15 Integralrechnung

15.4 Numerische Integration 491
mit verfahrensabhängigen Konstanten ci und
b ; a
h =
N :
F(a�b�N) ist der Fehler der Näherung. N ist die Anzahl der Unterteilungen des Intervalles, h die Breite der
Intervalle. Je größer N, um so besser ist die Näherung, desto länger ist die Rechenzeit.
. Bei zu feiner Unterteilung (zu großem N)können Rundungsfehler das Ergebnis verfälschen.
Man vergrößere die Anzahl der Unterteilung N so lange, bis sich der Wert des Integrals innerhalb der signifikanten
Stellen nicht mehr ändert:
I(2N) ; I(N)
I(2N)
< 10 ;n
(n Anzahl der signifikanten Stellen.)
. n darf nicht über der Stellenzahl des verwendeten Datentyps liegen (einfach-genau: n = 8, doppeltgenau:
n = 16).
. Die Güte der Näherung für ein bestimmtes Integral hängt ab von
1. der Fehlerordnung O(hn ),
2. der Feinheit der Zerlegung h,
3. der Glattheit des Integranden.
Rechteckregel
Annäherung durch Obersumme bzw. Untersumme (Rechtecke):
Z b
a
f (x)dx =
b ; a
N
NX
i=1
Für konstante Funktionen exakt.
Trapezregel
f (a + ih) +O(h) =
b ; a
N
NX
i=1
f (a + (i ; 1)h) +O(h):
Annäherung der zu berechnenden Fläche durch ein Trapez:
Z b
b ; a
f (x)dx ( f (b) + f (a)):
a
2
Unterteilung des Integrales in N Intervalle der Breite h und N-fache Anwendung der Trapezformel (summierte
Trapezformel):
Z b
a
f (x)dx =
b ; a
2N
Für Polynome ersten Grades exakt.
Simpson-Regel
X
N;1
f (a) + f (b) + 2
i=1
f (a + ih)
!
+ O(h 2 ):
Simpson-1/3-Regel, Annäherung des Integranden durch ein Polynom zweiten Grades:
Z b
b ; a
a + b
f (x)dx = f (a) + f (b) + 4 f
+ O(h
a
6
2
4 ):
Für Polynome bis einschließlich dritten Grades exakt.
Anwendung auf N Teilintervalle: In jedem Teilintervall wird die Funktion durch ein Polynom zweiten Grades
angenähert.
Z b
a
f (x)dx =
b ; a
3N
0
X
N=2
@ f (a) + f (b) + 4
i=1
X
N=2;1
f (a + (2i ; 1)h) + 2
i=1
f (a + 2ih)
. Das Intervall muß in eine gerade Anzahl N von Segmenten unterteilt sein.
1
A + O(h 4 )