Lineare Regression (Kap. 1-5) (pdf) - Seminar für Statistik - ETH Zürich

4.4. ZIELGRÖSSE TRANSFORMIEREN? 45Residuen−4 −3 −2 −1 0 1 22.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0FitAbbildung 4.4.d: Tukey-Anscombe-Diagramm für das Beispiel der basischen Bödenten Statistik, auf Plausibilität, Einfachheit und ähnlichen ”unexakten“ Grundlagen.ghAls nützlich erweisen sich sehr oft• die Logarithmus-Transformation für Konzentrationen und Beträge – also fürstetige Zufallsvariable, die nur positive Werte haben können –• die Wurzeltransformation für Zähldaten und• die so genannte Arcus-Sinus-Transformation ỹ = arcsin √ y für Anteile (Prozentzahlen/100).Diese Transformationen haben von J. W. Tukey den Namen first aid transformationserhalten und sollten für solche Daten immer angewendet werden, wenn es keineGegengründe gibt – und zwar auch für erklärende Variable.Wenn in einer einfachen Regression sowohl die erklärende Variable als auch die ZielgrösseKonzentrationen sind, führt die Regel zu Ỹ = log 10〈Y 〉 und ˜X = log 10 〈X 〉 . Aus Ỹ =α + β˜x i + E i wird log 10 〈Y i 〉 = α + β log 10 〈x i 〉 + E i undY i = 10 α x β i10 E i,also ein Potenzgesetz für die ursprünglichen Grössen (vergleiche 2.1.d). Falls β = 1 ist,sind die Konzentrationen proportional bis auf einen multiplikativen zufälligen Fehler.Wenn das lineare Modell der logarithmierten Grössen weitere Terme enthält, dannwirken diese auf die untransformierte Zielgrösse multiplikativ. Für eine zusätzliche kontinuierlicheAusgangsgrösse kommt ein multiplikativer Potenz-Term x (2) β 2ihinzu. Im Falleiner Indikator-Variablen, beispielsweise für eine neue Behandlung, ist die Wirkung einfacher:Die neue Behandlung bewirkt gemäss Modell eine proportional Erhöhung (oderErniedrigung) von Y um den Faktor 10 β 2.