Inverses Pendel - Technische Universität München

Praktikumsversuch Inverses Pendel4 ReglerentwurfDer in diesem Versuch zu entwickelnde Regler sollte die folgenden Ziele erfüllen:• Ein instabiles System muss stabilisiert, sprich das Pendel in der aufrechten Positionbalanciert werden. (Das ungeregelte System hat einen Pol in der rechten komplexenHalbebene.)• Die Position des Wagens x c muss geregelt werden und auch einer wechselnden Sollpositionx soll folgen können.• Das geregelte System sollte ein ”gutes“ dynamisches Verhalten haben.Mankannzeigen,dassdieseAnforderungenleidernichteinfachmitHilfeeinesPID-Reglersdurch Messung der Position des Wagens als Ausgangsgröße erreicht werden können. Eineeinfache Ausgangsrückführung reicht also nicht aus. Folglich muss eine aufwändigereRegelung gefunden werden.4.1 ZustandsregelungUm das System kontrollieren zu können, muss ein Regler mit Zustandsrückführung undVorfilter entworfen werden. Theorie und detaillierte Erklärungen zum Entwurf eines Reglersmit Zustandsrückführung können in den Aufzeichnungen zur Vorlesung Moderne Methodender Regelungstechnik 1 nachgeschlagen werden. Für Praktikumsteilnehmer, diediese Vorlesung bereits besucht haben, wird der folgende Abschnitt einen kurzen Rückblickdes Entwurfs eines solchen Reglers geben und für diejenigen, die die Vorlesung nochnicht besucht haben, wird es eine kleine Einführung und Vorbereitung darauf sein.Betrachten wir das folgende System in Zustandsraumdarstellung:ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), x(t 0 ) = x 0 (1)y(t) = Cx(t) (2)Die Matrizen A,B,C sind konstant und x 0 ist der Anfangswert. Es wird angenommen,dass das System n Zustände, p Eingänge und q Ausgänge besitzt.Das Regelgesetz für eine Zustandsrückführung bei linear zeit-invarianten Systemen (LZI)lautet:u(t) = −Rx(t)+Fw(t), (3)wobei R ∈ R p×n die Rückführmatrix und F ∈ R p×q die Vorfiltermatrix ist.Wird das Regelgesetz (3) in die Differentialgleichung (1) eingesetzt, so folgt die Dynamikdes geschlossenen Regelkreises (siehe Abbildung 5):ẋ(t) = (A−BR)x(t)+BFw(t), x(t 0 ) = x 0 (4)y(t) = Cx(t) (5)9