Kreisprozesse thermischer Maschinen

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.1 Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses – (1)Annahmen: Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstantAnfangstemperaturT 1 = 288 KAnfangsdruckp 1 = 1.013 barMaximaltemperaturT 3 = 2273 KIsentropenexponent von Luft κ = 1.4Verdichtungsverhältnis ε = 10ges.:- Drücke und Temperaturen in allen Eckpunkten- Thermischer Wirkungsgrad1 - 2 Isentrope Kompressionκ⎛ v1⎞κ1.4p2 = p1⋅⎜ = p1⋅ = 1.013bar⋅10= 25.45barv⎟ ε⎝ 2 ⎠κ −1⎛ v1⎞1.4−1T2 = T1⋅⎜ = 288 K ⋅10= 723.4 Kv⎟⎝ 2 ⎠2 - 3 Isochore Wärmezufuhr⎛ T3⎞2273 Kp3 = p2⋅⎜ = 25.45bar⋅ = 79.97 barT⎟⎝ 2 ⎠723.4 K3 - 4 Isentrope Expansionκκ⎛ v3⎞ ⎛ v2⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞p4 = p3⋅⎜ p3= p3⋅ ⎜ ⎟ = 79.97 bar ⋅ ⎜ ⎟ = 3.18barv⎟ = ⋅⎜4 v⎟⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ ε ⎠⎝10⎠κ −1κ −1⎛ v3⎞ ⎛ v2⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞T4 = T3⋅⎜ T3= T3⋅ ⎜ ⎟ = 2273 K ⋅ ⎜ ⎟ = 904.9 Kv⎟ = ⋅⎜4v⎟⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ ε ⎠⎝10⎠Thermischer Wirkungsgrad1η = 1 −ε1= 1 −.10th =κ −11 4−10.602_________________________________________________________________________κκ −11.41.4−1___________________________________________________________________________Seite 1 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.2 Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses (2)Annahmen: Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstantVerdichtungsverhältnis ε = 7.6pro Zyklus zugeführte Wärme Q zu = 2.92 [kJ]ges.:- Thermischer Wirkungsgrad η th- Technische Arbeit W K- Nicht genutzte Wärme Q abThermischer Wirkungsgrad η thBei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitätenc c = cv=v 41v23( T4 −T1) 1η = 1−= 1−κ −1( T −T) ε1th⇒ ηth= 1−= 0. 5561 .4−17.632Nicht genutzte Wärme Q abqη th = 1 −qqabzu= 1 −ηc= 1 −c⋅qv41v23⋅⋅( T4− T1)( T − T )⇒ab(th)zu⇒ Qab = ( 1 −ηth) ⋅Qzu= ( 1−0.556) ⋅ 2.92=1. 29[ kJ ]⇒ Q ab= −1. 29[ kJ ]32Technische Arbeit W KSpezifische Nutzarbeit w k bei reversiblen Kreisprozessen⇒− wk= q23+ q41− W = Qkzu− Qab= qzu+ qab= q⇒ W k= 2.92−1.29=−1.63[ kJ ]zu−qab____________________________________________________________________________________________________________________________________________________Seite 2 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.3 Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses (3)Verdichtungsverhältnis ε = 7.8Temperatur der angesaugten Luft T 1 = 20 [°C]Umgebungsluftdruck p ∞ = 0.09 [MPa]a) Arbeitsmedium ist Luft, die spezifischen Wärmekapazitäten sind konstant,pro Zyklus zugeführte spezifische Wärme: q zu = 950 [kJ/kg]ges.:- Thermischer Wirkungsgrad η th- spezifische technische Arbeit w K- Drücke und Temperaturen in allen Eckpunkten des ProzessesThermischer Wirkungsgrad η thη 1= 1−th κ −1ε⇒ 1η 1 0.7.8560th= − =1 .4−1Spezifische technische Arbeit w K− w = q − qqkzumitab(th)zuwk= qzu− ( −ηth) ⋅qzu= qzu⋅ηthab= 1 −η⋅qfolgt⎡kJ⎤− 1 ⇒ w k= − 950 ⋅0.56= − 532 ⎢ ⎥⎣kg⎦Drücke und Temperaturen in den Eckpunkten(1) Isentrope Kompression der Umgebungsluft von (T 1 , p 1 ) auf (T 2 , p 2 )⎝ ⎠p1 = p ∞=0. 09 MPamit [ ]κ −11.4−1T 2 = T1⋅ ε ⇒ T2 = ( 20 + 273.15) ⋅ 7.8 = 666. 7[ K ]κ −1κκT ⎛ κ1p ⎞1p ⎛ 11T ⎞κ−⎛1T ⎞1−κ1= ⎜⎟ ⇒ =T2p ⎜⎟ ⇒ p = ⋅2p2T⎜⎟2p12T2⎛ 293.15 ⎞⎜ ⎟⎝ 666.7 ⎠−0.4⇒ p = 0.09⋅1. 597[ MPa]1.42=(2) Isochore Wärmezufuhr q 23 von (T 2 , p 2 ) auf (T 3 , p 3 )qzu= q=( T − )23cv3T2⎝⎠⎝⎠3q950 ⋅10= + ⇒ T3 = + 666.7=1990. 7[ K ]717.5p2T2T= ⇒31990.7p3p2⋅p3 = 1.597 ⋅ = 4. 768 MPap3T3T2666.723⇒ T3 T2cv= ⇒ [ ]___________________________________________________________________________Seite 3 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.3 Nachrechnung eines Otto-Vergleichsprozesses (3)(3) Isentrope Expansion von (T 3 , p 3 ) auf (T 4 , p 4 )114 = T3⋅T 875. 3 Kκ −14= 1990.7⋅ =1.4−1ε7.8T ⇒ [ ]κ1−κ⎛ T ⎞3⎛1990.7⎞1−1.4p = ⋅⎜⎟4p3⇒ p4 = 4.768⋅⎜⎟ = 0. 269[ MPa]⎝ T4⎠⎝ 875.3 ⎠1.4b) Arbeitsmedium ist Luft, die Temperaturabhängigkeit der spezifischenWärmekapazitäten ist zu berücksichtigenAlle Drücke und Temperaturen entsprechen denen von a)ges.:- Thermischer Wirkungsgrad η th- spezifische technische Arbeit w KThermischer Wirkungsgrad η thqabqηth= 1−= 1−q qzuTemperaturabhängige Werte für c p von Luft aus Tab. 14.7(1) T = 293.15[ K ] = 20[ ° C]1J ⎤⇒ ( ) ⎥ ⎦4123⎡c p20°C = 1004. 11⎢⎣kg⋅ K⎡cv = cv293.15K= cp293.15K− R = 1004.1−287=717. 11⎢⎣kg⋅ KJ ⎤⇒ ( ) ( ) ⎥ ⎦(2) T = 666.7[ K ] = 393. 55[ ° C]2⎡ J ⎤⎡ J ⎤c p( 350 ° C) = 1023. 7 ⎢ ⎥ , c p( 400 ° C) = 1028. 6⎣kg⋅ K⎢ ⎥ ⎦ ⎣kg⋅ K ⎦⎡ Jc p393.55°C = 1028. 02⎢⎣kg⋅ K⎡cv = cv666.7 K = cp666.7 K − R = 1028 − 287=7412⎢⎣kg⋅ K⇒ ( ) ⎥ ⎦⎤J ⎤⇒ ( ) ( ) ⎥ ⎦(3) T = 1990.7[ K] = 1717. 55[ ° C]3⎡c p5⎢⎣kg⋅ K⎡ Jc p1717.55°C = 1145. 63⎢⎣kg⋅ K⎡⎢⎣kg⋅ KJ ⎤J ⎤( 1700 ° C) = 1144. ⎥ , c p( 1800 ° C) = 1150. 5 ⎥ ⎦ ⎦⇒ ( ) ⎥ ⎦⎤___________________________________________________________________________Seite 4 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.4:Nachrechnung eines Diesel-VergleichsprozessesMit Luft (ideales Gas) als Arbeitsmedium sollena) die Drücke und Temperaturen in den Endzeitpunkten der Zustandsänderungen berechnetwerdenb) Einspritzverhältnisϕ =c) Thermischer Wirkungsgrad η thAnfangstemperatur:T 1 = 288 KAnfangsdruck:p 1 = 1.01325 barMaximaltemperatur:T 3 = 2273 KVerhältnis der spezifischen Wärmen: κ = 1.4Verdichtungsverhältnis: ε = 21Isentrope Verdichtung 1 - 2:κ⎛ v1⎞κ1.4p2 = p1⋅⎜ = p1⋅ = 1.01325bar⋅ 21 = 71.92barv⎟ ε⎝ 2 ⎠κ −1⎛ v1⎞κ −11.4−1T2 = T1⋅⎜ = T1⋅ = 288 K ⋅ 21 = 973.38 Kv⎟ ε⎝ 2 ⎠Isobare Wärmezufuhr 2 -3:p3= p2= 71.92barT = 2273 K3v 3 T =3 (ideale Gasgleichung für isobare Zustandsänderung)v2T2VV32___________________________________________________________________________Seite 6 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Isentrope Expansion 3 - 4:⇒p4= p3⎛ v⋅⎜⎝ v34⎞⎟⎠κ= pκ3⎛ v⋅⎜⎝ v32v⋅v24⎞⎟⎠⎛ T31 ⎞⎛ 2273 K 1 ⎞p4 = p3⋅⎜ ⋅ 71.92bar= 3.32barT⎟ = ⋅⎜ ⋅2973.38 K 21⎟⎝ ε ⎠⎝⎠κ −1⎛ T31 ⎞⎛ 2273 K 1 ⎞T4 = T3⋅⎜ ⋅ 2273 K= 944.14 kT⎟ = ⋅⎜ ⋅2973.38 K 21⎟⎝ ε ⎠⎝⎠κ1.41.4−1EinspritzverhältnisVϕ =V32T=T32= 2.335Thermischer Wirkungsgradκ1.4th =κ −11.4−11 ϕ −11 2.335 −1η = 1 − ⋅ = 1 − ⋅0.639κ ⋅ ε ϕ −11.4 ⋅ 21 2.335 −1_________________________________________________________________________Ü 11.5: Nachrechnung eines DieselmotorsDer theoretische Kreisprozeß eines Dieselmotors wird durch folgenden Kreisprozeßangenähert1-2: Polytrope Verdichtung mit n V = 1.352-3: Isochore Wärmezufuhr3-4: Isobare Wärmezufuhr4-5: Polytrope Expansion mit n E = 1.375-1: Isochore WärmeabfuhrArbeitsmedium ist Luft als ideales Gas mit konstanten Wärmekapazitätengeg.: T 1 = 318 [K], p 1 = 83.5 [kPa]Maximaler Prozeßdruck p max = 8.6 MPaVerdichtungsverhältnis ε = 16spez. zugeführte Wärme bei der Verbrennungq zu = 1730 [kJ/kg]ges.: 1. Zustandsgrößen p, v und T in allen 5 Eckpunkten2. Übertragene Energien bei jeder Zustandsänderung (1-2-3-4-5-1)3. Spezifische Arbeit des Kreisprozesses4. Thermischer Wirkungsgrad___________________________________________________________________________Seite 7 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.5:Nachrechnung eines Dieselmotors1. Zustandsgrößen p, v und T in allen 5 Eckpunkten1: AusgangspunktAngabe: ⇒ T 1 = 318 [K]⇒ p 1 = 83.5 [kPa]p ⋅ v = R ⋅T⇒3R ⋅T1287 ⋅318⎡m⎤v1= =⇒ vp61= 1 . 09310.0835⋅10⎢ ⎥⎣ kg ⎦1-2: Polytrope Verdichtung mit n V = 1.35n n V−p ⎛V⎞1 2 ⎛ 1 ⎞= = ⎜ ⎟p⎜V⎟⎛ 1 ⎞⇒ p2= p1⋅⎜⎟2 ⎝ 1 ⎠ ⎝ ε ⎠⎝ ε ⎠n−1⎛1V ⎞2 ⎛ 1n V −1n V1−n V⎛= 83.5⋅⎜⎝116⎞⎟⎠−1.351−1.35⇒ p 3. 525[ MPa]T⎞⎜⎟⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞= = ⎜ ⎟ ⇒ T2= T1⋅⎜⎟ = 318⋅⎜⎟ ⇒ T2 = 839 [ K ]T2⎝ V1⎠ ⎝ ε ⎠⎝ ε ⎠ ⎝16⎠3R ⋅T2287 ⋅839⎡m⎤p ⋅ v = R ⋅T⇒ v2= =⇒ vp62= 0 . 06823.53⋅10⎢ ⎥⎣ kg ⎦2-3: Isochore Wärmezufuhrv2= v 3⇒3⎡m⎤v3 = 0 . 068⎢⎥⎣ kg ⎦p p =p 8. 6 MPa= ⇒ [ ]3 4pmaxp2T2p= ⇒38.63= T2⋅ = 839⋅p3T3p23. 5253-4: Isobare Wärmezufuhrp = p = p 8. 6 MPa3 4 max=[ ]T ⇒ T 2047[ K]R 287⎡ J ⎤c v= = ⇒ c v= 717 . 5κ −1 1.4 −1⎢ ⎥⎣kg⋅ K ⎦⎡kJ⎤q zu= q23 + q34= 1730 ⎢ ⎥ ⇒ qzu= cp⋅( T4 −T3) + cv⋅( T3−T2)⎣kg⎦3qzu − cv⋅( T3−T2) 1730⋅10− 717.5⋅( 2047 − 839)⇒ T4 =+ T3=+ 2047c1004.5p2 =3=3=[ K ]⇒ T 2906[ K]3R ⋅T4287 ⋅ 2906⎡m⎤p ⋅ v = R ⋅T⇒ v4= =⇒ vp64= 0 . 09748.6 ⋅10⎢ ⎥⎣ kg ⎦4 =___________________________________________________________________________Seite 8 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.5:Nachrechnung eines Dieselmotors4-5: Polytrope Expansion mit n E = 1.373⎡m⎤v5= v 1⇒ v5 = 1 . 093⎢⎥⎣ kg ⎦pp45⎛V⎞5=⎜V⎟⎝ 4 ⎠n E n EnE−1n⎛ v=⎜⎝ v54⎞⎟⎠⇒T ⎛ p ⎞ E4 4=T⎜5p⎟⇒⎝ 5 ⎠−−1.37⎛ v ⎞56 ⎛ 1.093 ⎞p5= p4⋅⎜⎟ = 8.6⋅10⋅⎜⎟ ⇒ p5 = 0. 312[ MPa]v4⎝ 0.097 ⎠⎝⎠n E1−nE1−1.37⎛ p ⎞ nE1.374⎛ 8.6 ⎞T5= T4⋅⎜⎟ = 2906⋅⎜⎟ ⇒ T5 = 1187[ K ]p5⎝ 0.312 ⎠⎝⎠5-1: Isochore Wärmeabfuhr3⎡m⎤v5 = v1= 1 . 093⎢⎥⎣ kg ⎦Zustandspunkt p [MPa] T [K] v [m³/kg]1 0.0835 318 1.0932 3.525 839 0.0683 8.6 2047 0.0684 8.6 2906 0.0975 0.312 1187 1.0932. Übertragene Energien bei jeder Zustandsänderung (1-2-3-4-5-1)1-2: Polytrope Verdichtung mit n V = 1.35mitRc v= κ −1qnV− κ1.35 −1.4= cv⋅ ⋅ T2− T1= 717.5 ⋅ ⋅n −11.35 −1( ) ( 839 318)12−V⇒⎡kJ⎤q12= − 53. 4 ⎢ ⎥⎣kg⎦2-3: Isochore Wärmezufuhr⎡kJ⎤q23 = cv ⋅( T3−T2) = 717.5⋅( 2047 − 839)⇒ q23= 866. 7⎢⎥⎣kg⎦3-4: Isobare Wärmezufuhr⎡kJ⎤q34 = cp ⋅( T4−T3) = 1004.5⋅( 2906 − 2047)⇒ q34= 862. 9 ⎢ ⎥⎣kg⎦___________________________________________________________________________Seite 9 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.5:Nachrechnung eines Dieselmotors4-5: Polytrope Expansion mit n E = 1.37nE− κ1.37 −1.4q = cv⋅ ⋅ T5− T4= 717.5 ⋅ ⋅ 1187n −11.37 −1( ) ( 2906)45−E⇒⎡kJ⎤q45= 100. 0 ⎢ ⎥⎣kg⎦5-1: Isochore Wärmeabfuhr⎡kJ⎤q51 = cv ⋅( T1−T5) = 717.5⋅( 318 −1187)⇒ q51= − 623. 5⎢⎥⎣kg⎦3. Spezifische Arbeit des Kreisprozesses⎡kJ⎤w K= − ∑q = − 53.4+ 866.7 + 862.9 + 100.0 − 623.5⇒ w K= −1152. 7 ⎢ ⎥⎣kg⎦4. Thermischer Wirkungsgradqabq12+ q5153.4 + 623.5ηth= 1−= 1−= 1−⇒ ηth= 0. 63q q + q + q 866.7 + 862.9 + 100zu233445_________________________________________________________________________Ü 11.6 Einfluß des Arbeitsmediums auf Wirkungsgrad und spezifische ArbeitWie verändert sich der thermische Wirkungsgrad und die spezifische technische Arbeit unterder Annahme eines Ericson-Prozesses bei Verwendung von Helium anstelle von Luft?Verdichtungsverhältnis = p p 10π , T = T 300[ K ], T = T 2400[ K ]2 1=1 2=3 4=Tabelle 14.3:- Luft, ideales Gas mit =1. 4 R =287 J- Helium mit =1. 66 R =2077 J kg ⋅ Kκ , [ kg ⋅ K ]κ , [ ]a) Thermische WirkungsgradIsotherme Kompression von p 1 auf p 2⎛ p ⎞⎛ ⎞⎜1p⎟ = − ⋅ ⋅⎜2q 12 = p1⋅ v1⋅ ln R T1ln⎟⎝ p2⎠⎝ p1⎠⎡kJ⎤⇒ q12, Luft= − 287⋅300⋅ln( 10) = −198.25⎢⎥⎣kg⎦⎡kJq12, He= − 2077⋅300⋅ln 10 = −1434.74 ⎢⎣kg⇒ ( ) ⎥ ⎦⎤___________________________________________________________________________Seite 10 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.6 Einfluß des Arbeitsmediums auf Wirkungsgrad und spezifische ArbeitIsotherme Expansion mit p 3 = p 2 und p 4 = p 1⎛ p ⎞ ⎛ ⎞⎜2p⎟ = ⋅ ⋅⎜2q 34 = p3⋅ v3⋅ ln R T3ln⎟⎝ p1⎠ ⎝ p1⎠⎡kJ⎤⇒ q34, Luft= 287⋅2400⋅ln( 10) = 1586⎢⎥⎣kg⎦⎡kJ⎤⇒ q34, He= 2077⋅2400⋅ln( 10) = 11477. 92 ⎢ ⎥⎣kg⎦qabq12198.25ηth= 1−= 1−⇒ ηth, Luft= 1−= 0. 875 ,qzuq3415861434.74ηth, Helium= 1−= 0.87511477.92Was aufgrund der Definition des Wirkungsgrades über die Temperatur sich sofort ergibt:Tη = 1−1Tth3⇒keine Abhängigkeit des thermischen Wirkungsgrades von dem Arbeitsmediumb) Spezifische technische Arbeit⎛ T3⎞− w t = R ⋅T1⋅⎜ −1⋅ ln( π )T⎟⎝ 1 ⎠⎛ 2400 ⎞⎡MJ⎤⇒ − w t , Luft= 287 ⋅300⋅⎜−1⎟ ⋅ln( 10) = 1. 38⎢⎥⎝ 300 ⎠⎣ kg ⎦⎛ 2400 ⎞⎡MJ− w t , He= 2077 ⋅300⋅⎜−1⎟ ⋅ln 10 = 10. 04 ⎢⎝ 300 ⎠⎣ kg⇒ ( ) ⎥ ⎦⎤Spezifische technische Arbeit verändert sich proportional dem Verhältnis der spezifischenWärmen der Arbeitsmedien_________________________________________________________________________Ü 11.7 Nachrechnung einer DampfturbinenanlageEine Dampfturbine verarbeitet pro Stunde 170t Frischdampf mit einer Temperatur von 350°Cund einem Druck von 100 bar. Die Wassertemperatur vor dem Eintritt in dieSpeisewasserpumpe beträgt 25°C.Gesucht werden die Leistung und der thermische Wirkungsgrad nach Clausius-Rankine___________________________________________________________________________Seite 11 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.7 Nachrechnung einer DampfturbinenanlageFür die Sättigungstemperatur T 0 = 25°C liefert die Dampftafel für Wasser:p 0 = 0.03166 barv' 0 = 1.0029⋅10 -3 m 3 /kgh' 0 = 104.77 kJ/kgs' 0 = 0.367 kJ/(kg K)v'' 5 = 43.40 m 3 /kgs'' 5 = 8.559 kJ/(kg K)h'' 5 = 2547 kJ/kgFür den Sättigungsdruck p 2 = 100 bar liefert die Dampftafel für Wasser:T 2 = 310.96°Cv' 2 = 0.001453 m 3 /kgh' 2 = 1408 kJ/kgh'' 3 = 2728 kJ/kgAus dem h,s-Diagramm für Wasserdampf (Abb. 9-21, Mollier-Diagramm von Wasserdampf)liest man für den überhitzten Dampf mit p 4 = 100 bar und T 4 = 350°C ab:h 4 = 2926 kJ/kgs 4 = 5.95 kJ/(kg K)0 - 1: Isentrope Druckerhöhung in der SpeisewasserpumpeSpezifische Arbeit der Speisewasserpumpep = p = p = p 100bar1 2 3 4=01= v′0⋅1 010wEnthalpiew = 0110. 03−35( p − p ) = 1.0029⋅10⋅( 100 − 0.03166) ⋅kJkgh = h′+ w = 104.77 10.03 ⇒1 0 01+h = 1114. 8Massestrom der Speisewasserpumpet kgm&=170 = 47.222h sLeistung der Speisewasserpumpe⎛ kJ ⎞P Sp= m& ⋅ w01 = 47.222⋅10.03⇒ P Sp = 473 . 64kW ⎜ = ⎟⎝ s ⎠kJkg1 - 2: Isobare Wärmezufuhr im Dampferzeuger( h′− ) = 47.222 ⋅( 1408 114.8)Q & &⇒12= m ⋅2h1−Q&=61067.1249kJs2 - 3: Isobar-isotherme Verdampfung im Dampferzeuger( h′′− ′ ) = 47.222⋅( 2728 1408)Q & &⇒23= m ⋅3h2−Q&=62333.2304kJs___________________________________________________________________________Seite 12 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.7 Nachrechnung einer Dampfturbinenanlage3 - 4: Isobare Überhitzung im Dampferzeuger( h − ′′ ) = 47.222⋅( 2926 2728)Q & &⇒34= m⋅4h3−Q&=9350.340kJs4 - 5: Isentrope Expansion in der Turbineh5= ( 1−x) ⋅ h′0+ x ⋅ h′′5Berechnung des Dampfgehalts aus der Entropieänderung (5 - 0) mit s 4 = s 5 = 5.95 kJ/(kg K)s5− s′05.95 − 0.367x = =⇒ x =0. 6815s′′′5− s08.559 − 0.367Dampfgehalt 0 < x < 1 ⇒ Expansion führt ins NaßdampfgebietEnthalpie( − x) ⋅ h′+ x ⋅ ′′ = ( 1−0.6815) ⋅104.77+ 0.6815 2547h = h⇒510 5⋅h5 = 1769. 15Gesamtleistung der TurbineP T= m& ⋅ h − h = 47.222 ⋅ 1769.15 2926⇒ P T= − 54628. 77 kW( ) ( )5 4−kJkg5 - 0: Isobare Kondensation im Kondensator, abgegebene WärmeQ & = − m&⋅ x ⋅ h′′− h′= 47.222⋅0.6815⋅2547 104.77[ ( )] [ ( )]50 5 0−kJ⇒ Q&50= − 78593. 3sNutzleistung des KreisprozessesP P + P =− 54628 .77 + 473.64⇒oder⇒N=T SpP N= − 54155. 1P NkW( Q&+ Q&+ Q&+ & ) =− ( 61067.49 + 62333.04 + 9350 78593.3)= −Q12 23 34 50−P N= − 54157. 2kWThermischer Wirkungsgrad des Kreisprozessesqabh5− h′01769.15 −104.77ηth= 1−= 1−= 1−⇒ ηth= 0. 408q h − h 2926 −114.8zu41____________________________________________________________________________________________________________________________________________________Seite 13 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.8:Kreisprozeß mit stationär umlaufendem Fluid (Carnot-Prozeß)Wärmekraftmaschine (Carnot-Prozeß)Teilprozesse des Carnot-Prozesses:- Adiabate Verdichtung 1-2- Isotherme Entspannung 2-3- Adiabate Entspannung 3-4- Isotherme Verdichtung 4-1Mit Helium als Arbeitsmedium sollen die bei den vier Teilprozessen als technische Arbeit undals Wärme aufgenommenen oder abgeführten Energien sowie die spezifische Nutzarbeit desKreisprozesses berechnet werden.Temperaturen:T 0 = T 1 = T 4 = 300 KT = T 2 = T 3 = 850 KDruckverhältnisse:pmaxp2= = 50p pmin4Die spezifische Wärmekapazität wird temperaturunabhängig angenommen, Änderungen vonkinetischer und potentieller Energie sollen vernachlässigt werden.HeliumR = 2077 J/kg⋅K,0c pJ=5193kg ⋅ KAdiabate Verdichtung von 1-2q + wt = h −12 ,12 2h1Da es sich um eine adiabaten Teilprozeß handelt, gilt q 000⇒ w = h − h = c ( T −T) = c ( T − )t, 12 2 1 p 2 1 pT012 =___________________________________________________________________________Seite 14 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.8:Kreisprozeß mit stationär umlaufendem Fluid (Carnot-Prozeß)Technische Arbeit für die adiabate Entspannung von 3-4 wegen q34= 000w = h − h = c T −T= − c T −( ) ( )t, 34 4 3 p 4 3 pT0Die beiden Arbeiten heben sich gerade auf. Der adiabate Verdichter und die adiabateTurbine laufen sozusagen nutzlos gegeneinander. Die Nutzarbeit bei diesem Kreisprozeßkann also nur aus der Differenz der technischen Arbeiten bei der isothermen Verdichtungund der isothermen Entspannung stammen.Bei idealen Gasen hängt die Enthalpie nur von der Temperatur ab. Bei der isothermenEntspannung 2-3 gilt also wegen T 2 = T 3⇒q23 + wt,23= h3− h2=3⎛ p= − = − ∫ ⋅ = ⋅ ⋅⎜23w,23v dp R T ln2⎝ pqt023⎞⎟⎠und entsprechend für die isotherme Verdichtung 4-1 wegen T 1 = T 41⎛ p4⎞q = − = − ∫ ⋅ = ⋅ ⋅⎜⎟41wt,41v dp R T0ln4⎝ p1 ⎠Für das Verhältnis von Druck und Temperatur idealer Gase bei reversiblen adiabatenProzessen giltpp21⎛ T2⎞=⎜T⎟⎝ 1 ⎠0cv+ RR⎛ T2⎞=⎜T⎟⎝ 1 ⎠Für den Carnot-Prozeß gilt0c pR0c pR0c pRp2⎛ T2⎞ ⎛ T ⎞p3⎛ T3⎞ ⎛ T ⎞= =p⎜1T⎟⎜1T⎟ und=⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠p⎜4T⎟ =⎜4T⎟⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠p2p3p⇒ = bzw.2p =1p1p4p3p4Mitpmaxp2= p4⋅pminkJp005.193maxc pc pp4⋅kg⋅Kp ⎛ T ⎞ R⎛ ⎞min4 min1 ⎛ 850 ⎞kJp p TRK 2. 077⇒=p⎜1T⎟ bzw. = ⋅⎜⎟ = ⋅= 0. 2703⎝ 0 ⎠1 max 050⎜300⎟ kg⋅Kp p ⎝ T ⎠ ⎝ K ⎠p2p11⇒ = = = 3. 7p p 0.2703340c pR0c pR___________________________________________________________________________Seite 15 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.8:Kreisprozeß mit stationär umlaufendem Fluid (Carnot-Prozeß)Isotherme Entspannung 2-3⎛ p ⎞2 kJq23 = − wt,23= R ⋅T⋅ ln⎜ = 2.077 ⋅850K ⋅ ln( 3.7)= 2310p⎟⎝ 3 ⎠ kg ⋅ KIsotherme Verdichtung 1-4⎛ p4⎞ kJkJq41 = − wt ,41= R ⋅T0⋅ ln⎜ 2.077 ⋅ 300 K ⋅ ln( 0.2703)= − 815p⎟ =⎝ 1 ⎠ kg ⋅ KkgAbgegebene Nutzarbeit des reversiblen Carnot-Prozesses⎛ p ⎞2 kJ kJ kJ− wt = − wt, 23− wt,41= R ⋅ ( T − T0) ⋅ ln⎜ = 2310 − 815 = + 1495p⎟⎝ 3 ⎠ kg kg kgThermischer Wirkungsgrad, d.h. das Verhältnis von zugeführter Wärme zu abgegebenerNutzarbeit, beträgt− w T − T0η = tth= = 0.647q T23Der thermische Wirkungsgrad des reversiblen Carnot-Prozesses hängt also lediglich von derTemperatur T 0 bei der isothermen Verdichtung und der Temperatur T bei der isothermenEntspannung ab.Dem Vorteil des relativ hohen thermischen Wirkungsgrades stehen die Nachteile hinsichtlichder technischen Realisierung einer isothermen Verdichtung und einer isothermenEntspannung entgegen_________________________________________________________________________kJkg___________________________________________________________________________Seite 16 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.9Isentroper Wirkungsgrad einer stationären GasturbineEine stationäre Gasturbinenanlage besteht aus den Hauptkomponenten Verdichter V,Brennkammer BK und Turbine T. Verdichter und Turbine sitzen auf einer gemeinsamenWelle.geg.: Umgebungszustand = Ansaugzustand (1): p 0 = 1.013 bar und t 0 = 15 °CLuftmassenstromm& = 7.02 kg/sVerdichterdruckverhältnis π V = 9.5Isentropenwirkungsgrad des Verdichters η V,is = 84 %Isentropenwirkungsgrad der Turbine η T,is = 86 %Maximale Turbineneintrittstemperatur T 3,max =1800 KAnnahmen- in allen Komponenten herrscht gleicher und konstanter Massenstrom- mechanische Verluste (Lager, Getriebe) können vernachlässigt werden- der Druckverlust in der Brennkammer kann vernachlässigt werden- Arbeitsmedium kann als ideales Gas mit konstanten Stoffgrößen betrachtet werdenR = 287 J/kg K; κ = 1.39; c p = 1023 J/kg K1. Skizzieren Sie das Schaltschema der Anlage (Ebenenbezeichnung 1 – 4)BK2 3 4vTP N12. Skizzieren Sie das zugehörige Ts – DiagrammTVerdichter2 is••12•Brennkammerp 0 = p 1p 2 = p 3Turbine3• p 44••4 iss___________________________________________________________________________Seite 17 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.9Isentroper Wirkungsgrad einer stationären Gasturbine3. Berechnen Sie Druck p 2 und Temperatur T 2 nach dem Verdichter1. Schritt: Berechnung von T 2,is über die Isentropen-Beziehung und dasVerdichterdruckverhältnis π V⇒T = T 288.15 K p = p 1.013bar1 0 =T1⎛ p= ⎜T2,is ⎝ p12⎞⎟⎠κ −1κ1−κ1 0 =1−κ1−1.39⎛ p1⎞ κ ⎛T TT1 ⎞ κ⎛ 1 ⎞ 1., is288.15 K392 = 1 ⋅⎜1 = ⋅ ⎜ ⎟ = 541.9 Kp⎟ = ⋅⎜⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ π V ⎠⎝ 9.5 ⎠2. Schritt: Berechnung von T 2 über den isentropen Verdichter-Wirkungsgrad η is,V⇒T2, is − T1η is V, =T2− T1T2,is− T1541.9 K − 288.15 KT2 = + T1=− 288.15 Kη 0.84⇒ T 2590. 2 Kis,V_________________________________________________________________________Kontrolle: Beim Verdichter muß die reale Temperatur nach der Verdichtung immer überder isentropen (verlustfreien) Temperatur liegen, T2> T2, is, d.h. für dieverlustbehaftete Kompression muß immer mehr Arbeit aufgewendet werdenals für die verlustfreie (isentrope) Kompression:w = c ⋅ T −Kompressionsarbeit, isentrop: ( )t, is p 2, isT1Kompressionsarbeit, real: w = c ⋅ ( − )Verdichter:t pwt> w t , isT 2T 1_________________________________________________________________________p= p ⋅π = 1.013bar9.5⇒ p 9. 6235bar2 1 V⋅2 =4. Berechnen Sie die Brennkammerdruck und -austrittstemperatur p 3 , T 3Brennkammeraustrittstemperatur = Turbineneintrittstemperatur T 3 = T max⇒T3 = 1800 KBrennkammerdruck p 2 = p 3 = const.⇒p3 = 9. 6235bar___________________________________________________________________________Seite 18 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.9Isentroper Wirkungsgrad einer stationären Gasturbine5. Wie groß sind Temperatur T 4 im Turbinenaustritt, wenn die Turbine genau auf denUmgebungsdruck entspannt?Berechnung von T 4,is über die Isentropen-Beziehung (T 4 und T 4,is liegen auf der gleichenIsobaren p 4 = p 1 = p 0 = 1.013 bar)⇒pp34⎛ T= ⎜⎝ T34,is⎞⎟⎠κκ −11−κ1−1.39⎛ p ⎞ κ1.393⎛ 9.6235 ⎞T4,is= T3⋅⎜⎟ = 1800 ⋅⎜⎟⇒ T4 , is= 957 Kp4⎝ 1.013 ⎠⎝⎠Berechnung von T 4 über den isentropen Turbinen-Wirkungsgrad η is,TηT , isT3− T=T − T344, isT η ⇒ T 1075K⇒ T − ⋅ ( T − T ) = 1800 − 0.86 ⋅ ( 1800 957)4=3 T , is 3 4, is−4 =_________________________________________________________________________Kontrolle: Bei einer Turbine muß die reale Temperatur nach der Expansion immer überder isentropen (verlustfreien) Temperatur liegen, d.h. T4> T4, is, d.h. dieverlustbehaftete Expansion liefert immer weniger Arbeit als die verlustfreie(isentrope) Expansion:Expansionsarbeit, isentrop: wt, is= cp⋅ ( T4,is− T3)Expansionsarbeit, real: wt= cp⋅ ( T 4− T 3)Turbine:wt< w t , is_________________________________________________________________________6. Berechnen Sie die abgegebene Nutzleistung P N der AnlageP = P + PNTV⇒ PN= m&⋅ wt, T+ m&⋅ wt, V= m&⋅[ ( h4− h3) + ( h2− h1)] = m&⋅ cp⋅[ ( T4− T3) + ( T2− T1)]⇒ P = 7.02⋅1023⋅[ ( 1075 −1800) + ( 590.2 − 288.15)] ⇒ P N= − 3. 037[ MW ]N_________________________________________________________________________Kontrolle: Die abgegebene Leistung der Turbine P T muß immer negativ sein, dieaufgenommene Leistung des Verdichters P V muß immer positiv sein. DieNutzleistung P N muß ebenfalls immer negativ sein und entspricht derTurbinenleistung P T , die um die erforderliche Antriebsleistung für denVerdichter P V verringert wurde.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________Seite 19 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.10Dieselmotor mit AbgasturboladerDie Leistung eines Dieselmotors soll durch einen Abgasturbolader modifiziert werden.Die Bedingungen im Turbineneintritt des Abgasladers (Zustand III) entsprechen denZustandsgrößen des Dieselmotors nach dem Expansionstakt, d.h. die TurbineneintrittstemperaturT III entspricht der Abgastemperatur T 4 = 940 K des Dieselmotors und der Druckim Turbineneintritt p III ist gleich dem Abgasdruck nach dem Expansionstakt von p 4 = 3.32bar.Für den Abgasturbolader gelten folgende Größen:Mechanischer Wirkungsgrad: η mech = 0.98Isentroper Verdichterwirkungsgrad: η V,is = 0.80Isentroper Turbinenwirkungsgrad: η T,is = 0.82Darüber hinaus gilt: m& = m&V = m&T = 0.15 kg/sAls Arbeitsmedium kann mit Luft (ideales Gas: R = 287 J/kgK, κ = 1.4) gerechnet werden.Umgebungsbedingungen: T 0 = 15°C, p 0 = 1.013 bar1. Skizzieren Sie das Schaltbild des Abgasturboladers (Ebenenbezeichnung I-IV).P nutz2. Das Abgas expandiert in der Turbine von p III = p 4 = 3.32 bar auf den Umgebungsdruckp IV = p 0 = 1.013 bar.Berechnen Sie die Temperatur T IV im Turbinenaustritt.T1−κ1−κ1−1.4III⎞ κ4⎞ κ1.4IV ,isentrop = TIII⎟ = T4⎟= 669.6IV0ηT− T⎛ p⋅⎜⎝ p⎠⎛ p⋅⎜⎝ p⎠⎛ 3.32bar⎞= 940 K ⋅⎜1.013bar⎟⎝ ⎠( T − T ) = T − ⋅ ( T − T )III IVT ,is = ⇒ TIV= TIII−ηT ,is ⋅ III IV ,is 4 ηT ,is 4TIII− TIV ,is( 940 K − 669.6 K ) 718.KT IV = 940 K − 0.82 ⋅= 3IV ,isK___________________________________________________________________________Seite 20 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.10Dieselmotor mit Abgasturbolader3. Berechnen Sie die Leistung P V , die dem Verdichter des Abgasladers zur Verfügunggestellt wird.PVc pmechTmech( h − h ) = −η⋅ m ⋅ c ⋅ ( T − T )= −η⋅ P = −η⋅ m&⋅&J287 ⋅1.4R ⋅κkg ⋅ KJ= == 1004.5κ −11.4 −1kg ⋅ KIVIIImechpIVIIIkg JP V = − 0 . 98 ⋅ 0.15 ⋅1004.5 ⋅= 74s kg ⋅ K( 718.3 K − 940 K ) 32.kW4. Wie hoch ist die Temperatur T II , die sich nach der Vorverdichtung der Umgebungsluftvon p I = p 0 auf p II durch den Verdichter ergibt?PV( h − h ) = m&⋅ c ⋅ ( T − T ) = m ⋅ c ⋅ ( T − )= m&⋅&VIIIpIIIpIIT 0⇒PV32.74 ⋅10WTII = + T0 =+ 288.15 K = 505.4 Km & ⋅ c pkg J0.15 ⋅1004.5s kg ⋅ K35. Berechnen Sie das Kompressionsverhältnis πV= pIIpIdes Verdichters desAbgasturboladers.ηV ,isTII,is − TI= ⇒ TII,is = TI+ ηV ,is ⋅ II I ηT − TIII( 505.4 − 288.15) 462.KT II , is = 288 . 15 K + 0.8 ⋅= 0π( T − T ) = T + ⋅ ( T − )κκ1.4p II ⎛ TII,is ⎞ κ −1⎛ TII,is ⎞ κ −1.V = = ==p⎜I T⎟⎜I T⎟0⎝⎠⎝⎠⎛ 462.0 K ⎞1 4−1=⎜288.15 K⎟⎝ ⎠0 V ,is II T 05.2196. Wie hoch ist der Druck p II , der sich nach der Vorverdichtung der Umgebungsluft vonp I = p 0 auf p II durch den Verdichter des Abgasturboladers ergibt?pII = π V ⋅ pI= π V ⋅ p = 5.219 ⋅1.013bar5.287 bar0 =___________________________________________________________________________Seite 21 von 22

Kapitel 11Musterlösungen_________________________________________________________________________Ü 11.10Dieselmotor mit Abgasturbolader7. Die Umgebungsluft wurde durch den Verdichter des Laders bereits auf den Druck p IIund die Temperatur T II vorkomprimiert. Welcher Druck p 2 * und welche Temperatur T 2 *würde sich bei einer weiteren isentropen Verdichtung durch den Dieselmotor miteinem unveränderten Verdichtungsverhältnis vonε= v v 19 ergeben?'II'-'2*': Isentrope Kompression*κ −11.4−1T2 = TII⋅ ε = 505.4 K ⋅19= 1641K*κ1.4p2 = pII⋅ ε = 5.287bar⋅19=326.2bar1 2=____________________________________________________________________________________________________________________________________________________Seite 22 von 22