Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Luftdruckvariation anstelle der transversalen Saitengeschwindigkeit unter Berücksichtigung
der entsprechenden Randbedingungen berechnen. Im Folgenden wird die Klasse von
Medien, die eine solche Substitution erlaubt, als eindimensionaler Wellenleiter bezeichnet.
Erweiterungen auf höhere Dimensionen findet man z. B. in [Van Duyne & Smith, 1993;
1995 b]. Eine vollständige Ableitung der Wellengleichung findet sich in [Morse, 1981] und in
den meisten Grundlagenbüchern der Akustik oder der theoretischen Physik.
Um die obige Wellengleichung in einem Computermodell zu implementieren, das in der
Lage ist, die Differentialgleichung (3.1) ohne zeitaufwendige Differentiation für jeden
beliebigen Zeitpunkt zu lösen, muß diese approximiert werden. Eine häufig verwendete
Methode in der Literatur der musikalischen Akustik, ein auf einer Differentialgleichung
basierendes Computermodell zu implementieren, ist die sogenannte Finite
Differenzenapproximation (‚FDA‘), in der die Differentiation durch n Differenzenquotienten
ersetzt wird (näheres siehe Anhang A1). Die FDA wurde in Annäherung an die numerische
Simulation von Pierre Ruiz in seiner Arbeit über schwingende Saiten genutzt [Ruiz, 1996]
und kommt auch heute noch zur Anwendung [Chaigne, 1992; Chaigne & Askenfelt, 1996].
3.1.1 Die Wanderwellenlösung
Als Lösung für die verlustlose eindimensionale Wellengleichung (3.1) kommt nach
[d’Alembert, 1747] jede Funktion mit beliebiger Wellenform in Frage, die sich entlang der
Saite nach links oder rechts mit der Geschwindigkeit c ausbreitet und zweifach nach Ort
und Zeit differenzierbar ist (‚Wanderwelle‘).
Sind y l und y r beliebige zweifach differenzierbare Funktionen, so läßt sich die allgemeine
Klasse der Lösungen als eine Summe rechts- und linkslaufender Teilwellen darstellen:
Damit Gleichung (3.4) für alle Wellenformen darstellbar ist, muß (∂ 2 /∂t 2 )⋅ y i = c 2 ⋅ (∂ 2 /∂x 2 ) ⋅ y i,
(i = r, l) erfüllt sein, wobei die Saitensteigung zu allen Zeiten und an allen Orten sehr viel
kleiner ist als 1 sein muß: ∂y/∂t