Längenmessung

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2. Dehnmessstreifen /6 Hintergrund zur Widerstandsänderung /1 <strong>Längenmessung</strong> Der Widerstand eines Drahtes mit der Länge l, dem Durchmesser d, der Querschnittsfläche A = πd²/4 und dem spezifischen Widerstand ergibt sich zu lρ 4lρ = = 2 A πd Wird der Draht (einachsig) gedehnt, so ändern sich l, A und wegen der mit der Gestaltänderung verbundenen Verschiebung in der Gitterstruktur auch der spezifische Widerstand ρ und damit der gesamte Widerstand R. Sind diese Änderungen infinitesimal klein, so kann mittels des totalen Differentials folgender Zusammenhang zwischen der Änderung dR des elektrischen Widerstandes und diesen sehr kleinen Änderungen berechnet werden. 4ρ 4l dR = d l + 2 πd πd 2 8lρ d l − d d πd3
2. Dehnmessstreifen /7 Hintergrund zur Widerstandsänderung /2 <strong>Längenmessung</strong> Werden die infinitesimal kleinen Änderungen dR, dρ, dl und dd der Größen R, ρ, l und d in der vorigen Gleichung durch die immer noch kleinen Änderungen ∆R, ∆ρ, ∆l und ∆d, mit ∆ρ « ρ, ∆l « l und ∆R « R ersetzt, so folgt mit guter Genauigkeit die relative Widerstandsänderung ∆R/R ∆R ∆l ∆d = − 2 R l d Bei einer Dehnung ε = ∆l/l in Längsrichtung des Drahts verändert sich der Durchmesser um den Betrag εq=∆d/d=-ε (Poissonzahl µ=εq/ε) + ∆ρ ρ ∆R ∆ρ ∆ρ = ε + 2µε + = ( 1+ 2µ ) ε + R ρ ρ Dividiert man diese Gleichung durch ε, so ergibt sich der (dimensionslose) k-Faktor, der das Verhältnis von Widerstands- zu Längenänderung angibt: ∆R / R ∆ρ / ρ ∆R k = = 1+ 2µ + ⇔ = k ⋅ε ε ε R
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