Elliptische Copulas Definition 14 Sei X ein d-dimensionaler ...

t-Copula: ein weiteres Beispiel elliptischer CopulasDefinition 16 Sei X d = µ +√ α√SAZ ∼ t d (α, µ,Σ), wobei µ ∈ IR d , α ∈ IN,α > 1, S ∼ χ 2 α , A ∈ IRd×k mit AA t = Σ und Z ∼ N k (0, I k ), und S undZ unabhängig sind. Es heißt, X hat eine d-dimensionale t-Verteilungmit Mittelwert µ (für α > 1) und Kovarianzmatrix Cov(X) = αα−2 Σ(für α > 2). Cov(X) existiert nicht für α ≤ 2.Definition 17 Die Copula Cα,R tCopula gilt:R ij =von X heißt t-Copula. Für die t-C t α,R (u) = td α,R (t−1 α (u 1), . . . , t −1α (u d)).Σ ij√Σii Σ jj, i, j = 1,2...,d, ist die Korrelationsmatrix von Z,t d α,R ist die Verteilungsfunktion von √ α√SZ, wobei S ∼ χ 2 α und Z ∼N k (0, I k ) unabhängig sind, und t α sind die Randverteilungen von t d α,R .Bivariater Fall (d = 2):C t α,R (u 1, u 2 ) =∫ t−1α (u 1)−∞∫ t−1α (u 2)−∞{11 + x2 1 − 2ρx }1x 2 + x 2 −(α+2)/22dx2π(1 − ρ 2 ) 1/2 α(1 − ρ 2 1 dx 2 ,)für ρ ∈ (−1,1). R 12 ist der lineare Korrelationskoeffizient derdazugehörigen bivariaten t α -Verteilung für α > 2.45