Entlockungen von Ehrlichkeit - Stochastik in der Schule

Entlockungen von Ehrlichkeit: Wie sagt man die Wahrheit mit Statistik? 1JOSEPH G. EISENHAUER, BUFFALO, N.Y., USAÜBERSETZT UND BEARBEITET: JOACHIM ENGEL, LUDWIGSBURGZusammenfassung: Der Aufsatz beschreibt und illustriertverschiedene Modelle der Randomized ResponseTechnik, einer Methode, um bei Umfragenehrliche Antworten auf sensible Fragen zu entlocken.1 EinleitungDie statistische Praxis wird oft als ein Instrumentzur Täuschung dargestellt, wie z.B. in Darrell HuffsHuff (1954) Abhandlung How to Lie with Statistics.Aber Statistiker können auch selbst das Opfer vonTäuschungen sein. Für eine Vielfalt von Gründeneinschließlich Bescheidenheit, Scham und Furcht vorBestrafung reagieren Personen bei Umfragen oft nursehr widerwillig auf persönliche Fragen über Einkommen,politische Präferenzen, illegale Aktivitätenetc. Als Konsequenz beantworten sie derartige Fragenoft überhaupt nicht oder geben falsche Antworten.Solche Verhehlungen führen zu einem Verzerrungsffektaufgrund ausweichender Antworten.Ein offensichtlicher Zugang zu diesem Problem bestehtdarin, Vertraulichkeit bei den Antworten zu garantieren.Damit dies effektiv ist, müssen Befragteauch tatsächlich darauf vertrauen können, dass ihreAntworten vertraulich behandelt werden. Selbst derEinsatz von anonymen Umfragebögen ist begrenzt,wenn gleichzeitig auch demographische Informationenerbeten sind.Um diese Schwierigkeiten zu überwinden hat StanleyWarner (1965) eine Methode eingeführt, bei derdie Stichprobe der Befragten zufallsbedingte Antwortengeben. Diese randomisierte-Antwort-Technik(in englisch: randomized response sampling, kurz:RRS) ist eine Wahrscheinlichkeits-basierte Methode,um ehrliche Antworten auf sensible Erhebungsfragenzu erhalten. Obwohl inzwischen fast vier Jahrzehntealt und wohlbekannt in der Fachliteratur fehlt RRSweitgehend in einführenden Lehrbüchern zur Wahrscheinlichkeitsrechnungund Statistik (Ausnahmen:Arthur Engel, 1987). Dies erstaunt, da die grundlegendeHerangehensweise zu RRS im Stochastikunterrichtquasi auf allen Niveaustufen verfügbar istund in spannender Weise zeigt, wie Ideen der Wahrscheinlichkeitsrechnungund des Stichprobendesignsmiteinander integriert werden können. Da das Verfahreneingesetzt werden kann, um das Ausmaß unethischen,unmoralischen oder kriminellen Verhaltenszu bestimmen, ohne den Übeltäter zu belasten, istRRS selbst (und vielleicht sogar ganz besonders) attraktivfür spitzbübige Schüler, die in der Diskussionheimlicher Aktivitäten einen besonderen Reiz finden.Dieser Aufsatz illustriert die RRS-Methode und fassteinige Resultate der Forschung über RRS zusammen.Zuerst werden zwei Varianten von RRS zumSchätzen von Anteilen beschrieben. Als Zweiteswird die Anwendbarkeit von RRS auf multinomialeund diskrete qualitative Daten untersucht. Undschließlich wird der Einsatz von RRS bei stetigenDaten demonstriert.2 Anteile Schätzen mit Hilfe von RRSAngenommen, wir wollen den Anteil der Schülerschätzen, die bei einer Klausur geschummelt haben.Mehrere Version von RRS können zu diesem Zweckbenutzt werden. Warners ursprünglicher Ansatz warein eine-Frage-Modell, das im Folgenden illustriertwird. Ein Stapel gewöhnlicher Spielkarten wird unterden Schülerinnen und Schülern verteilt. Jeder ziehtverborgen eine zufällige Karte, und steckt sie gleichwieder zurück. Eine Spielfarbe, z.B. Kreuz, repräsentiertSchuld, die anderen Farben repräsentieren Unschuld.Jeder Schüler und jede Schülerin ist dann aufgefordert,die folgende Frage mit ‘Ja’ oder ‘Nein’ zubeantworten: “Gibt die Karte, die Du gezogen hast,Deinen Status wieder?”. Egal, welche Antwort gegebenwird, niemand kann als schuldig oder unschuldigidentifiziert werden. Dennoch lässt sich aufgrundder bekannten Wahrscheinlichkeiten des Kartenstapelsder Anteil der Antworten für beide Kategorienschätzen.Um zu sehen, wie das funktioniert, bezeichne X einbinomial-verteilte Zufallsvariable, die den Wert 1 annimmt,wenn der Befragte mit ‘Ja’ und 0, wenn derBefragte mit ‘Nein’ antwortet. Es sei p die Wahrscheinlichkeit,dass der Zufallsgenerator (d.h. diegezogene Spielkarte) Schuld anzeigt, und es sei πder wahre Anteil der schuldigen Schülerinnen undSchüler in der Gesamtpopulation. Dann ist die Wahrscheinlichkeit,dass irgendein Schüler mit ‘Ja’ ant-1 Übersetzung aus Teaching Statistics, 2001 (2), 45-48Stochastik in der Schule 23 (2003) 3 S. 17–20 17

wortetP(X = 1) = πp + (1 − π)(1 − p).Nun bezeichne n die Anzahl der befragten Schülerund n 1 die Zahl der ‘Ja’-Antworten, so dass der Anteilder ‘Ja’-Antworten n 1 /n beträgt. Wenn wir dannfür die Wahrscheinlichkeit als Näherung die relativeHäufigkeit einsetzen, erhalten wirn 1n= ˆπp + (1 − ˆπ)(1 − p),wobei ˆπ der Maximum-Likelihood-Schätzer für πist. Vorausgesetzt das Experiment ist so gestaltet,dass p ≠ 0,5, dann beträgt der geschätzte Anteil vonSchülern die geschummelt habenˆπ = n 1/n + p − 1.2p − 1In obigem Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit,eine Kreuzkarte zu ziehen 0,25. Falls daher zum Beispiel65 von 100 Schülerinnen und Schüler mit ‘Ja’geantwortet haben, ist ˆπ = 0,20; dieser Schätzwertewürde bedeuten, dass 20% der Schüler geschummelthaben und es im Geheimen gestanden haben.Dennoch hat keiner öffentlich irgendein Fehlverhaltengestanden.Ein zweiter, vielleicht einfacherer Zugang zu demselbenProblem ist das Zwei-Fragen-Modell, das einezweite beziehungslose Frage miteinbezieht. Wiederumwird ein Stapel Spielkarten eingesetzt, und dieSchüler werden aufgefordert, falls sie eine Kreuz-Karte ziehen, die Frage zu beantworten “Hast Dubei der Klausur geschummelt?”. Falls sie irgendeineandere Karte ziehen, beantworten sie eine harmloseFrage, die unvermeidlich mit ‘Ja’ zu beantwortenist, wie z.B. “Gehst Du zur Schule?”. Eine‘Nein’-Antwort offenbart hier unvermeidlich, dassder Schüler nicht geschummelt hat, aber das solltekeine Verlegenheit provozieren. Andererseits kannnichts aus einer ‘Ja’-Antwort gefolgert werden. Indiesem Modell können wir erwarten, dass pn Schülerdie sensible Fragen erhalten; andererseits erwartenwir, dass (1− p)n Schüler die harmlose Frage gestelltbekommen, und sie sollten sie alle mit ‘Ja’ beantworten.Bezeichnen wir mit n 1 wiederum die Zahl der‘Ja’-Antworten so folgt, dass n 1 ≥ (1− p)n. Die Differenzn 1 − (1 − p)n repräsentiert die Zahl der ‘Ja’-Antworten auf die sensible Frage. Wenn wir daherdie Differenz durch pn teilen, erhalten wirˆπ = n 1 − (1 − p)npnals geschätzten Anteil der Schummler gemäß demZwei-Fragen-Modell. Falls beispielsweise 80 von100 Schülerinnen und Schüler eine ‘Ja’-Antwort geben,erwarten wir, dass davon 30 die harmlose Fragebeantwortet haben. Das Resultat bedeutet dann, dass5 von 25 oder 20% anonym eingestehen, dass sie geschummelthaben.Andere Varianten sind auch noch möglich, wie z.B.in der gut lesbaren älteren Arbeit von Campbell &Joiner (1973) oder in jüngerer Zeit von Greenberget al. (1986) beschrieben. Hutchinson (1995) bevorzugtein Zwei-Fragen-Modell mit zwei Randomisierungen.Die meisten dieser Methoden können auf einemziemlich einfachen Niveau diskutiert werden,und Schülerinnen und Schüler finden ein Experimentierenmit diesen Methoden meist faszinierend. DieResultate der RRS-Methoden lassen sich vergleichenmit mehr konventionellen Erhebungsmethoden wiez.B. anonyme Umfragen, und die Diskussion kannsich darum drehen, welches Verfahren eher geeignetist, ehrliche Antworten zu erhalten.3 Multinomial- und diskreteVerteilungenEin allgemeineres Modell für RRS wird notwendig,wenn die Daten multinomial sind. Abuul-Ela etal. (1967) haben die RRS Methode erfolgreich aufden Fall von drei und mehr Datenklassifikationen erweitert,indem mehrere Stichproben von Befragtenausgewählt werden und dann ein Gleichungssystemgelöst wird. Unglücklicherweise wird dieser Prozesssehr komplex und unhandlich, wenn die Anzahl derKategorien weiter zunimmt. Ein einfacherer Ansatzvon Eriksson (1973) besteht im Stellen einer einzigenFrage an eine Teilstichprobe und dem Zuweisen einerKette von falschen Antworten mit bekannten Wahrscheinlichkeiten.Dieses Modell kann entweder aufmultinomiale kategoriale Daten oder diskrete quantitativeDaten angewandt werden. Wir illustrieren dasLetztere.Angenommen wir wollen die Anzahl schätzen, wieoft Schüler bei Klausuren geschummelt haben. Wiederumsetzen wir einen Stapel Spielkarten ein. JedeBildkarte (Bube, Dame oder König) repräsentierenull Vorfälle. Ein Ass stehe für einmal u.s.w. biszur 10, die zehn Vorfälle von Schummeln repräsentiere.Jeder Befragte zieht eine Karte ohne Zurücklegen.Ist die Karte ‘Kreuz’, so berichtet er odersie lediglich den dazu gehörigen Wert der Karte.Der Kürze wegen bezeichnen wir dies als ‘falschenWert’. Hat die Karte eine andere Spielfarbe, nennt18

er oder sie die tatsächliche Zahl von Vorfällen desSchummelns. Die Zahl der falschen Antworten kannals irrelevant beiseite gelegt werden. In einer Stichprobevon 52 Schülern beispielsweise würden dreieine Kreuz-Bildkarte ziehen. Daher werden drei derNull-Antworten ignoriert usw. Dieses Vorgehen liefertDaten für eine Stichprobe von 39 Schülern, ohnedass irgendeiner sein persönliches Verhalten offen legenmusste. Ein hypothetisches Beispiel ist in Tabelle1 illustriert. Das Resultat ist eine diskrete Verteilung,von der das arithmetische Mittel, Varianz undandere statistische Kennzahlen leicht errechnet werdenkönnen. Natürlich lässt sich dieses Vorgehen anjede Stichprobengröße anpassen.Würden die Karten hier mit Zurücklegen gezogen,würde man hier das Risiko eingehen, dass es Kartengibt, die von weniger als 1/52 der Befragten gezogenwerden. In diesem Fall würden wir in einigen Kategorienweniger Beobachtungen als erwartet erhalten.Diese Gefahr besteht nicht, wenn ohne Zurücklegengezogen wird, und danach die Karten verborgen ineiner Schachtel abgelegt werden, wodurch in keinerWeise der Schutz des Zufallsprozess beeinträchtigtwird.Es ist klar, dass dieses Vorgehen ebenso gut bei kategorialenDaten eingesetzt werden kann, die mehrals zwei Klassifizierungen haben wie z.B. die Vorliebenvon Wählern für drei oder mehr politische Parteien.Die Methode kann auch verwendet werden, umVerteilungen von gruppierten Daten zu erstellen. Wirkönnten beispielsweise jede Karte einen bestimmtenEinkommenszuwachs repräsentieren lassen. Berechnungen,die auf ungruppierten stetigen Daten basieren,wenden wir uns jedoch dem nächsten Abschnittzu.4 Stetige DatenDie Erweiterung von RRS auf stetige Daten geht aufGreenberg et al. (1986) zurück. Sie schlagen vor,zwei Stichproben von Personen zu befragen. MittelsZufallsmechanismus wird entschieden, ob diebefragte Person die sensible Frage, z.B. “WievielEinkommen hat Ihr Haushalt im letzten Jahr verdient?”oder eine verwandte, aber harmlose Fragewie z.B. “Wieviel Einkommen glauben Sie hat derdurchschnittliche Haushalt im letzten Jahr verdient?”beantworten soll. Der Zweck dieses Vorgehens bestehtdarin, numerische Werte zu erhalten, die nichtoffen legen, welche Frage gefragt wurde. Um zu sehen,wie das funktioniert, bezeichne p i die Wahrscheinlichkeit,dass die sensible Frage in der i-tenStichprobe gewählt wurde (i=1,2). Die Untersuchungsollte so angelegt sein, dass p 1 ≠ p 2 . Greenberg etal. (1986) empfehlen darüber hinaus eine Wahl vonp 2 = 1 − p 1 . Bezeichne jetzt X i die Antwort einerzufällig gewählten Person in Stichprobe i, und seienµ S und µ H die wahren (Populations-)Mittelwerteder sensiblen bzw. harmlosen Frage mit ˆµ S und ˆµ Hals jeweiligen Schätzwert. Die Antwort, die wir vonirgendeiner Person zu erhalten erwarten, ist ein gewichteterMittelwert des sensiblen und des harmlosenErwartungswertes. Denn für eine Person in Stichprobe1 giltE(X 1 ) = p 1 µ S + (1 − p 1 )µ Hwährend für eine Person aus Stichprobe 2E(X 2 ) = p 2 µ S + (1 − p 2 )µ H .Ersetzen wir jetzt für jede Stichprobe die ErwartungswerteE(X) mit den beobachteten MittelwertenX, und lösen anschließend die zwei Gleichungen mitzwei Unbekannten, dann erhalten wirˆµ S = (1 − p 1)X 2 − (1 − p 2 )X 1p 2 − p 1als geschätztes mittleres Einkommen. (Natürlichkann ebenso ˆµ H errechnet werden, aber dise Zahl hatkeine wirkliche Bedeutung.) Sind die Wahrscheinlichkeiten,eine sensible Frage zu erhalten in der erstenund zweiten Stichprobe 0,25 bzw. 0,75, und betragendie durchschnittlichen Antworten 54000 ¤bzw. 60000 ¤ dann beträgt das geschätzte mittlereEinkommen 63000 ¤.Wenn unglücklicherweise die Einkommensverteilungeine große Varianz hat, dann ist die zweite Fragenur eine sehr ineffiziente Verschleierung. Sie wirddie Privatsphäre der Befragten nur schlecht schützen.Befragte mit extremen Einkommen werden Verdachtschöppfen, da z.B. weder 15000 ¤ noch 300000 ¤als plausible Schätzung von irgendjemandem alsnationaler Durchschnitt angesehen werden könnte.Tatsächlich erkennen auch Greenberg et al. (1986)an, dass “Antworten an einem der Ende der Verteilung... höchstwahrscheinlich sehr sensible Antwortensind, und dies wird hellen Befragten schnell klarsein. Sie werden wahrscheinlich eine ausweichendeoder unehrliche an Stelle einer akuraten Antwort geben,die die Frage, auf die sie antworten, identifizierenwürde” (1971, S. 246). Aber dies widersprichtnatürlich dem beabsichtigten Zweck von RRS! EinAusweg dazu besteht darin, einfach eine einzige Frageüber Einkommen zu stellen, und einen Zufallsgeneratoreinzusetzen, um den Befragten in Stichprobe19

Karte Wert Antworten falsche Zahlen geschätzte VerteilungBube, Dame, König 0 35 3 32Ass 1 4 1 32 2 3 1 23 3 2 1 24 4 1 1 05 5 2 1 16 6 1 1 07 7 1 1 08 8 1 1 09 9 1 1 010 10 oder mehr 1 1 0Tab. 1: Hypothetische Verteilung diskreter Datenmittels der RRS-Methode erstellti zu instruieren, mit Wahrscheinlichkeit p i die Wahrheitzu sagen und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p i irgendeinefalsche beliebige Antwort zu geben. Aufdiese Weise ist es weniger wahrscheinlich, dass diePrivatsphäre kompromittiert wird.5 SchlussfolgerungenZusätzlich zu den Übungen und Unterrichtsdiskussionenkann die RRS-Methode auch leicht beiSchülerprojekten eingesetzt werden. Schüler scheinendaran Spass zu haben, Erhebungen mit von ihnenselbst gestellten sensiblen Fragen zu planen unddurchzuführen und die Ergebnisse dann zu vergleichen.Auf einem weiter fortgeschrittenen Niveaukönnen ihre Resultate zum Testen von Hypothesenführen. Falls genügend viele Schüler solch eine Erhebungdurchführen, können ihre Resultate auch verwendetwerden, um den zentralen Grenzwertsatz zuillustrieren. Daher kann RRS als didaktisches Hilfsmittelein Sprungbrett sein, um eine Vielfalt statistischerKonzepte zu erarbeiten. Aber die vielleichtwichtigste Lektion ist: obwohl das berüchtigte Zitat“Lügen, verdammte Lügen, Statistik”, das oft Disraelizugeschrieben wird, Statistik als die übelste Formder Verlogenheit darstellt, zeigt RRS dass Statistikauch genutzt werden kann, um Ehrlichkeit zu entlocken,wo ansonsten Täuschung vorherrschen würde!LiteraturAbul-Ela, A.A., Greenberg, B.G. & Horvitz, D.G.(1967): A multi-proportions randomized responsemodel. Journal of the American Statistical Association,62 (319), 990-1008.Campbell, C. & Joiner, B.L. (1973): How to get theanswer without being sure you’ve asked the question.American Statistician 27 (5), 229-231.Engel, A. (1987): Stochastik. Klett Verlag: Stuttgart.Eriksson, S.A. (1973): A new model for randomizedresponse. International Statistical Review, 41 (1),101-113.Greenberg, B.G., Abernathy,J.R. & Horvitz, D.G.(1986): Randomized response. In: S. Kotz &N.L. Johnson (eds), Encyclopedia of StatisticalSciences, volume 7, 540-548. Bew York: Wiley.Greenberg, B.G., Kuebler, R.R., Abernathy,J.R. &Horvitz, D.G. (1971): Application of randomizedresponse technique in obtaining quantitative data.Journal of the American Statistical Association, 66(334), 243-250.Huff, D. (1954): How to Lie with Statistics. NewYork: Norton.Hutchinson, P. (1995): Asking sensitive questions insurveys. Teaching Statistics, 17(2), 43.Warner, S.L. (1965): Randomized response: a surveytechnique for eliminating evasive answer bias.Journal of the American Statistical Association,60) (309), 63-69.Anschrift des VerfassersJoseph G. EisenhauerCanisius CollegeBuffalo, New YorkUSAeisenhauer@canisius.edu20