15 Integralrechnung

R(x) = N(x)
Z(x) = 2x2 ; 2x + 4
x 3 ; x 2 + x ; 1 Z(x) = (x ; 1)(x2 + 1).
Ansatz: R(x) = A Bx +C
+
x ; 1 x2 + 1 .
Koeffizientenvergleich:
2x 2 ; 2x + 4 = A(x 2 + 1) + (Bx +C)(x ; 1)
= x 2 (A + B) + x(C ; B) + A ;C
! A = 2� B Z=
0� C = ;2.
15.3 Integrationsverfahren 489
2 2
Integration: ;
x ; 1 x2 dx = 2lnjx ; 1j ; 2 arctanx.
+ 1
Zusammenfassung der Partialbruchzerlegung und der Integration der Partialbrüche für die verschiedenen
Arten der Nullstelle x0 der Nennerfunktion N(x):
Nullstelle x0 von N(x) Partialbruchansatz Integration
einfach, reell
zwei einfache reelle
doppelt, reell
n-fach, reell
einfach�komplex
(x0 = s0 jt0)
n-fach, komplex
(x0 = s0 jt0)
A
x ; x0
A 1
;
x0 ; x1 x ; x0
1
x ; x1
A B
+
(x ; x0) 2 x ; x0
nX
i=1
Ai
(x ; x0) i
Ax + B
(x 2 ; 2s0x + s 2 0 +t2 0 )
nX
Aix + Bi
i=1 (x2 ; 2s0x + s2 0 +t2 0 )i
Integration durch Reihenentwicklung
Potenzreihenentwicklung des Integranden mit dem Konvergenzradius r:
f (x) =
1X
k=0
;
nX
i=2
Alnjx ; x0j
A
x0 ; x1
ln
x ; x0
x ; x1
; A
+ Blnjx ; x0j
x ; x0
Ai
(i ; 1)(x ; x0) i;1 + A1 lnjx ; x0j
A
2 lnjx2 ; 2s0x + s 2 +t 2 j
+ As0 + B x ; s0
arctan
t0
t0
rekursiv, siehe oben
ak x k = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 +::: (ak = 1
k! f (k) (0)� jxj < r):
Anschließende Integration der einzelnen Glieder der Potenzreihe:
Z f (x)dx =
1X
x
ak
k=0
k+1
k + 1 = a0x + a1
2 x2 + a2
3 x3 +::::
In der Regel sowohl für unbestimmte als auch für bestimmte Integrale möglich!
. Die Integrationsgrenzen müssen innerhalb des Konvergenzradius r liegen!
Z sin p xdx:
Potenzreihe: sinx = x ; x3
3!
Integration:
x5
+
Z
p 2x
sin xdx = 3=2
5! ;:::,sinpx = p x ; x3=2
3!
3
2x5=2 2x7=2
; +
5 3! 7 5! ;:::
+ x5=2
5! ;:::,