15 Integralrechnung

498 15 Integralrechnung
A =
Z a
;a
j f (x)jdx = 2
Z a
Fläche zwischen zwei Funktionen,
Z b
nX
A = j f (x) ; g(x)jdx =
a
0
j f (x)jdx ( f (x) gerade oder ungerade Funktion):
i=0
Z xi+1
xi
( f (x) ; g(x))dx �
wobei x0 = a�xn+1 = b und xi� (i = 1�2�:::�n) die Schnittpunkte der beiden Funktionen sind.
. Es ist empfehlenswert, den Funktionsverlauf des Integranden zu skizzieren.
Fläche zwischen einer Kurve und der y-Achse: entspricht der Integration der Umkehrfunktion U(y).
A =
Z f (b)
f (a)
U(y)dy:
fx ( )
b
∫
a
fx ( ) dx
a b
fx ( )
Rotationskörper (Drehkörper)
x
+
∫
π/2
π/2
cosx dx
∫
0
π/2 −
π
− cosx dx
π
x
Flächenberechnungen
Rotationskörper (Drehkörper), entsteht durch Rotation einer Funktion y = f (x) bzw. einer Umkehrfunktion
U(y) um eine Achse.
. Nicht notwendigerweise eine Koordinatenachse.
Schräg im Raum liegende Rotationshyperboloide, Symmetrieachse 45o (x = y).
Volumen des Rotationskörpers: Integration über alle Kreisscheiben.
Z b
Rotation um x-Achse: Vx = π f (x) 2 dx�
Rotation um y-Achse: Vy = π
y = x2 Z
4 5
: Vx = π x dx = (π=5)x ,
fx ( )
a Z f (b)
U(y)
f (a)
2 Z b
dy = π x
a
2 f 0 (x)dx:
Volumen eines Rotationsparaboloids der Höhe h:
Z h
Vy = π (
0
p y) 2 dy = πh2
Z
= π
2 p h
x
0
2 2xdx:
Oberfläche eines Rotationskörpers, oder Mantelfläche, entspricht einer Integration über alle Kreisumfänge
entlang der Kurve. Z Z p
Rotation um x-Achse: AMx = 2π f (x)ds = 2π f (x) 1 + f 0 (x) 2 dx�
Rotation um y-Achse: AMy = 2π
p
Oberfläche einer Kugelzone: y = r2 ; x2 ,
Z s
h p
AMx = 2π r2 ; x2 0
1 + x2
r2 dx = 2πr
; x2 x i
fx ( )
Z Z p
U(y)ds = 2π U(y) 1 +U 0 (y) 2 dy:
Z h
0
dx = 2πrh:
x i+1
gx ( )
x