vx folgt
Man erhält als quantisierte Eigenlösungen die Teilwellen
19 Ist H(f) die Übertragungsfunktion eines verzerrungsfreien digitalen LTI-Systems (lineares
zeitinvariantes System), so wird ein System mit der Eigenschaft ⏐H(f)⏐ = const. bei beliebigem
Phasenverlauf ein Allpaß genannt [Lüke, 1999].
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∞
∑
k = 0
α
k
∂
k
y(
x,
t)
=
k
∂t
∞
∑
l=
0
39
β
∞
∑α
k
∞
k
= ∑
k = 0 l = 0
s β v
l
l
∂ y(
x,
t)
l
∂x
l
l
( 3.
32)
(
3.
33)