Erster Hauptsatz

Kapitel 6Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 6.1 Beschleunigung eines FahrzeugsEin Fahrzeug mit einer Masse m = 1750 kg wird t = 6.9 s lang mit a = 0.38 g beschleunigt. DerRollwiderstand wird mit μ = 0.014 abgeschätzt, der aerodynamische Widerstand wirdvernachlässigt.Welche Arbeit wird von der Antriebskraft in dem Zeitintervall Δt = 6.9 s geleistet?F T =m⋅aF AF R =μ⋅F G =m⋅gF R =μ⋅ 0.5⋅F GGewichtskraft F G des FahrzeugsmF = m ⋅ g =G1750kg⋅ 9.81 17168 N2s=Antriebskraft F A aus der Kräftebilanz in FahrtrichtungmFA = m ⋅ a + μ ⋅ FG= 1750 kg ⋅ 0.38⋅9.81+ 0.014 ⋅17168N= 6764N2sIm Zeitintervall Δt zurückgelegte Strecke1 2 1 m 2 2Δs = ⋅ a ⋅ Δt= ⋅ 0.38⋅9.81 ⋅ 6.9 s = 88. 74m22 2 sVerrichtete Arbeit3WA = FA⋅Δs= 6764N⋅88.74m=600.2⋅10Nm=0. 1667kWh_________________________________________________________________________Ü 6.2 Isotherme Kompression von LuftEin reibungsfrei gleitender Kolben mit einem Durchmesser von d = 100mm verdichtet Luftisotherm vom Volumen V 1 = 0.18 m³ auf V 2 = 0.03 m³. Der Anfangsdruck beträgt p 1 = 1340 hPa.Der Umgebungsdruck beträgt p u = 980hPa.Gesucht sind die erforderliche Kolbenkraft F N und die verrichtete Nutzarbeit W N12 .W( V − )N12 = WV12− pU⋅1V2Die Volumenänderungsarbeit ergibt sich zuW V212= − ∫ p ⋅ dV1mit der Zustandsgleichung des idealen Gases bei isothermen (d.h. dT = 0) Prozessen___________________________________________________________________________Seite 1 von 7

Kapitel 6Musterlösungen_________________________________________________________________________folgtp ⋅V= m ⋅ R ⋅T⇒ p ⋅V=W Vp ⋅V⇔ p = p ⋅V1111=1⋅Vp2⋅V22R ⋅T1⎛V12= − ∫ ⋅ dV = − p1⋅V1⋅∫⋅ dV = − p1⋅V1⋅lnVV11⎝22[ ln( V ) − ( )] = − ⋅ ⋅⎜⎟ 2ln V1p1V1V1⎠⎞und die Nutzarbeit W N12 zu⎛V2⎞WN12 = − p1⋅V1⋅ ln ⎜ − pU⋅ ( V1−V2)V⎟⎝ 1 ⎠3 ⎛ 0.03 ⎞W N 12= −134000Pa ⋅ 0.18m⋅ ln⎜⎟ − 98000 Pa ⋅ 0.18 − 0.03 = 28517⎝ 0.18 ⎠( ) JKolbenkraft F Np1⋅Vp2=VpF221134000 Pa ⋅ 0.18m=30.03m( p − p ) ⋅ AN=2U3= 804000 Pa⎛ 0.1m⎞F N= ⎜ ⎟ π 5545⎝ 2 ⎠( 804000 Pa − 98000 Pa) ⋅ ⋅ = N2_________________________________________________________________________Ü 6.3 Berechnung von Wellenleistung P und geleistete Wellenarbeit nach Δt = 30 MinutenBetrieb mit konstanter DrehzahlDer Motor überträgt bei einer Drehzahl von n = 2700 min -1 ein Drehmoment von M W = 392 Nm.Wellenleistung PP = MW⋅ω= M⋅ 2 ⋅π⋅ n2700minP = 392 Nm ⋅ 2 ⋅π⋅60W−1= 110835W= 110.835kWGeleistete Wellenarbeit nach Δt = 30 Minuten Betrieb mit konstanter DrehzahlWWW12W12= P ⋅ Δt= 110835W⋅1800s = 199.5⋅106Ws = 199.5 ⋅106J = 55.42 kWh____________________________________________________________________________________________________________________________________________________Seite 2 von 7

Kapitel 6Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 6.4 Kühlung eines elektrischen LeitersEin elektrischer Leiter wird von einem zeitlich konstanten Gleichstrom durchflossen. Derelektrische Leiter, der zwischen zwei Punkten mit dem Potentialunterschied U el = 15.5 V liegt,hat einen elektrischen Widerstand von R el = 2.15 Ω. Durch eine entsprechende Kühlung wirddie Temperatur des Leiters konstant gehalten.Wieviel Energie muß innerhalb von Δt = 1 h in Form von Wärme abgeführt werden?Definition für die WärmeQ = U − U −12 2 1 W12Da sich der Zustand, d.h. die Temperatur und somit die innere Energie des Leiters nichtändert, gilt:U 2 − U1= 0(T =const. !)Die zugeführte Arbeit entspricht der zugeführten elektrischen ArbeitmitfolgtW12el= W 12UI el =RQQ1212elel= − W= Uel12el⋅ Iel⎛U= − ⎜⎝R2elel⋅ Δt⎞⎟ ⋅ Δt⎠⎛ 2 215.5 V ⎞= − ⎜ ⎟ ⋅ 3600 s = − 402.3kJ= − 0.1117 kW2.15⎝ Ω ⎠____________________________________________________________________________________________________________________________________________________Seite 3 von 7

Kapitel 6Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 6.5 Stationärer Fließprozeß am Beispiel eines WasserkraftwerksDie Grenzen des Kontrollraums werden so gewählt, daß die Strömungsgeschwindigkeit desWassers vernachlässigbar klein wird, d.h. c 1 = c 2 ≈ 0. Der Luftdruck ist zu vernachlässigenund Zu- und Ablauf liegen in der gleichen Tiefe unter dem Oberwasser- bzw.Unterwasserspiegels, d.h. p 1 = p 2 . Der Kontrollraum ist adiabat, d.h. q 12 = 0. Wasser kann alsinkompressibel angenommen werden, d.h. seine Dichte ρ bzw. spezifisches Volumen v istkonstant.Gesucht ist die abgegebene Turbinenarbeit w t12 .Der erste Hauptsatz für stationäre Fließprozesse1 2 2q12+ wt ,12= h2− h1+ ⋅ c2− c1+ g ⋅ z2− z2vereinfacht sich somit zuw t , 12= h2− h1+ g ⋅ ( z2− z1)bzw.w t 12= u2− u1+ p2− p1⋅ v + g ⋅14243alsow( ) ( )( ) ( z − ), 2z1= 0( z2− z1) = u2− u − g ⋅ z geodätischt,= u − u123 2 1 + g ⋅142 431innere Energie potentielle EnergieDie abgegebene Turbinenarbeit setzt sich also zusammen aus der Änderung der innerenEnergie sowie aus der Abnahme der potentiellen Energie des Wassers im Schwerefeld derErde.Für einen reversiblen Prozeß gilt u 1 = u 2 , d.h. die innere Energie im System bleibtunverändert und die abgegebene Arbeit hängt lediglich von der Änderung der potentiellenEnergie ab.w g ⋅ z − z = − g ⋅ zt12, rev=1(2)geodätischDies stellt den theoretisch maximal erzielbaren Grenzwert für die abzugebendeTurbinenarbeit dar. In der Natur kommen jedoch lediglich verlustbehaftete Prozesse vor, d.h.es gilt wegen der Reibungsverluste u 2 > u 1 . Diese Verluste führen zu einer Verringerung der___________________________________________________________________________1Seite 4 von 7

Kapitel 6Musterlösungen_________________________________________________________________________abgegebenen Turbinenarbeit und einer Erhöhung der inneren Energie des Wassers, d.h. zueiner Temperaturerhöhung des Wassers.Der Wirkungsgrad des Kraftwerks läßt sich ausdrücken durch das Verhältniswt12η =wt12,revDer Zusammenhang der Wassertemperatur mit seiner inneren Energie wird beschriebendurchu − u = cv ⋅ T −( )2 12T1Mit z geodätisch = Δz und der Definition des Wirkungsgrades η folgtwt12− g ⋅ Δz+ u2− u1− g ⋅ Δz+ cv( T2− T1)η = ==w − g ⋅ Δz− g ⋅ Δzt12,revberechnet sich die Temperaturerhöhung des Wassers aus−η ⋅ g ⋅ Δz+ g ⋅ Δzg ⋅ Δz⋅ ( 1−η)T2− T1==cvc vBei einem angenommenen Wirkungsgrad von η = 0.9 und einem Höhenunterschied vonΔz = 100m ergibt sich mit der spezifischen Wärmekapazität von Wasser c v = 4190 J/kgK eineErwärmung des Wassers vonm9.81⋅100m⋅ 0.12T Ts2−1== 0. 023KJ4190kg ⋅ K_________________________________________________________________________Ü 6.6 Abfüllen eines Kühlmittels R12 in eine GasflascheIn einer Gasflasche mit dem Volumen V = 0.002 m³ befindet sich das Kältemittel R12(CF 2 Cl 2 ). Zu Anfang steht das gasförmige R12 bei T a = 20°C unter einem Druck von p a =1.005 bar. Das zu T a und p a gehörige spezifische Volumen v a beträgt v a = 0.1967 m³/kg unddie spezifische Enthalpie h a = 303.76 kJ/kg. Zum Auffüllen wird die Gasflasche an eineLeitung mit gasförmigem R12 angeschlossen mit p 1 = 6.541 bar, T 1 = 50°C,h 1 = 315.94 kJ/kg.Auszug aus der Dampftafel von R12 für T s = 20°CT s [°C] p s [bar] v' [m 3 /kg] v'' [m 3 /kg] h' [kJ/kg] h'' [kJ/kg]20.0 5.691 0.7528⋅10 -3 0.03102 153.73 296.78Die Flasche wird so aufgefüllt, daß bei 20°C gerade 80% des Volumens von siedendem R12und das restliche Volumen von gesättigtem Dampf eingenommen wird.Welche Menge an R12 sind einzufüllen und wieviel Wärme muß während des Füllvorgangsüber eine Kühlung abgeführt werden?___________________________________________________________________________Seite 5 von 7

Kapitel 6Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 6.6 Abfüllen eines Kühlmittels R12 in eine GasflascheDie Masse m a des gasförmigen R12 zu Beginn des Füllvorgangs berechnet sich zu1 13ma = ρa⋅V= ⋅V= ⋅ 0.002 m = 0.0102kgv3am0.1967kgDie Masse m b am Ende des Füllvorgangs läßt sich aus den Massen der siedendenFlüssigkeit m' und des gesättigten Dampfes m'' bestimmen.1 1 ⎛ 0.8 0.2 ⎞mb = m′b+ m′′b= 0.8⋅V⋅ + 0.2 ⋅V⋅ = 0.002 ⋅⎜+ = 2. 138kg−3 ⎟v′v′′⎝ 0.7528⋅100.03102 ⎠Die einzufüllende Menge beträgt somitm = mb − ma= 2 .138kg− 0.0102kg= 2. 128kgDa nur ein Stoffstrom die Systemgrenze überquert, d.h. dm 2 = 0 , gilt:2⎛ c ⎞1dQ + dWt +⎜hg z⎟1+ + ⋅1⋅ dm1= dE⎝ 2 ⎠Die kinetische und potentielle Energien können vernachlässigt werden. Während demFüllvorgang wird dem System keine Arbeit zugeführt, d.h. dW t = 0. Die Änderung der EnergiedE entspricht der Änderung der inneren Energie dU des R12, das sich in der Gasflaschebefindet. Die Energiebilanz vereinfacht sich somit zudQ + h1⋅ dm1= dU⇔dQ − h ⋅ dm + dUDie Integrationb=1 1b∫ dQ = ∫ − h1⋅ dm1+ ∫aabadUergibt wegen des zeitlich konstanten Zustands des einströmenden Kühlmittels R12Q − h ⋅ m − m + U −Uab=1(b a)b a___________________________________________________________________________Seite 6 von 7

Kapitel 6Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 6.6 Abfüllen eines Kühlmittels R12 in eine GasflascheDie innere Energie des gasförmigen R12 vor dem Füllen beträgtU = m ⋅u= m ⋅ h − p ⋅ vUaaaaa( )a⎛ kJ= 0.0102 kg ⋅⎜303.76−1.005⋅10⎝ kgaa5Pa⋅0.1967 m3⎞⎟ = 2.897 kJ⎠Am Ende des Füllvorgangs beträgt die innere Energie des NaßdampfesU = m′⋅ u + m′′⋅ u = m′⋅ h′− p ⋅ v′+ m′′⋅ h′′− p ⋅ v′′mitfolgtUbbbbb= m′⋅ h′+m′′⋅ h′′− p1m′b= 0.8⋅V⋅ = 0.8⋅0.002mv′1m′′b= 0.2 ⋅V⋅ = 0.2 ⋅ 0.002mv′′bbbsb(s)b(s)( m′⋅ v′+ m′′⋅ v′′)⋅bb144244333V1⋅0.7528⋅10−31⋅3m0.03102kg3mkg= 2.125kg= 0.013kgkJkJ53U b= 2.125kg⋅153.73+ 0.013kg⋅ 296.78 − 5.691⋅10Pa⋅0.002m= 329. 4kJkgkgDie während dem Füllvorgang abzuführende Wärme ergibt sich zukJQ ab= − 315.94⋅ 2.138kg− 0.0102kg+ 329.4kJ− 2.897 kJ = − 345. 8K( ) kJDas bedeutet, daß die Gasflasche während dem Füllvorgang gekühlt werden muß, um einekonstante Temperatur von 20°C aufrecht zu erhalten und das eingefüllte Gas kondensiert.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________Seite 7 von 7