Inverses Pendel - Technische Universität München

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Praktikumsversuch Inverses PendelAbbildung 5: Blockdiagramm der Regelstrecke mit ZustandsrückführungNun gilt es, die Koeffizienten von R richtig zu wählen, um Stabilität und das gewünschtedynamische Verhalten zu erreichen und einen passenden Vorfilter F zu finden, umFolgeverhalten zu erzielen. Mit anderen Worten bedeutet das• für Stabilität und dynamisches Verhalten: Die Koeffizienten r 1 ,r 2 ,r 3 ,r 4 (Elementevon R) müssen so gewählt werden, dass die Pole des geschlossenen Systems an dengewünschten Stellen λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ,λ 4 liegen.• für gutes Folgeverhalten (Tracking): Die Werte von F sollen so gewählt werden, dassdie gewünschte Wagenposition angefahren wird.4.2 Vorfilter FAngenommen, eine Rückführmatrix R sei bekannt, dann lautet die Zustandsgleichung desSystems im Gleichgewicht:0 = (A−BR)x s+BFw (6)⇒ x s = −(A−BR) −1 BFw, (7)wobei x s den stationären Zustand darstellt. Man kann zeigen, dass die benötigte Inverseimmer existiert. Substituiert man jetzt x s in der Ausgangsgleichung, kann y für denstabilen Fall angegeben werden:y s = Cx s = C(BR−A) −1 BFw.Außerdem besteht die Forderung:y s = w.Sofern p = q kann der gesuchte Vorfilter F somit angegeben werden mitF = ( C(BR−A) −1 B ) −1.10
Praktikumsversuch Inverses Pendel4.3 Rückführmatrix RObwohl sich in der Literatur viele Methoden für die Berechnung der Rückführmatrix Rfinden, beschränken wir uns hier auf die Methode der Eigenwertvorgabe, auch als Polplatzierungoder Polverschiebung bekannt. Grundgedanke dieser Methode ist, die Koeffizientender Matrix R so zu wählen, dass sich die Eigenwerte des geschlossenen Systems in dergewünschten Lage einstellen. Mit anderen Worten wird zuerst die Lage der Pole des geregeltenSystems festgelegt, um gewünschtes Folgeverhalten zu erreichen und anschließendR so gewählt, dass die Pole des ungeregelten Systems an die gewünschten Stellen verschobenwerden. Um dies zu ermöglichen, muss das System selbstverständlich vollständigsteuerbar sein.Die einfachste Methode zur Berechnung der Rückführmatrix R eines SISO-Systems istder Koeffizientenvergleich des charakteristischen Polynoms des geregelten Systems (mitden Elementen von R als Unbekannten) mit dem Wunschpolynom berechnet aus dengewünschten Eigenwerten.Die Zustandsdarstellung des geregelten Systems lautetẋ = (A−BR)x+BFw.Dieses System hat das charakteristische Polynomdet(sI−A+BR).Bei Vergleich des obigen charakteristischen Polynoms mit dem Wunschpolynom aus denfestgelegten Eigenwertenergibt sichdet(sI−A+BR) = (s−λ 1 )(s−λ 2 )...(s−λ n )s n +a n−1 (R)s n−1 +...+a 0 (R) = s n +p n−1 s n−1 +...+p 0 ,wobei die p i bekannt sind aus λ i .Wir erhalten durch Vergleich der Koeffizienten auf beiden Seiten n Gleichungen für dien×p Elemente von R. Im SISO-Fall (p = 1) sind die n Gleichungen linear und könneneindeutig gelöst werden, wenn das System steuerbar ist.11
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