¨Ubung zur Theoretischen Physik: Statistische Mechanik II ... - TUM

Fakultät für Physik
Technische Universität München
Theoretische Physik T34
Blatt 3
WS 2000/2001
16.11.2000
Übung zur Theoretischen Physik: Statistische Mechanik II
Aufgabe 1: Brownsche Bewegung
(Prof. Dr. F. Schwabl)
Zeigen Sie für die Brownsche Bewegung, daß sich das mittlere Schwankungsquadrat
des Ortes im Grenzfall großer Zeiten verhält wie
Aufgabe 2: Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß
〈x 2 (t)〉 = 2Dt mit D = kBT/ζm .
a) Zeigen Sie daß die Fokker-Planck-Gleichung
die Lösung
mit α = e −ζt besitzt.
P1(v, ˙ t) = ζ ∂
∂v
�
vP1(v, t) + kBT
m
�
∂P (v, t)
∂v
√
m
P (v, t) = �
2πkBT (1 − α2 ) exp
�
2
m(v − αv0)
−
2kBT (1 − α2 �
)
b) Bestimmen Sie die Grenzfälle t → 0 und t → ∞.
Aufgabe 3: Smoluchowski-Gleichung
a) Leiten Sie die Smoluchowski-Gleichung für P (ξ, t) = 〈δ (ξ − x(t))〉
∂
∂
P (ξ, t) = −
∂t ∂ξ
∂2
(ΓP (ξ, t)K(ξ)) + ΓkBT P (ξ, t)
∂ξ2 zur überdämpften Langevin-Gleichung im Kraftfeld
˙x = ΓK(x) + r(t)
her, wobei r(t) eine stochastische Kraft mit
ist.
〈r(t)〉 = 0 , 〈r(t)r(t ′ )〉 = 2ΓkBT δ(t − t ′ )

) Zeigen Sie, daß
� �
V (x)
P (x, t) = N exp −
kBT
∂V (x)
eine stationäre Lösung ist. Dabei ist V (x) das Potential der Kraft K(x) = − ∂x
und N ein Normierungsfaktor.
Aufgabe 4: Überdämpfter Oszillator
Betrachten Sie die Langevin-Gleichung eines überdämpften, harmonischen Oszillators
˙x(t) + Γx(t) = h(t) + r(t) ,
wobei h(t) eine äußere Kraft und r(t) eine stochastische Kraft mit den üblichen Eigenschaften
ist. Berechnen Sie
a) die zeitabhängige Korrelationsfunktion
b) die Responsefunktion
c) und die Fouriertransformierte von χ(t).
C(t) = 〈x(t)x(t ′ )〉 h=0 ,
χ(t) = δ〈x(t)〉
δh(t ′ )〉 ,