15 Integralrechnung

. Der Schwerpunkt liegt im allgemeinen nicht auf der Kurve.
15.9 Technische Anwendung der Integralrechnung 505
1. Guldinsche Regel: Der Inhalt der Mantelfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus
der Länge s des auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Kurvenstücks und dem Umfang
des Kreises, den der Schwerpunkt des erzeugenden Kurvenstücks bei einer Volldrehung um
die Drehachse beschreibt.
AMx = 2πySs� AMy = 2πxSs:
y
y S
A x
x
1. Guldinsche Regel
2. Guldinsche Regel:DasVolumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der
auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Fläche und dem Umfang des Kreises, den der
Flächenschwerpunkt bei einer Volldrehung um die Drehachse beschreibt.
Vx = 2πySAx� Vy = 2πxSAy:
y
y S
A x
x
2. Guldinsche Regel
. Die erste Regel beinhaltet den Schwerpunkt der Kurve, die zweite Regel den Schwerpunkt der Fläche.
. Die Guldinschen Regeln dienen in der Praxis zur Bestimmung des jeweiligen Schwerpunktes, wenn
vom Rotationskörper die Bogenlänge s und Vx, Ax,bzw.AMx bekannt sind.
Massenträgheitsmoment
Massenträgheitsmomente J starrer Körper mit homogener Massendichte der Gesamtmasse m und dem
Schwerpunkt S:
Typ Drehachse Moment
Stab senkrecht durch S
1
12 ml2
(Länge l) senkrecht durch einen Endpunkt
Platte senkrecht durch S
(Seitenlängen a�b) parallel zu b durch S
y
y
x S
x S
A y
A y
x
x
1
3 ml2
1
12 m(a2 + b 2 )
1
12 ma2