Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Anhang:
A1 Die Finite Differenzenapproximation
Eine häufig angewandte Methode in der Literatur der musikalischen Akustik, ein auf einer
Differentialgleichung basierendes Computermodell zu implementieren, ist die sogenannte
Finite Differenzenapproximation (FDA), in der die Differentiation durch eine endliche
Differenz ersetzt wird:
∂ y(
x,
t)
− y(
x,
t − Ts
)
y(
x,
t)
≈
∂t
T
Online-Version 1.0
∂
∂x
2
2
und
mit T s als zeitlichem Samplingintervall und X s als räumlichem Samplingintervall.
Diese Approximation läßt sich interpretieren als direkte Folge der Definition der partiellen
Ableitungen nach x und t. Die Approximation wird exakt, wenn T s und X s gegen Null gehen.
Um einen Verzögerungsfehler zu vermeiden, werden die finiten Differenzen zweiter
Ordnung mit einem kompensierenden Zeitversatz definiert:
und
y(
x + X s , t)
− 2y
( x,
t)
+ y(
x − X s,
t)
y(
x,
t)
≈
X
Die Approximation der Ableitungen mit ungerader Ordnung beinhalten einen Verzugsfehler
von der Hälfte des Samplingintervalls T s, während die Fehler aller geraden Ordnungen wie
obenstehend minimiert werden.
Substituiert man die FDA (A1.1) in der Wellengleichung (3.1),
so ergibt sich für die Saitenauslenkung y:
2
s
∂
∂t
2
2
y(
x,
t)
− y(
x − X , t)
y(
x,
t)
≈
∂x
X
127
2
s
X =
s
K
T
å s
In praktischen Implementierungen setzt man meist T s = 1 und und wertet bei
t = nT s, x = mX s = m aus. Man erhält damit die Differenzengleichung
∂ s (A1
. 1)
y(
x,
t + Ts
) − 2y
( x,
t)
+ y(
x,
t −Ts
)
y(
x,
t)
≈
T
K ⋅Ts
y( x,
t + Ts
) ≈ [ y(
x + X , ) 2 ( , ) ( , )] 2 ( , ) ( ,
2
s t − y x t + y x − X s t + y x t − y x t − T
ε ⋅ X
s
2
s
y(
m,
n + 1)
= y(
m + 1,
n)
+ y(
m −1,
n)
− y(
m,
n − 1)
s
2
2
∂ y ∂ y
K ⋅ = ε
⋅ 2
2
∂x
∂t
s
)
(A1
. 2)
(A1
. 3)
(A1
. 4)