Inverses Pendel - Technische Universität München

Praktikumsversuch Inverses PendelJetzt muss die absolute kinetische Energie T T des Systems aufgestellt werden. Diese setztsichauszweiTeilenzusammen:ErstensausderBewegungsenergiederTranslationdesWagens(Beachten Sie: Die Bewegung des Wagens steht senkrecht zur Rotation des Ritzels)und zweitens aus der Rotationsenergie des darauf befestigten Pendels (Beachten Sie auchhier: Translation des Wagens und Rotation des Pendels stehen zueinander senkrecht).Frage 3. Geben Sie die absolute Bewegungsenergie T c des Wagens an.Hinweis: Die Rotationsgeschwindigkeit des Motors ist ω m = Kg dx c(t)r mp dtFrage 4. Geben Sie die absolute kinetische Energie T p des Pendels an.Die gesamte kinetische Energie des Systems ist:T T = T c +T p = 1 ( ) ( ) 2 ( )(dd dMc +M p2 dt x c(t) −M p l p cos(α(t))c(t))dt α(t) dt x+ 1 ( ) ( ) 2I p +M p lp2 d2 dt α(t) .Stellen Sie jetzt die Bewegungsgleichungen nach Lagrange für das Gesamtsystem auf. DieGleichungen, die wir aus den vorher definierten generalisierten Koordinaten, x c und α,erhalten, lauten( (d ∂ ∂− = Q xc , (9)wobei L definiert ist als:dtddt)∂ẋ c (t) L ( ) ∂∂ ˙α(t) L −(8))∂x c (t) L ( ) ∂∂α(t) L = Q α , (10)L = T T −V T . (11)Q xc und Q α sind die generalisierten Kräfte, welche sich aus den generalisierten Koordinatenergeben, und können folgendermaßen angegeben werden:Q xc = F c (t)−B eqddt x c(t),dQ α = −B p α(t), (12)dtunter Vernachlässigung der Reibung. Außerdem wurde die Kraft, welche das Pendel beider Rotation auf den Wagen ausübt, vernachlässigt.Frage 5. Leiten Sie die Lagrange-Funktionen (9) und (10) mit Hilfe von (12) her, umdie nichtlinearen Bewegungsgleichungen zu erhalten.Antwort: Die Lagrange-Gleichungen führen zu den folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungenfür x c und α, welche die Bewegungsgleichungen des dynamischen Systemsdarstellen:(Mc +M p) d 2dt 2x c(t)−M p l p cos(α(t)) d2−M p l p cos(α(t)) d2dt 2x c(t)+( ) 2 ddt 2α(t)+M pl p sin(α(t))dt α(t) d= F c −B eq) d2(I p +M p l 2 p18dt 2α(t)−M pgl p sin(α(t)) = −B pddt α(t).dt x c(t)