Elliptische Copulas Definition 14 Sei X ein d-dimensionaler ...

Korollar 3 Sei (X 1 , X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungenund einer t-copula Cν,R t mit ν Freiheitsgraden und einerKorrelationsmatrix R. Dann gilt:( √ √ν) 1 − R12λ U (X 1 , X 2 ) = λ L (X 1 , X 2 ) = 2¯t ν+1 + 1 √ 1 + R12Theorem 21 Sei (X 1 , X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungenund einer Gauss’schen copula Cρ Ga , wobei ρ der Koeffizientder linearen Korrelation zwischen X 1 und X 2 ist. Dann gilt:ρ τ (X 1 , X 2 ) = 2 π arcsin ρ und ρ S(X 1 , X 2 ) = 6 π arcsin ρ 2Korollar 4 Sei (X 1 , X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungenund einer elliptischen copula Cµ,Σ,ψ E . Dann gilt:ρ τ (X 1 , X 2 ) = 2 π arcsin R 12, wobei R 12 = Σ 12√Σ11 Σ 22Theorem 22 Sei X ∼ E d (µ,Σ, ψ) ein elliptisch verteilter Vektor mitstetigen Randverteilungsfunktionen. Dann gilt:ρ τ (X i , X j ) = 2 π arcsin R ij, wobei R ij =Σ ij√Σii Σ jjfür i, j = 1,2, . . . , dBeweise von Satz 21, Satz 22 und Korollar 4: siehe McNeil et al.(2005).51