Lineare Regression (Kap. 1-5) (pdf) - Seminar für Statistik - ETH Zürich

38 4 RESIDUEN-ANALYSEgIn Abbildung 4.2.f ist eine fallende Gerade eingezeichnet, die Punkte zusammenfasst, fürdie die Zielgrösse Y konstant (gleich dem Mittelwert der Y i ) ist. Sie wird sich als Referenzlinieals nützlich erweisen (4.4.m), wird aber von Programmen (bisher) nicht gezeichnet.Wir wollen nun die Voraussetzungen nochmals mit diesem neuen Diagramm prüfen.h (a) Regressionsfunktion: Eine Kurve in 3.1.g wird zu einer entsprechenden, ”flachgelegten“ Kurve in 4.2.f. Von Auge können wir zwar Muster in solchen Darstellungen rechtgut erkennen, aber es erweist sich oft als nützlich, eine mögliche Kurve einzuzeichnen. Manerhält sie mit einer geeigneten Glättungsmethode.iDie Voraussetzung (a) lautet ja: E〈E i 〉 = 0. Wenn wir nun einige Beobachtungen mitähnlichem ŷ i zusammennehmen, also einen vertikalen Streifen in Abbildung 4.2.f herausgreifen,sollte der Mittelwert der Residuen R i ungefähr 0 ergeben. Man kann einen solchenStreifen mit vorgegebener Breite h wählen und den Mittelwert der Residuen in der Mittedes Streifens in veritkaler Richtung einzeichnen (Abbildung 4.2.i). Variiert man nundie Position des Streifens, entlang der horizontalen Achse, so erhält man das gleitendeMittel (running mean).Diese kurze Beschreibung sollte nur die Grundidee des Glättens mit der wohl einfachstenIdee erklären. Das Verfahren kann ist leicht zu verbessern und sollte deshalb nicht verwendetwerden. Genaueres zu Glättungmethoden bringt das Kapitel über ”NichtparametrischeRegression“.R iResiduen−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8angepasste Wertey^iAbbildung 4.2.i: Bestimmung des gleitenden Mittels: Mittelwerte für zwei vertikale Streifen.jWenn Ausreisser vorhanden sind, dann sollte sich die Glättung davon nicht beirren lassen!Einverstanden?In einem realen Beispiel ist immer damit zu rechnen, dass mehrere Voraussetzungenunerfüllt bleiben. Methoden, die einzelne Voraussetzungen beurteilen lassen, auch wennandere verletzt sind, erweisen sich als besonders nützlich. Sie erlauben es, die geeignetenVerbesserungen zu finden; eine spezifische Diagnose ermöglicht die Wahl der wirksamenTherapie.