Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
mit der Allpaßtransferfunktion H c(z) und dem Phasenwinkel ∠ [Rabiner & Gold, 1975]. Die
Minimierung der Chebyshev-Norm des Phasenverzögerungsfehlers ||P c(ω) – c o/c(ω)|| ∞
approximiert den Fehler in der Modenstimmung, also dem Frequenzverhältnis der Obertöne
einer frei schwingenden Saite [Smith, 1983].
Da die Streckung der Obertonreihe in einer steifen, vibrierenden Saite aber auch in der
Realität zu beobachten ist, sollte dieser Fehler nicht behoben werden.
A4 Weitere alternative Wellenvariablen
Zusätzlich zu zeitlichen Ableitungen kann man natürlich auch räumliche Ableitungen
beliebiger Ordnung nutzen, um weitere Wellenvariablen zu erhalten, aus denen man eine
geeignete wählen kann, um ein anfallendes Problem optimal zu lösen.
Die erste räumliche Ableitung der transversalen Saitenauslenkung ergibt die Form der
Saitenwelle:
Digitalisiert erhält man
Man kann also die Beschleunigungswanderwellen aus den Formen der Auslenkungswellen
berechnen:
Die Krümmungswellen sind dann im Falle einer idealen Saite nur noch skalierte
Beschleunigungswellen:
∂
∂x
Online-Version 1.0 130
∂
∂x
v
∂ x ∂ x
y(
x,
t)
= yr
( t − ) + yl(
t + )
∂x
c ∂x
c
1 ∂ x 1 ∂ x
= − ⋅ yr
( t − ) + ⋅ yl
( t + )
c ∂t
c c ∂t
c
( m , n ) t x y
−
∂
= c ⋅ y
∂x
∂
≡ y(
mX , nT )
s s
∂x
∂
∂
= yr[(
n −m)
Ts
] + yl[(
n + m)
Ts
]
∂x
∂x
∂ + ∂ −
= y ( n − m)
+ y ( n + m)
∂x
∂x
1 ∂ + 1 ∂ −
= − ⋅ y ( n −m)
+ ⋅ y ( n + m)
c ∂t
c ∂t
1 + 1 −
= − v ( n − m)
+ v ( n + m)
c c
1 −
+
= − [ v ( n + m)
− v ( n−
m)]
c
∂x
−
,
2
∂ −1
y = c
2
2
∂
⋅
2
∂t
∂
∂x
(A4.
1)
(A4.
2)
+
+
v = − c ⋅ y
(A4.
3)
y
(A4.
4)