15 Integralrechnung

490 15 Integralrechnung
Z 0�5 p
1 + x2 dx auf 2 Stellen genau:
0
Potenzreihe für z = x2 : p 1 + z = (1 + z) 1=2 = 1 + 1 1
z ;
2 8 z2 + 3
48 z3 ;:::,
! p 1 + x2 = 1 + 1
2 x2 ; 1
8 x4 + 3
48 x6 ;:::,
Z p1 1
+ x2 dx = x +
Integration:
6 x3 ; 1
40 x5 + 3
336 x7 ;:::,
Z 0�5 p
1 + x2dx = 0�5 + 0�021 ; 0�001 +::: 0�520.
0
Häufig vorkommende nichtelementare Integrale elementarer Funktionen:
Integralsinus:
Z x
sint x3 x5 x7
Si(x) = dt = x ; + ;
0 t 18 600 35280 +:::+
(;1) ix2i+1 (2i + 1) (2i + 1)! +:::
Integralcosinus (Eulersche Konstante C = 0�57721566:::):
Z 1
Ci(x) =
x
cost
t
Exponentialintegral:
F(x) = 1
p 2π
x2 x4 x6
dt = C + lnjxj ; + ;
4 96 4320 +:::+ (;1)ix2i 2i (2i)! +:::
Z x
e
Ei(x) =
;1
t
x2 x3 x4 xi
dt = C + lnjxj + x + + + +:::+
t 4 18 96 i i! +:::
Integrallogarithmus:
Z x
dt
(lnx)2 (lnx)3 (lnx)4 (lnx)i
li(x) = = C + lnjlnxj + lnx + + + +:::+
0 lnt 4 18 96 i i! +:::
Gaußsches Fehlerintegral:
Z x
p x ;
2π x3
6
Elliptisches Integral 1. Art:Für jkj < 1 gilt
Z π=2
dt
F(k�π=2) = p =
1 ; k2 2
sin t π
1 +
2
1
4 k2 + 9
64 k4 + 25
256 k6 + 1225
16384 k8 +:::+
0
;1 e;t2 =2 1 1
dt = +
2
x5 x7
+ ;
40 336 +:::+ (;1)ix2i+1 2i i! (2i + 1) +:::
Elliptisches Integral 2. Art (Umfang einer Ellipse mit der Exzentrizität k):
U = 4aE(k�π=2) = 4a
= 2πa
Z π=2
0
p 1 ; k 2 sin 2 t dt
1 ; 1
4 k2 ; 3
64 k4 ; 5
256 k6 ; 175
16384 k8 ;:::; (2i)!
2 2i (i!) 2
2
(2i)!
2 2i (i!) 2
Umfang einer Ellipse p mit den Halbachsen a = 25 cm und b = 20 cm:
Exzentrizität: k = 1 ; b2=a2 p
= 1 ; 202=252 = 0�6
Umfang der Ellipse: U 2π 25(1 ; 0�09 ; 0�00608 ; 0�00091 ;:::) cm 141�8 cm.
15.4 Numerische Integration
k 2i
2i ; 1 ;:::
2
k 2i !
+::: :
Integrale, die analytisch nur schwer oder gar nicht zu lösen sind, können numerisch durch eine Aufspaltung
des Integrals in eine endliche Summe berechnet werden:
Z b
a
f (x)dx = h
NX
i=0
ci f (a + ih) + F(a�b�h) h
NX
i=0
ci f (a + ih)
!
: