GRUNDLAGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG - LMath

2 (MOMENTANE) ÄNDERUNGSRATE09 Beim Bungee-Jumping befindet sich der Springer im freien Fall,wenn man vom Luftwiderstand absieht. Für den Weg s(t) (inMetern) den ein Körper beim freien Fall in den ersten t Sekundenzurücklegt, gilt näherungsweise s() t = 5t. Der Graph der2Funktion t s()t ist rechts abgebildet.a) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Springersim Zeitintervall [0; 1].b) Stellen Sie eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit desSpringers im Zeitintervall [ t1; t2]auf.c) Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit des Springersnach 3 Sekunden?Vervollständigen Sie die Tabelle und zeichnen Sie einige derdazugehörigen Sekanten im nebenstehenden Graphen ein:Zeitintervall mittlere Geschwindigkeit[0; 3][1; 3][2; 3][2,9; 3][2,99; 3]s(t) in mGeoGebra-Arbeitsblattzu Beispiel 09 :http://goo.gl/9Rdh88st in sDefinition.Ist f eine reelle Funktion, dann heißt der GrenzwertDifferentialquotient von f an der Stelle x.f ¢ ( x) = lim f z f xÄnderungsrate oderzx( )-( )z-xErklärung der Schreibweise: „lim“ steht für Limes (Grenzwert).( ) ( )Sprechweise für ( ) lim f z -f ¢ x = f x: „f Strich von x ist der Grenzwert vonzxz-x-berechnet, wenn sich z unbe-Diese Schreibweise bedeutet, dass man den Wert des Termsgrenzt der Zahl x nähert.f ( z) - f( x)z xf ( z) - f( x)z x-für z gegen x.“Also: Die Änderungsrate ist der Grenzwert von mittleren Änderungsraten.Oder: Der Differentialquotient ist der Grenzwert von Differenzenquotienten.Man kann sich unter dem Differentialquotienten an der Stelle x näherungsweise einen Differenzenquotientenin einer sehr kleinen Umgebung von x vorstellen.Mit der D -Schreibweise sieht die obige Definition so aus:f ¢ ( x) = lim xoderDx0Df ( x )Df ¢ ( x) = lim y xDDDx0Manchmal schreibt man statt f ¢ (x) auch d d(sprich: „dy nach dx“).Diese sogenannte LEIBNIZ’sche Schreibweise erinnert daran, dass der Differentialquotientder Grenzwert des Differenzenquotienten ist: d yx=0yxDdlim y DxDxVgl. das Symbolam Taschenrechner.FunktionstermStelleGOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646–1716),deutscher Mathematiker, Physiker und Philosoph3