Bedingte Wahrscheinlichkeit Verstehen - Stochastik in der Schule

Bedingte Wahrscheinlichkeit VerstehenStephen Tomlinson, Univ. of Alabama, und Robert Quinn, Univ. of Nevada;Übersetzung: Manfred Borovcnik, KlagenfurtZusammenfassung: Der Artikel bietet einen neuen Zugang, das schwierige Konzept der bedingtenWahrscheinlichkeit zu unterrichten. Die Betonung liegt dabei auf Unterrichten undSchließen. Als technische Hilfsmittel werden Venn-Diagramme und Baumdiagramme eingesetzt.1. EinleitungOberstes Ziel von Ausbildung ist die Förderung von Verstehen: ein Beherrschenvon Begriffen und Verfahren, welches die intelligente Lösung von Problemen inneuen und ungewöhnlichen Situationen ermöglicht. In der Mathematik ist diesesZiel besonders herausfordernd, weil Lernende oft sehr geschickt die Regeln undFormeln auswendig merken, welche erforderlich sind, um wohldefinierte PrüfungsundLehrbuchprobleme zu lösen, ohne daß sie jemals die Bedeutung oder die Logikder Argumente, die sie verwenden, einsehen. Wie einschlägige Forschung belegt,können außerhalb der Schule sogar die vertrautesten Operationen zugunsten vonintuitiven Beurteilungen vernachlässigt werden (Gardner 1991, Piattelli-Palmarini1994). Aber , so zeigt auch die Erfahrung, während der gesunde Menschenverstandnützliche Lösungen für viele Probleme bereit stellt, können uns natürliche Theorienzu schwerwiegenden Fehlern verleiten. Um ihre intellektuellen Fähigkeiten zuverbessern, müssen Studierende die Grenzen ihrer spontanen Problemlösefähigkeiteneinsehen lernen und sekundäre Intuitionen entwickeln für die präziseren undmächtigen Denkwerkzeuge der Mathematiker (Fischbein 1987).2. Wahrscheinlichkeit und BewertungDie Wahrscheinlichkeitstheorie ist eines der schwierigsten Gebiete, wenn man dieseZiele erreichen will. Auf der einen Seite enthalten die Gesetze der Wahrscheinlichkeitviele abstrakte Ausdrücke, komplexe Terme und ineinander geschachtelteBeziehungen, die für Lernende schwer zu verstehen sind. Auf der anderenSeite haben Psychologen, aufbauend auf den Pionierarbeiten von AmosStochastik in der Schule 18(1998), Nr. 3, 27-40

2Tversky und Daniel Kahneman, gezeigt, daß alle Menschen der Wirklichkeit mitErwartungen und Stereotypen entgegentreten, die eine starke und oft verdrehendeWirkung auf die Beurteilung ausüben (Tversky und Kahneman 1974).Betrachten wir etwa als Beispiel, wie das Gedächtnis folgendem Problem seineHandschrift aufprägt: Sei unterstellt, daß Linda eine 31jährige alleinstehende Frauist, welche sich offenherzig zu sozialen Fragen wie Entwaffnung oder Gleichberechtigungäußert; welche der folgenden Behauptungen ist dann eher wahr?R: Linda ist Kassierin in einer BankQ: Linda ist Kassierin in einer Bank und aktiv in der feministischen BewegungLaut Kahneman und Tversky wählten mehr als 80% der Befragten - es befandensich auch in Statistik Geschulte darunter - die Antwort Q, obwohl die Menge derweiblichen Bankkassiere, die Feministinnen sind, in der Menge aller Bankkassierinnenenthalten ist (d.h. da Q f R , gilt P(Q) # P(R) ) (siehe Kahneman, Slovicund Tversky 1982). Wir stellten dieselbe Fragen achtzehn Mathematiklehrerstudentenund stellten fest, daß nur zwei davon R als das wahrscheinlichereEreignis bewerteten!Der verzerrende Einfluß unserer natürlichen Denkfähigkeiten kann daher verfolgtwerden in der Art, wie Leute systematisch relevantes Wissen in Entscheidungsprozessenaußer Acht lassen. Um z.B. zu prüfen, wie Versuchspersonen Basishäufigkeiten(i.e. a priori-Häufigkeiten in einem Bayesianischen Denkmodell) inihre Bewertungen einbauen, konfrontierten Tversky und Kahneman zwei Versuchsgruppenmit 100 Charakterbeschreibungen. Während der Gruppe A gesagtwurde, daß die Dossiers zu 70 Rechtsanwälten und 30 Ingenieuren gehörten, wurdeder Gruppe B die Information gegeben, daß es sich um 70 Ingenieure und 30Rechtsanwälte handelt. Dennoch, trotz dieser verschiedenen Grundgesamtheiten,gruppierte jede Gruppe ihre Zuordnungen in ungefähr gleichem Anteil - obgleichGruppe A etwa doppelt so viele Rechtsanwälte als im Vergleich dazu Gruppe Bidentifizieren hätte sollen! Interessanterweise ordneten beide Gruppen die Rechtsanwälteund Ingenieure jeweils 50:50 und nicht 70:30 bzw. 30:70 zu, wenn sie miteinem Stapel neutraler Persönlichkeitsbeschreibungen konfrontiert waren wie etwa(siehe Tversky und Kahneman 1974):"Dick ist ein 30jähriger Mann. Er ist verheiratet, hat keine Kinder. Ein Mann

3von hohen Fähigkeiten und hoher Motivation, er verspricht, sehr erfolgreichin seinem Beruf zu werden. Er ist bei Kollegen sehr beliebt."Nach Howard Gardner sind die kognitiven Heuristiken, welche unser Schließen insolchen Fällen natürlich leiten gut vergleichbar mit optischen Täuschungen - Bahnenim Denken, welche nach einiger Überlegung sich als falsch erweisen. Unddennoch, trotz ihrer intuitiven Unvermeidlichkeit glaubt Gardner, daß solche Urteiledurch Metakognition, den bewußten Gebrauch von mathematischen Werkzeugen,überwunden werden können. Ebenso wie wir die Regeln der Logik anwendenkönnen, um zu gültigen Schlußfolgerungen zu gelangen, so kann uns, so argumentierter, Wissen um Wahrscheinlichkeit helfen, intakte (Inferenz-)Schlüsse zu formulieren.Das Problem besteht darin, daß die Fähigkeit, solch sekundäres Denkenanzuwenden, gerade nicht gefördert wird durch traditionelle Unterrichtspraktiken,die ein Auswendiglernen von Formeln stark gewichten.In jüngeren Jahren haben Didaktiker und Lehrer darauf reagiert durch Ausarbeitungzahlreicher pädagogischer Strategien, welche den Studenten helfen, die Grenzenihrer subjektiven Theorien zu erkennen und zu lernen, wie stochastische Beziehungenobjektiv zu untersuchen sind. So etwa betonen viele Artikel der Intern. Conferenceson Teaching Statistics (ICOTS) die Notwendigkeit, daß Studenten Experimenteselbst durchführen, Spiele durchprobieren, Computersimulationen einsetzenoder graphische Darstellungen nutzen, damit sie ein empirisch gegründetes Maß fürdas Auftreten von Ereignissen bekommen (Grey u.a. 1988).Solche konkreten Aktivitäten sind erforderlich, damit man so etwas schafft, wasman "sokratische Begegnung" mit den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit nennenkönnte; sie verschaffen ein Niveau persönlicher Anlage in die Auflösung solchproblematischer Situationen, welches erlaubt, Beurteilungen in Frage zu stellen,und mathematische Gesetze offen zu betrachten. Wenn jedoch die Studenten normativeMethoden zur Problemlösung verstehen und anwenden sollen, um ihrenEntscheidungsprozeß besser auszuleuchten, müssen diese praktischen Erkundungenunterstützt werden durch theoretische Modelle von Ereignissen, seien sie frequentistischoder klassisch (Laplacesch), denn nur durch ein intuitives Verständnis mathematischerArgumente kann intelligentes Denken und rationale Beurteilung unterstütztwerden.

4Dennoch empfinden Studenten den Begriff unabhängiger Ereignisse und die Gesetzebedingter Wahrscheinlichkeit als extrem schwierig zu verstehen (siehe Shaughnessy1993). In der folgenden Erörterung bieten wir einen neuen Zugang zu diesenKonzepten an, welcher Studenten helfen kann, ein funktionierendes Verständnisder Wahrscheinlichkeitsgesetze zu entwickeln. Durch bildliche Darstellung vonEreignissen zeigen wir, wie Venn- und Baumdiagramm zu einem einzigen Problemlösewerkzeugzusammengeführt werden können, was einen graphischen Mechanismusbereitstellt zur Darstellung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur BeantwortungBayesianischer Fragen, ohne daß sich die Studenten komplexe Formelnzu merken hätten. Da bedingte Wahrscheinlichkeitsbezüge und das Bayes-Theoremim Kern der wissenschaftlichen Methode liegen und in der Tat auch in die alltäglicheErfahrung einsickern, ist die Entwicklung solcher Denkwerkzeuge grundlegendfür sachkundiges Entscheiden in vielen Situationen.3. Venn-DiagrammeBetrachten wird die folgenden drei Ereignisse im Zusammenhang mit dem Wurfeines fairen Würfels:X: "Eine gerade Zahl"Y: "Eine Zahl größer als 2"Z: "Eine Primzahl"Während Venn-Diagramme hilfreich sind, jene Versuchsausgänge auszusondern,die verschiedenen Ereignissen gemeinsam sind, zeigen sie nicht klar die zugrundeliegenden Beziehungen der Abhängigkeit und Unabhängigkeit, welche wesentlichsind für die Lösung von Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Ereignissemögen logisch oder zufallsbedingt miteinander zusammenhängen, letzteres in derArt, daß ein Auftreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisseserhöht oder verringert. Demgemäß, während die Wahrscheinlichkeit für Regen unabhängigvon unseren Wünschen ist, hängt die Zahl der Leute, welche den Regenschirmzur Arbeit mitnehmen, von der Wettervorhersage ab.

5XX ∩ Y2 43 65 1Y2 43 65 12 43 65 1Y2 43 65 12 43 65 1X ∩ YP(X) = 12P( X) = 12P(Y) =32P(X ∩ Y) =131P( X ∩ Y) =3P( Y) =13P(X ∩ Y) =161P( X ∩ Y) =6X2 43 65 12 43 65 12 43 65 1YY ∩ Z2 43 65 1Z2 43 65 12 43 65 1Z2 43 65 12 43 65 1Y ∩ ZP(Y) =32P( Y) = 13P(Z) = 12P(Y ∩ Z) =131P( Y ∩ Z) =6P( Z) = 12P(Y ∩ Z) = 13P( Y ∩ Z) = 16Y2 43 65 12 43 65 12 43 65 1XX ∩ Z2 43 65 1Z2 43 65 12 43 65 1Z2 43 65 12 43 65 1X ∩ ZP(X) = 12P( X) = 12P(Z) = 12P(X Z) = 16P( X ∩ Z) = 13P( Z) = 12∩1P(X ∩ Z) =3P( X ∩ Z) =16X2 43 65 12 43 65 12 43 65 1Abb. 1:Tabellen mit Durchschnittsmengenfür X, Y und Z

6Im Fall der Ereignisse X, Y und Z jedoch sind solche Beziehungen keineswegs offensichtlich.Erhöht oder verringert die Kenntnis, daß eine Primzahl geworfen wordenist, die Wahrscheinlichkeit, daß der Versuchsausgang eine gerade Zahl ist, oderbleibt diese Information ohne Auswirkung auf die letztere Wahrscheinlichkeit? Wiekann weiters, unter den gegebenen Bedingungen, die Wahrscheinlichkeit bestimmtwerden, daß beide Ereignisse (Primzahl und gerade Zahl) eintreten? Wie die Geschichtevon Linda zeigt, können solche Fragen, welche zentral für viele Wahrscheinlichkeitsproblemesind, nur beantwortet werden, wenn die impliziten Beziehungenzwischen Ereignissen ganz verstanden werden.Wie Abb. 1 zeigt, ist es möglich, die Wahrscheinlichkeit kombinierter Ereignissewie "A und B" zu finden, indem man alle einzelnen Versuchsausgänge innerhalbder entsprechenden Regionen im Venn-Diagramm zusammenfaßt. Aber Vorsicht:Der Wert P ( A ∩ B ) ist nicht immer gleich dem Produkt P ( A ) ⋅ P ( B ) (auchwenn in der Logik, in der Praxis bzw. im englischsprachigen Kontext A ∩ B oftverkürzt als "Produkt" AB angeschrieben wird!). So etwa zeigen die "Durchschnittstabellen"für X ∩ Y und Y ∩ Z , daßP ( Xdie Tabelle für∩ Y ) = P ( X ) P ( Y ) und P ( Y∩Z ) = P ( Y ) P ( Z ) ;X ∩ Zzeigt, daßP ( X∩ Z) ≠ P ( X ) P ( Z ) .Dies deswegen, weil X und Z abhängige Ereignisse sind - sie beeinflussen wechselweisedie Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses - während X und Y sowieY und Z jeweils unabhängige Ereignisse sind.Eine der häufigsten Annahmen, die Studenten treffen, ist, daß die Wahrscheinlichkeitdes kombinierten Und-Ereignisses durch Multiplizieren der Einzelwahrscheinlichkeitenberechnet werden kann. Während nun diese empirische "Produktregel"für unabhängige Ereignisse zutrifft (wie für Y und Z), müssen Studenten dazugebracht werden, zu würdigen, wie diese Formel zusammenbricht, wenn es umabhängige Ereignisse geht. Bringt man die Schüler dazu, all diese WahrscheinlichkeitenP ( X ) , P ( X ∩ Y ) , P ( X ∩ Y ) usw. aus den Tabellen zu berechnen, sowerden sie damit direkt konfrontiert und, so argumentierten wir, dies bringt einenkräftigen Anreiz, diese Ereignisse mathematisch zu untersuchen.

Studenten die Formel P ( A ∩7B ) = P( A ) P ( B | A ) auswendig lernen und sie inTextbuchbeispielen anwenden zu lassen, wird klarerweise nicht ihr Verständnisvon Wahrscheinlichkeitsgesetzen sicher stellen. Weil der Ausdruck P ( B | A ) , dieWahrscheinlichkeit von B gegeben A, einen Vergleich von Versuchsausgängen inder Menge A bzw. in der Menge A ∩ B erfordert, müssen die zugrundeliegendenBeziehungen zwischen den Ereignissen über die Teilmengenrelation aufgefaßt werden.Tatsächlich sind alle Wahrscheinlichkeiten bedingte Wahrscheinlichkeiten undwerden nach derselben fundamentalen Definition berechnet:P ( Lösungsmenge )P ( Ereignis ) =P ( Ergebnismenge )Sogar Ereignis Z, eine Primzahl zu werfen, hängt davon ab, ob der Würfel fair ist.FolglichP ( Z ) = P ( Z | Fairer Würfel) = P ( Z | Universalmenge ) =Summe aller Wahrscheinlichkeiten von Versuchsausgängen in der MengeSumme aller Wahrscheinlichkeiten von Versuchsausgängen in der MengeZ=U3 / 6 1=6 / 6 2Dieses Argument kann bildlich gefaßt werden, indem man die Fläche jeder Regioninnerhalb des Venn-Diagramms gerade der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses entsprechenläßt, welches sie repräsentiert. Folglich hat die Universalmenge eine Flächevon 1 und, im Beispiel oben, die Menge Z hat eine Fläche von 2.Fläche der Region ZP ( Z ) =Fläche der Region U=1/ 21Im allgemeinen hat man für zwei beliebige Ereignisse, vorausgesetzt P ( A ) ≠ 0:P ( A ∩ B )P ( B | A ) =P ( A )=12Fläche der Region A ∩ B=Fläche der Region AFolglich erhält man aus Abb. 1: Wenn A durch das Dreieck und B durch das obereRechteck repräsentiert werden, so gilt:P ( A ) = 1 ; P ( A ∩2P ( B| A )=B )=P ( A ∩ B )P ( A )1 ; P (8=1/81/ 2B )==1412

8P ( Z|X ) =P ( Z ∩ X )P ( X )=1/ 61/ 2=13P(B | A)P(A ∩ B)=P(A)P(B | A)P(A ∩B)=P(A)Abb.2: Gesetze für bedingte WahrscheinlichkeitenWie aber werden Werte wie P ( Z ∩X )bestimmt, ohne daß man alle einanderausschließenden Versuchsausgänge in einem Venn-Diagramm abzählt? Hier müssenwir auf das zweite unserer mathematischen Werkzeuge zurückgreifen, dasBaumdiagramm.4. BaumdiagrammeWahrscheinlichkeiten von Ereignissen in mehrstufigen Experimenten werden meistmit Hilfe von Baumdiagrammen bestimmt. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit,zwei Köpfe zu erhalten, wenn man eine Münze dreimal wirft, oder, die Wahrscheinlichkeit,zufällig zwei grüne Kugeln aus einem Krug zu ziehen, der eineblaue, drei grüne und zwei weiße Kugeln enthält. In solchen Fällen ist die Abhängigkeitoder Unabhängigkeit von Ereignissen klar festgelegt durch die kausale Abfolgedes Experiments. Es ist leicht einzusehen, daß das Resultat des einen Münzwurfesnicht beeinflußt, wie der nächste ausgehen wird; dagegen wird Entferneneiner blauen Kugel aus dem Krug die Wahrscheinlichkeit zukünftiger Auswahlen

9beeinflussen.Die Schwierigkeiten beginnen bei Ereignissen wie X, Y und Z, wo bedingte Beziehungenbestimmt werden müssen durch Überprüfen logischer Beziehungen, diedurch die Struktur ihrer Teilmengen bestimmt werden. Wir schlagen vor, Venn-Diagramme mit Baumdiagrammen zu kombinieren, indem man festlegt, daß dieverschiedenen Verzweigungen eine geordnete Teilmengenbeziehung für einanderausschließende Ereignisse darstellen. (Liest man in der gegenläufigen Richtung, sowerden Venn-Diagramme auf jeder Stufe zur Vereinigung von Mengen der vorhergehendenStufe.) Die Teilmengen von A sindumgekehrt gilt: ( A B ) ∪ ( A ∩ B ) = Adie Beziehungen zwischenA ∩ B und A ∩ B , während∩ . Der Grundbaustein dieses Programms ,P ( A ) , P ( A ∩ B ) , und P ( A | B)zu definieren, wird in Abb. 2 gezeigt. Wie das Diagramm weiters zeigt, kann man,wenn man von einem Einheitsquadrat ausgeht und es in Ereignisregionen unterteilt,die Fläche als Wahrscheinlichkeit aller einfacher oder kombinierter Ereignisse auffassen.5. Das Bayes-TheoremEine wichtige Klasse von Fragen bezieht sich auf bedingte Wahrscheinlichkeiten,die implizit in einem Experiment oder in entsprechenden Daten gegeben sind underst berechnet werden müssen. Z.B. könnte man fragen"Wie hoch ist P(grün beim ersten Zug | blau beim zweiten)?"Wie bei der Frage nach P( A | B) in Abb. 2 kehrt diese Frage die Richtung desBaumdiagramms um; wenn die Zweige von A nach B führen, wie kann eine Wahrscheinlichkeitberechnet werden, welche von einer Kenntnis über B abhängt, bevorman nach A fragt. Wie Falk (1994) zeigt, haben die meisten Studenten, die man mitsolchen diagnostischen Fragen (der Name stammt daher, weil solche BaysianischeBeziehungen oft in der medizinischen Diagnostik auftauchen) konfrontiert, wenigbis keine Ahnung, wie nicht-kausale Zusammenhänge berechnet werden können -einige glauben sogar, daß solche Fragen an sich unsinnig sind. Der übliche Zugangzu solchen Fragen geht über die Anwendung der Baysianischen Formel, welche in

10ihrer einfachsten Form so lautet:P ( A|B )=P ( A ) ⋅ P ( B | A )P ( A ) ⋅ P ( B | A ) + P ( A ) ⋅ P ( BWie nützlich auch immer diese Formel sein mag, sie bietet dem Studenten keinerleiIntuition für die Denkprozesse, die notwendig sind, um solche Aufgaben zu lösen.Doch hängt der Ausdruck P ( B| A) von einer ganz ähnlichen Teilmengenbeziehungab wie in den vorhergehenden Beispielen mit bedingter Wahrscheinlichkeit.Das bedeutet:P ( A ∩ B ) Fläche der Region A ∩ BP ( A | B ) ==P ( B ) Fläche der Region BDie Schwierigkeit liegt natürlich darin, daß es kein Venn-Diagramm für die MengeB in einem Baumdiagramm gibt, das mit Ereignis A startet. Wenn es eines gäbe, sokönnte P ( A | B) gleich leicht wie P ( B | A) abgelesen werden. Aber, so habenwir argumentiert, weil das Baumdiagramm zusammengesetzt ist aus disjunkten Ereignissen,deren Vereinigung die Universalmenge ist, enthält es natürlich die Bausteine,aus denen man neue Venn-Diagramme aufbauen kann. Kurzum, die MengeB - und die Menge B - können sehr einfach erzeugt werden, indem man das Baumdiagrammdurch Vereinigung von Mengen ausdehnt. Das Ergebnis ist, wie dasDiagramm in Abb. 3 für X und Z zeigt, ein Baum mit Pfeilen in beiden Richtungen,der alle Ereignisse enthält, die erforderlich sind, um jede beliebige bedingte Wahrscheinlichkeitzu berechnen.Natürlich können, sobald die Studenten mit dieser Methode vertraut sind, die Venn-Diagramme aus dem Baumdiagramm wieder weggelassen und durch die Wahrscheinlichkeitswerteersetzt werden (siehe Abb. 4).Man betrachte das folgende Beispiel, ursprünglich von Kahneman und Tversky(1974) präsentiert, welches zu einer Art Klassiker in der Literatur über bedingteWahrscheinlichkeitsurteile geworden ist (Scholz 1987).Ein alter Mann wird Zeuge eines Autounfalls mit Fahrerflucht und berichtet, daßdas flüchtende Auto ein blaues Taxi gewesen sei (Behauptung b). Es gibt zweiTaxiunternehmen in der Stadt, die blaue (B) mit 15 und die grüne (G) mit 85Autos. In der Verhandlung wird die Sehfähigkeit des Mannes geprüft und man|A )

11bekommt heraus, daß er in 80% der Fälle die richtige Farbe zuordnen kann, d.h.P ( b | B) = P ( g | G) = 0,8.2 43 65 1Abb. 3: Baumdiagrammfür Xund ZNachdem sie diese Information geben, stellen Tversky und Kahneman die folgendeBaysianische Frage:Q: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein blaues Taxi in das Verbrechenverwickelt war?Die meisten Versuchspersonen raten, daß der Wert von Q weit über 2 liegt. in unsereneigenen Versuchen fanden wir heraus, daß auch Mathematiklehrerstudentengeneigt sind, die Beurteilung des alten Mannes als zuverlässig einzustufen.Doch, wie überzeugend dieses Argument auch sein mag, Geschworene, die nachdieser Überlegung zum Urteil kommen, würden wahrscheinlich den falschen Fahrerins Gefängnis schicken! Denn, folgt man unserer Schlußweise, so ist die Wahrscheinlichkeit,daß ein blaues Taxi in den Unfall verwickelt war, zufolge der Behauptungdes alten Mannes gleich:P ( B ∩ b )P ( B | b ) =P ( b )[Hier wird nicht unterschieden, ob es sich um Aussagen handelt, oder um Mengenvon Versuchsergebnissen, die für diese Aussagen "günstig" sind.]

12Wie Abb. 4 zeigt, giltP ( b ) = P ( Bund daher istAbb. 4: Das Fahrerfluchtbeispiel∩ b ) + P ( GP ( B | b) =∩ b ) = 0,12 +0,120,29= 0,41.0,17 = 0,29Während Shaughnessy (1992) sicherlich recht hat, wenn er dafür plädiert, dieseHäufigkeiten in einer Reihe von Versuchen zu simulieren, ist die einfache Methode,die wir zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten vorschlagen, sehrwohl innerhalb der Reichweite der Fähigkeiten der meisten Studenten. In der Tatfanden wir heraus, daß Studenten die Bayes-Formel selbst herleiten konnten mitder einfachen Methode der Erweiterung der Baumdiagramme für die Ereignisse Aund B. Ein wünschenswerter Umstand, sofern man zuerkennt, daß auf die Praxiseben Theorie folgen sollte.6. Abschließende BetrachtungenBedingte Wahrscheinlichkeit ist ein schwieriges Thema für Studenten. Seine zentralenGesetze sind, häufig jeder Intuition widersprechend, zusammengesetzt ausabstrakten Termen und komplexen Gleichungen, welche sich nicht unmittelbar mitsubjektiven Intuitionen der Erfahrung vernetzen. Wenn Studenten die mathematischenFertigkeiten erwerben sollen, die für rationales Bewerten erforderlich sind,muß sich der Unterricht darauf konzentrieren, die persönlichen Verzerrungen undkognitiven Heuristiken, wie sie von Psychologen identifiziert wurden, herauszufordern,und - auf besonders leicht zugängliche Art - die Stärke von stochastischem

13Denken demonstrieren.In unserer Diskussion schlagen wir ein graphisches Werkzeug vor, das bei diesemVorhaben helfen kann. Obwohl das Model, das wir vorschlagen, nicht auf alleProbleme mit bedingten Wahrscheinlichkeiten passen mag, glauben wir, daß es inKombination mit empirischen Untersuchungen (Simulationen), wie Shaughnessysie vorschlägt, zum Werkzeugkoffer der LehrerIn beitragen kann, mit dem er/sieStudierenden hilft, mit abhängigen und unabhängigen Ereignissen, normativen Regelnfür kombinierte Ereignisse und der Logik Bayesianischer Fragen zurande zukommen.LiteraturGardner, H. (1991): The Unschooled Mind. - New York: Basic Books.Grey, D.R., Holmes, P; Barnett, V; Constable, G.M. (Hrsg.) (1983): Proc. First Intern. Conf. onTeaching Statistics. - Sheffield: Teaching Statistics Trust.Falk, R. (1994): Inference under uncertainty via conditional probability. - In: Studies of MathematicsEducation, Vol.7: Teaching Statistics in Schools. - Paris: UNESCO.Fischbein, E. (1987): Intuition in Science and Mathematics. - Dordrecht: ReidelKahneman, D.; Slovic, P.; Tversky, A. (1982): Judgement under uncertainty: Heuristics andbiases. - Cambridge: Cambridge Univ. Press.Piattelli-Palmarini, M. (1994): Inevitable Illusions. - New York: Wiley and Sons.Scholz, R. (1987): Cognitive Strategies in stochastic thinking. - Dordrecht: Reidel.Shaughnessy, J.M. (1992): Research in probability and statistics: Reflections and directions. - In:Grouws, D.A. (Hrsg.): Handbook of research on teaching mathematics and learning. - NewYork: Macmillan.Tversky, A.; Kahneman, D. (1974): Judgement under uncertainty: Heuristics and biases. - In:Science 185, 1124-1131.Dies ist einem Cartoonvon Andrejs Dunkelsnachempfunden – Teach.Stat. 1987