Grundlagen FEM mit Solidworks Berechnung Verstehen und anwenden

1.1 Grundlagen der FEM-Theorie 5
Lösung:
Gleichung (5):
N
2
210 000 ⋅200 mm
2
10 000 N = mm
⋅ Δl
50 mm
Δl
= 0,012 mm
Gleichung (2) und (3):
N 0.012 mm N
σ z = 210 000 ⋅ = 50
2 50 mm
2
mm
mm
Die Finite-Elemente-Methode ist nun aber eine computerorientierte Berechnungsmethode. Als
Grundlage für die Berechnungen wird die Matrizenrechnung verwendet. Wenn man diese beim
obigen Beispiel anwendet, sieht das folgendermaßen aus:
Am Zugstab greifen die beiden Kräfte F 1 und F 2 an, und rufen jeweils die Verschiebungen
U1
und U 2 hervor.
F 1 ,U 1
F 2,U 2 Gleichung (5): F =
E ⋅ A
l0
⋅ Δl
+ X
Somit gilt für F1
und F 2 :
F1
= K ⋅U1
− K ⋅U2
F2
= K ⋅U2
− K ⋅U1
F
= K ⋅ U (6)
Matrizenschreibweise:
Nun setzen wir die Werte von oben ein:
Für K erhalten wir
K
− K U1
F1
=
−
K K U
2 F2
N
2
210 000 ⋅ 200 mm
2
K = mm
50 mm
(wobei die Kraft F 1 negativ ist)
= 840 000
EA EA
−
l l
EA EA
−
l l
Durch Einsetzen in die obige Matrizengleichung erhält man:
N
N
840 000 − 840 000
mm
mm
U1
−10 000 N
=
N
N
−
U
10 000 N
840 000 840 000 2
mm mm
Diese Matrizengleichung ist statisch unterbestimmt. Erst wenn man die Randbedingung
U 1 = 0 (weil links fixiert) einführt, ist die Matrizengleichung lösbar:
N
840 000 ⋅U
= 10 000 N U2
mm
Element-Steifigkeitsmatrix
2 =
0,012 mm
N
mm