15 Integralrechnung

504 15 Integralrechnung
A y
fx ( )
y S
−1
x=f (y)
x
fx ( )
A x
y=f (x)
x S
Schwerpunkt eines Drehkörpers
15.9 Technische Anwendung der Integralrechnung
Statisches Moment, Schwerpunkt
Statisches Moment M eines Massenpunktes, das Produkt aus der Masse m mit dem Abstand r von der Drehachse
M = rm:
Bei ausgedehnten Z Körpern gilt
M = r dm:
Schwerpunkt eines ausgedehnten Körpers, der Punkt, in dem sich alle statischen Momente aufheben
rS = 1
Z
r dm�
m
wobei rS der Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse ist.
Drehachse
Massenpunkt
m
r
Drehachse
r
dm
x
Körper der
Masse m
Volumenelement dV der
Masse dm, dm= ρdV
Momentberechnungen
Homogen mit Masse belegte Objekte: Für die Momente Mx und My und die Schwerpunkte xS und yS bezüglich
der x- und y-Achsen gilt folgende Tabelle:
Objekt Momente Schwerpunkt
Z Z p
Mx = yds = f (x) 1 + f 0 (x) 2 dx
Kurve
xS = Z Z My=s
der Länge s
p
My = xds = x 1 + f 0 (x) 2 yS dx = Mx=s
Z Z 1 2
Mx = ydA = f (x) dx
Fläche A
2
xS = Z Z My=A
yS =
My = xdA = xf(x)dx
Mx=A
Z Z
2
My = xdV = π xf(x) dx
Rotationskörper
xS = Z My=V
mit dem Volumen V
yS Mx = ydV = 0
= 0