15 Integralrechnung

Z 8
Z 28
15.3 Integrationsverfahren 485
oder
I = (3x + 4)dx = u
2
10
du 1 28
= u2 =
3 6 10
1
6 (282 ; 10 2 ) = 114.
. Gegebenenfalls führen einfache Substitutionen schneller zum Ziel, als die angegebenen trigonometrischen
(hyperbolischen) Substitutionen.
Z p Z
1 pzdz 1 2
x x2 ; 4dx = =
2 2 3 z3=2 = 1 ; 2 3=2
x ; 4 .
3
(Substitution: z = x2 ; 4, dz = Z Z 2xdx).
3 3 1
sin xcosxdx = z dz =
4 z4 + c = 1
4 sin4 x + c.
(Substitution: z = sinx).
Z
x3 Z
1 zdz 1
p dx = =
1 + x4 2 z 2
p
(Substitution: z = 1 + x4 Z Z ).
sinx
tanxdx = dx = ;
cosx
(Substitution: z = Z
cosx). Z
cosx
p dx =
2
1 + sin x
Z dz = 1
2
Z dz
z
1p
z + c = 1 + x4 + c.
2
= ;lnjzj + c = ;lnjcosxj + c.
dz
p = Arsinh(z) + c = Arsinh(sinx) + c.
1 + z2 (Substitution: z = sinx).
. Weitere in der Praxis häufig vorkommende Integrale sind in der Integraltafel im Anhang angegeben.
Substitutionen Z von Euler für das spezielle Integral
p
I = f ( ax2 + bx + c)dx:
Fall Substitution Differential
a > 0
p p
ax2 + bx + c = x a + z
x = z2 ; c
b ; 2z p a
dx = 2 ;z2pa + bz ; c p a
(b ; 2z p a) 2
c > 0
p p
ax2 + bx + c = xz + c
x =
dz
2zpc ; b dx = 2 apc ; bz + z2pc (a ; z2 ) 2 dz
reelle
Wurzeln x1�x2
Partielle Integration
a ; z 2
p ax 2 + bx + c = z(x ; x1)
x = z2 x1 ; ax2
z 2 ; a
dx = 2 az(x2 ; x1)
(z2 dz
; a) 2
Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentiation.
Symbolisch:
(uv) 0 = u 0 v + v 0 u !
Z Z
uv
0
dx = uv ; u
0
vdx:
Integrationaufgabe Z wird durchZ zwei Teilintegrationen gelöst:
f (x)g
0
(x)dx = g(x) f (x) ; g(x) f
0
(x)dx:
Anwendung der Regel besonders bei Produkten von Funktionen als Integrand.