Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
ein Transmissionsfilter nötig, der von allen Saiten, die an der Brücke befestigt sind, benutzt
wird.
Es läßt sich zeigen, daß sich der von beiden Saiten benutzte Transmissionsfilter für zwei
gekoppelte Saiten auf N Saiten verallgemeinern läßt, die an eine allgemeine
Brückenimpedanz gekoppelt sind. Man erhält
V ( s)
= H ( s)
⋅
b
b
N
∑
i = 1
RV
mit
V b(s) ist die laplacetransformierte Brückengeschwindigkeit. H b(s) ist der von allen Saiten
benutzte Anteil des Brückenfilters. Jeder Einzelzweig (i=1,2,....,N) wird dann nur noch
entsprechend der relativen Impedanzen R i skaliert. Smith [Smith, 2000] bezeichnet dies als
‚one-filter scattering termination‘.
Sind beide Saiten identisch, so wie es z.B. in einem Pianomodell der Fall wäre, vereinfacht
sich die Berechnung der Brückengeschwindigkeit wie folgt:
Dabei ist H b(s) ≡ 2 / (2+R b(s)/R) der Geschwindigkeitstransmissionsfilter. In diesem Fall
werden die eintreffenden Geschwindigkeitswerte einfach summiert und in den Trans-
missionsfilter geleitet, der dann die Brückengeschwindigkeitswerte ausgibt. In Abb.(A8.1)
wird eine solche Schaltung dargestellt.
Da R b(s) positiv reell ist, ist sichergestellt, daß | 2⋅H b(e jωT ) - 1| ≤ 1 ist, was die Kopplungsfilter
auf solche einschränkt, deren Werte der Frequenzantworten in der komplexen Ebene
innerhalb des um z = _ zentrierten Kreises mit Radius _ liegen.
Sind die beiden betrachteten gekoppelten Saiten verlustfrei, bestehen sie also aus zwei
einfachen Rückkopplungsschleifen, so wird die obige Einschränkung zur
Stabilitätsbedingung für das gesamte System. Werden die Amplituden- und
Phasenantworten der Filter mit G(ω) und Θ(ω) bezeichnet, so läßt sich die
Passivitätsbedingung auch in der Form
schreiben. Die Signalamplitude kann also nur bei den Frequenzen den Wert 1 erreichen,
deren Phasen den Wert Null annehmen. Weder kann die Phase bis auf 90° steigen, noch
wird die Amplitude einer Frequenz den Wert 1 übersteigen. Sobald eine Phase 90° erreicht,
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i
+
i
Vb b
( s)
= H ( s)
⋅[
V1
( s)
+ V2
( s)]
+
2
H b(
s)
(A8.
1)
R
+
= N
Rb(
s)
+ ∑ i=
1
i
(A8.
2)
cos[ Θ ( ω)] ≥ G(
ω)
(A8.
3)