Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Demzufolge ist also die FDA ebenso exakt im verlustfreien Fall, was ein wenig verwundert,
denn die FDA erzeugt eine Dämpfung, wenn sie auf ein Masse-Feder-System angewendet
wird.
Aus obiger Rechnung wird ersichtlich, daß sich
beim Zeitpunkt (n+1) die Position m als Superposition der rechts- und linkslaufenden
Teilwellen der Positionen (m-1) und (m+1) zum Zeitpunkt n darstellt.
Die physikalische Wellenvariable kann also immer für den nächsten zeitlichen Schritt (n+1)
aus der Summe der rechts und links eintreffenden Teilwellen berechnet werden. Hieran
erkennt man deutlich den verlustfreien Charakter des vorgestellten Wellenleitersystems.
A3 Allpaßfilter zur Simulation von Dispersion in digitalen Wellenleitern
Der allgemeine Allpaßfilter L-ter Ordnung ist gegeben durch
wobei
ist und alle Wurzeln aus Λ(z) kleiner als eins sein müssen, da das Zählerpolynom die
Umkehrung des Nennerpolynoms ist. Dies impliziert einen Austausch jedes Poles p i durch
eine Nullstelle bei z i = 1/p i.
Da Allpaßfilter linear und zeitinvariant sind, wirken sie zusammen mit anderen linearen
zeitinvarianten Komponenten wie Verstärkungsfaktoren. Die Allpaßfilter lassen sich in
bidirektionalen Wellenleitern auch in zwei Punkten zusammenfassen. Man erhält die
Transferfunktion H T(z) = z⋅H a 3 (z) durch eine beliebige Allpaßfilter-Entwurfstechnik [Laakso
et. al., 1996; Lang & Laakso, 1994].
Im Falle einer verlustfreien, steifen Saite sollte die benutzte Filterentwurfstechnik den
Phasenverzögerungsfehler so klein wie möglich halten, wobei die Phasenverzögerung
definiert ist durch
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y ( n + 1,
m)
+
−
≡ y [( n + 1)
− m]
+ y [( n + 1)
+ m]
+
−
≡ y [ n − ( m −1)]
+ y [ n + ( m + 1)]
H
a
129
(A2.
5)
−1
− L Λ(
z )
( z)
: = z )
(A3.
1)
Λ(
z)
z z
z
−1
−2
Λ( ) : = 1+
σ + σ + ... + σ
1
2
L
Lz −
(A3.
2)
jω
T
∠H
c(
e )
Pc
( ω)
: = (A3.
2)
ω