15 Integralrechnung

15.3 Integrationsverfahren 483
4) Umkehrung der logarithmischen Differentiation:
Hat der Integrand die Gestalt f 0 (x)
, so ist das Integral gleich dem Logarithmus des Nenners
f (x)
Z f 0 (x)
dx = lnj f (x)j + c:
f (x)
. Der Logarithmus ist von f (x), nicht von f 0 (x) zu nehmen!
5) Spezielle Form des Integranden:
Z
f (x) f
0 1
(x)dx =
2 ( f (x))2 + c:
Integration durch Substitution
Substitutionsregel,ist f (x) stetig, g(x) stetig differenzierbar und umkehrbar, so ist
Z b
a
f (g(x))dx =
Z g(b)
g(a)
f (z) dx
dz =
dz
Z g(b)
g(a)
f (z) 1
g 0 (x) dz:
. Man vergesse nicht, am Ende wieder zurückzusubstituieren (die Variable x ist durch die nach x aufgelöste
Substitutionsfunktion zu ersetzen: x = g ;1 (z)), oder die Grenzen sind zu ändern.
Z 3
6xln(x
1
2 Z 9
)dx = 6xlnz
1
dz
Z 9
= 3 lnzdz = 3(9ln9; 9 ; ln1 + 1) = 27ln9 ; 24.
2x 1
(Substitution z = g(x) = x2 , z0 = dz
dx = 2x, Umkehrfunktion x = p z).
Z Z
1 1 1 1 1
dx = dz = lnjzj + c = lnj5x ; 7j + c
5x ; 7 5 z 5 5
(Substitution: z = 5x ; 7).
Z Z
1
1 1
sin(3 ; 7x)dx = ; sinzdz = cosz + c = cos(3 ; 7x) + c.
7
7 7
(Substitution: z = 3 ; 7x).
Z Z Z
1
1
1
p dx = 2 zdz = 2
x + x z + z2 1 + z dz = 2lnjz + 1j + c = 2lnjpx + 1j + c.
(Substitution: z = p x).
Z
x
xe 2
dx = 1
Z
z 1
e dz =
2 2 ez + c = 1
2 ex2 + c.
(Substitution: z = x 2 ).
Z
1
ex dx =
+ e ;x
Z
(Substitution: z = e x ).
Z p1 + x 2 dx =
1 1
dz =
z + 1=z z
Z cosh 2 zdz = 1
(Substitution: z = Arsinhx).
Z
dx
sinx =
Z 2 Z
1 + z 2dz dz
=
2z 1 + z2 z
(Substitution: z = tan(x=2).
2
Z
1
z 2 + 1 dz = arctanz + c = arctan(ex ) + c.
(z + sinhz coshz) + c = 1
2 (Arsinhx + x p 1 + x 2 ) + c.
= lnjzj + c = lnjtan(x=2)j + c.