Bedingte Wahrscheinlichkeit Verstehen - Stochastik in der Schule

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6Im Fall der Ereignisse X, Y und Z jedoch sind solche Beziehungen keineswegs offensichtlich.Erhöht oder verringert die Kenntnis, daß eine Primzahl geworfen wordenist, die Wahrscheinlichkeit, daß der Versuchsausgang eine gerade Zahl ist, oderbleibt diese Information ohne Auswirkung auf die letztere Wahrscheinlichkeit? Wiekann weiters, unter den gegebenen Bedingungen, die Wahrscheinlichkeit bestimmtwerden, daß beide Ereignisse (Primzahl und gerade Zahl) eintreten? Wie die Geschichtevon Linda zeigt, können solche Fragen, welche zentral für viele Wahrscheinlichkeitsproblemesind, nur beantwortet werden, wenn die impliziten Beziehungenzwischen Ereignissen ganz verstanden werden.Wie Abb. 1 zeigt, ist es möglich, die Wahrscheinlichkeit kombinierter Ereignissewie "A und B" zu finden, indem man alle einzelnen Versuchsausgänge innerhalbder entsprechenden Regionen im Venn-Diagramm zusammenfaßt. Aber Vorsicht:Der Wert P ( A ∩ B ) ist nicht immer gleich dem Produkt P ( A ) ⋅ P ( B ) (auchwenn in der Logik, in der Praxis bzw. im englischsprachigen Kontext A ∩ B oftverkürzt als "Produkt" AB angeschrieben wird!). So etwa zeigen die "Durchschnittstabellen"für X ∩ Y und Y ∩ Z , daßP ( Xdie Tabelle für∩ Y ) = P ( X ) P ( Y ) und P ( Y∩Z ) = P ( Y ) P ( Z ) ;X ∩ Zzeigt, daßP ( X∩ Z) ≠ P ( X ) P ( Z ) .Dies deswegen, weil X und Z abhängige Ereignisse sind - sie beeinflussen wechselweisedie Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses - während X und Y sowieY und Z jeweils unabhängige Ereignisse sind.Eine der häufigsten Annahmen, die Studenten treffen, ist, daß die Wahrscheinlichkeitdes kombinierten Und-Ereignisses durch Multiplizieren der Einzelwahrscheinlichkeitenberechnet werden kann. Während nun diese empirische "Produktregel"für unabhängige Ereignisse zutrifft (wie für Y und Z), müssen Studenten dazugebracht werden, zu würdigen, wie diese Formel zusammenbricht, wenn es umabhängige Ereignisse geht. Bringt man die Schüler dazu, all diese WahrscheinlichkeitenP ( X ) , P ( X ∩ Y ) , P ( X ∩ Y ) usw. aus den Tabellen zu berechnen, sowerden sie damit direkt konfrontiert und, so argumentierten wir, dies bringt einenkräftigen Anreiz, diese Ereignisse mathematisch zu untersuchen.
Studenten die Formel P ( A ∩7B ) = P( A ) P ( B | A ) auswendig lernen und sie inTextbuchbeispielen anwenden zu lassen, wird klarerweise nicht ihr Verständnisvon Wahrscheinlichkeitsgesetzen sicher stellen. Weil der Ausdruck P ( B | A ) , dieWahrscheinlichkeit von B gegeben A, einen Vergleich von Versuchsausgängen inder Menge A bzw. in der Menge A ∩ B erfordert, müssen die zugrundeliegendenBeziehungen zwischen den Ereignissen über die Teilmengenrelation aufgefaßt werden.Tatsächlich sind alle Wahrscheinlichkeiten bedingte Wahrscheinlichkeiten undwerden nach derselben fundamentalen Definition berechnet:P ( Lösungsmenge )P ( Ereignis ) =P ( Ergebnismenge )Sogar Ereignis Z, eine Primzahl zu werfen, hängt davon ab, ob der Würfel fair ist.FolglichP ( Z ) = P ( Z | Fairer Würfel) = P ( Z | Universalmenge ) =Summe aller Wahrscheinlichkeiten von Versuchsausgängen in der MengeSumme aller Wahrscheinlichkeiten von Versuchsausgängen in der MengeZ=U3 / 6 1=6 / 6 2Dieses Argument kann bildlich gefaßt werden, indem man die Fläche jeder Regioninnerhalb des Venn-Diagramms gerade der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses entsprechenläßt, welches sie repräsentiert. Folglich hat die Universalmenge eine Flächevon 1 und, im Beispiel oben, die Menge Z hat eine Fläche von 2.Fläche der Region ZP ( Z ) =Fläche der Region U=1/ 21Im allgemeinen hat man für zwei beliebige Ereignisse, vorausgesetzt P ( A ) ≠ 0:P ( A ∩ B )P ( B | A ) =P ( A )=12Fläche der Region A ∩ B=Fläche der Region AFolglich erhält man aus Abb. 1: Wenn A durch das Dreieck und B durch das obereRechteck repräsentiert werden, so gilt:P ( A ) = 1 ; P ( A ∩2P ( B| A )=B )=P ( A ∩ B )P ( A )1 ; P (8=1/81/ 2B )==1412
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