verm_kapitel03_1.pdf

Vermessungsskript - Stand : SS2008 

3. Höhenunterschiede, Horizontalwinkel und Horizontalstrecken 

3.1 Höhenunterschiede 

grundlegend unterschiedliche Bestimmungsverfahren : 

• geometrisch := direkt 

• hydrostatisch 

• trigonometrisch := indirekt 

• barometrisch 

3.1.1 Prinzip (geometrisch) 

gesucht : ∆h zwischen zwei Geländepunkten A und B 

A 

Lattenablesung 

1,96 

horizontale Ziellinie 

Lattenablesung 

1,12 

Abb. 3.1.1 : Prinzip der Höhenmessung 

B 

∆h = 1,96 - 1,12 

= 0,84 m 

Prinzip = 

Messen des lotrechten Abstandes beider Punkte von der horizontalen Ziellinie 

Gerät zum Herstellen der horizontalen Ziellinie: Nivelliergerät 

+ 2 Nivellierlatten zum Messen der Abstände der Ziellinie von den Geländepunkten 

→ Berechnung des Höhenunterschiedes als Differenz der beiden Ablesungen 

Univ.-Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch 

Seite 3-1

verallgemeinert: 

Rückblick r 1 

(rückwärts im 

Sinne d. Meß- 

richtung) 

A 

Festpunkt, 

Höhe über NN bekannt 


Vorblick v 1 

WP 

Wechselpunkt 

Abb. 3.1.2 : Höhenübertragung 

hier : 

allgemein : 

I 1 

∆h 

∆h 

AB 

AB 

r 2 

∆h 1 = r 1-v 1 

Meßrichtung 

= ∆h + ∆h 

= ( r − v ) + ( r − v2) 

1 2 1 1 2 

∑ ∑ ∑ 

= ∆h 

= r − v 

I 2 

i i i 

v2 

B 

∆h 2 = r 2-v 2 

Elimination des Einflusses der Erdkrümmung, sofern gleiche Zielweiten für 

Rückblick und Vorblick gegeben sind ! 

3.1.2 Feldarbeiten und Auswertung von einfachen Liniennivellements 

Ziel : Bestimmung des Höhenunterschiedes zwischen A und B 

1. Latte auf A aufstellen, Instrument auf I1, Latte ablesen 

(cm ablesen, mm schätzen) 

2. Latte auf 1. Wechselpunkt stellen, Instrument drehen, WP1 ablesen 

(Zielweiten abschreiten → AI1 ≈ I1 WP1 

Schiefe der Ziellinie) 

, → Elimination des Einflusses der 

• Latte an den Wechselpunkten auf eine Bodenplatte, den sog. „Frosch“ 

stellen (→ bei uns gelb), „Frosch“ gut in den Untergrund eintreten ! 

A 

Abb. 3.1.3 : Erfassung der Messwerte in das Feldbuch 


I2 

I1 WP 1 WP 2 

Seite 3-2 

I3 

WP 3 

B



3.1.3 Instrumente zur direkten Messung von Höhenunterschieden 

prinzipiell: Messfernrohr, dessen Zielachse horizontal ausgerichtet werden muss 

3.1.3.1 Zwei Typen von Nivellierinstrumenten : 

früher: Libellennivelliere 

heute: Kompensatornivelliere (analog/digital) 

1. Kompensatornivellier = automatisches Nivellier 

• Einspielen der Röhrenlibelle ist ersetzt durch ein mechanisch-optisches 

Bauteil 

→ Kompensator 

(= an dünnen Drähten hängende Spiegel, Prismen, Linsen) 

• Kompensator unterliegt der Erdschwerkraft 

→ er gleicht Neigungen der Zielachse bei jeder Zielung selbsttätig aus 

• Vorhorizontierung geschieht anhand der Dosenlibelle 

⇒ ! schneller ! 

2. Digital-Kompensatornivellier 

• elektronisch messend 

• automatisch rechnend und registrierend 

→ internes REC-Modul 

→ Kabelanschluss zu externer Registriereinheit 

• Kombinivellierlatte mit klassischer Skalenteilung (→ visuelle Messung) 

und Strichcode (→ elektronische Messung) 

Strichcode : Codebild 

⇒ digitales Messsignal 

⇒ Bildverarbeitung : Korrelation, bis Übereinstimmung mit Referenzsignal 

Seite 3-3



3.1.3.2 Klassifizierung nach Genauigkeiten 

Genauigkeitsstufe 

einfache Genauigkeit 

hohe Genauigkeit 

höchste Genauigkeit 

Standardabweichung 

für 1 km Doppelnivellement 

Baunivellier 

• technische Nivellements auf Baustellen 

• Aufnahme von Längs- und Querprofilen 

• Flächennivellements 

Seite 3-4 

Verwendungszweck 

Beispiel 

σn ≤ Zeiss Leica 

6 mm Baunivellier NI 50 Wild NA 

20 

2 mm Ingenieur- NI 30, NI NA 2002 

nivellier 40 

0,5 mm Feinnivellier NI 2 NA 5000 

Ingenieurnivellier 

• amtliche Festpunktnivellements im Netz 3.Ordnung 

• Geländeaufnahmen für Massenberechnungen 

• Straßen-, Brücken-, Tunnelbau 

Feinnivellier 

• amtliche Festpunktnivellements in den Netzen 1. und 2.Ordnung 

• Überwachung von Staumauern, Brücken, Fundamenten


3.1.4 Überprüfung eines Nivelliers 

3.1.4.1 Justieranforderungen 

wesentliche Voraussetzung : 

Abb. 3.1.4 Voraussetzung 

horizontale 

Ziellinie 

Wie ist diese Voraussetzung realisiert ? ... also genauer : 

Strichplatte 

Fadenkreuz 

Fernrohrlibelle 

VV 

Vertikalachse 

Meßfernrohr 

Abb. 3.1.5 Aufbau eines Nivelliers 

LL Libellenachse . 

ZZ Zielachse 

Die Libellenachse ist 

eine Tangente an der 

Lauffläche der Libelle 

im Normalpunkt 

Justierbedingungen : 1. LL ll ZZ (Libellenachse parallel zur Zielachse) 

2. LL ⊥ VV (Libellenachse senkrecht auf der Vertikalachse) 

sofern nicht gegeben: 

Bestimmung des Spielpunktes der Libelle 

und mittels Libellenjustierschraube auf Normalpunkt einspielen 


Seite 3-5

Latte 1 

r r 

r ' = r+d 

r ' = r+d 

Zielweite 

Rückblick 


Einfluss einer fehlerhaften Justierung : 

Abb. 3.1.6 Fehlerhafte Justierung 

Zielweite 

Vorblick 

v 

Latte 2 

v ' = v+d 

der Fehlereinfluss ist Zielweiten-abhängig ! 

⇓ 

gleiche Zielweiten für Rückblick und Vorblick 

⇓ 

automatische Elimination des Fehlereinflusses 

Folgerungen : 

∆hfehlerfrei = r - v 

∆hfehlerbehaftet = r ‘ - v ‘ 

= (r + d) - (v + d) 

= r + d - v - d 

= r - v 

• Messanordnung (d.h. das Einrichten der Zielweiten) beeinflusst unmittelbar 

die erreichbare Genauigkeit 

• geeignete Messanordnung erlaubt die Überprüfung des Nivelliers ! 

⇓ 

Prüfverfahren für Nivelliere 

= Kombination aus Aufstellungen, 

die automatisch zur Elimination des Fehlereinflusses führen 

⇒ „Sollwerte“ 

mit Aufstellungen, die den ggf. vorhandenen Fehlereinfluss beinhalten 

⇒ „Istwert“ 

Vergleich von Soll- und Istwerten läßt dann eine Aussage über 

die (De-)Justierung des Gerätes zu. 


Seite 3-6


Es gibt eine Reihe unterschiedlicher Verfahren zur Justierung : 

• im Feld : 

• im Labor : 

→ Nivellement aus der Mitte 

→ Verfahren nach Kukkamäki 

→ Verfahren nach Nähbauer 

→ Kollimator 

3.1.4.2 Nivellement aus der Mitte 

Voraussetzung : Zielweite Rückblick ≈ Zielweite Vorblick ! 

⇓ 

a) Instrumentenaufstellung 1 

r1 

r1´=r1+d 

= 1,234 

d 

Latte A 

α 

s ~ 15 m 

1 

∆hkorrekt := Sollwert 

α 

s ~ 15 m 

2 

d 

Latte B 

Abb. 3.1.7 Nivellement aus der Mitte 1 

v1 

v1´=v1+d 

= 1,111 

si ... Zielweiten ; s1 = s2 ! 

r1 ... theoretisch korrekter Rückblick 

(existiert real nicht) 

v1 ... theoretisch korrekter Vorblick 

(existiert real nicht) 

d ... aus fehlerhafter Justierung für 

s1 resultierender Fehler 

r1´ ... fehlerbehaftete tatsächliche 

Ablesung im Rückblick 

(z.B. Lattenablesung = 1,234) 

v1´ ... fehlerbehaftete tatsächliche 

Ablesung im Vorblick 

(z.B. Lattenablesung = 1,111) 

∆h´ = r1´ - v1´ = (r1 + d) - (v1 + d) = r1 + d - v1 - d = r1 - v1 = ∆hfehlerfrei 

∆h ist aufgrund der Messanordnung fehlerfrei := 

Sollwert (im Beispiel : +0,123) ! = ∆h fehlerfrei 


Seite 3-7


b) Instrumentenaufstellung 2 (Latten unverändert !) 

r2= Soll 

= 1,122 

r2 ‘ 

=1,118 

d 

d 

Latte A 

s ~ 15 m 

1 

d 

α 

s ~ 15 m 

2 

Latte B 

Abb. 3.1.8 Nivellement aus der Mitte 2 

v2 ‘ = v2 

= 0,999 

ca.3 m 

Instrumentenstandpunkt unmittelbar an der Vorblicklatte 

„kein“ Fehlereinfluss an der Vorblicklatte (vernachlässigbar klein !) 

doppelter Fehlereinfluss an der Rückblicklatte 

= Fehlereinfluss aus fehlerhafter Justierung für s1 + s2 ( = 2 ∗ s1) 

∆h zwischen A und B unverändert 

⇒ ∆h = r2 - v2 

• Ermittlung der Soll-Ablesung : 

r2 = ∆h + v2 ⇒ Vorhersage derSoll-Ablesung auf die Rückblicklatte 

= rSoll (im Beispiel : 0,123 + 0,999 = 1,122) 

• Ist-Ablesung an der Rückblicklatte : 

= rIst 

r2 ´ = 1,118 

⇒ Interpretation : 

Gegenüberstellung von r2 und r2´ unter Berücksichtigung der Zielweite ! 


Seite 3-8 

⇓

1,122 


- 

1,118 

= 0,004 = 4 mm 

d d 

d 

~ 30 m 

Abb. 8.6 Interpretation der Ist- 

Ablesung 

α 

tan α = 

⇒ Maßnahme : Verschiebung des Fadenkreuzes auf die Soll-Ablesung 

3.1.4.3 Justierung am Kollimator 

Kollimator = • Fernrohr, auf ∞ eingestellt, 

Kollimation (Optik) : 

(Messtechnik) : 

beleuchtetes Strichkreuz in der Brennebene 

• Libelle ⇒ Zielachse streng horizontiert 

Erzeugung paralleler Strahlen 

2 Fernrohre mit parallelem Strahlengang 

(d.h. Fokussierung auf Unendlich) 

gegeneinander ausrichten 

Kollimator Nivellier 

Lampe Strichplatte 

Fadenkreuz 

Abb. 3.1.9 Justierung am Kollimator 


Seite 3-9 

0, 004 

30 

⇒ α = 8,5 

mgon 

Justierung : 

Verschiebung 

des 

Fadenkreuzes 

bis 

in den Brennpunkt



Anwendung : • das zu justierende Nivellierinstrument ebenfalls auf ∞ stellen 

dann entweder (bei Libellen- oder Kippschraubennivellieren) 

• Strichkreuz des Prüflings über die Kippschraube des Nivelliers mit 

dem Strichkreuz des Kollimators zur Deckung bringen und danach 

die Libelle mit der Libellenjustierschraube einspielen 

oder (bei Automatischen Nivellieren) 

• die Dosenlibelle des Prüflings einspielen und dann 

das Strichkreuz mit der Strichkreuzberichtigungsschraube in Übereinstimmung 

bringen 

mit dem Strichkreuz des Kollimators 

Seite 3-10

3.2 Horizontalwinkel 

3.2.1 Prinzip 



→ alle Aufnahmeverfahren zur Koordinatenbestimmung sind bezogen auf 

ein ebenes Koordinatensystem 

→ es muss eine vertikale Projektion der Messelemente wie Winkeln und 

Strecken in eine ebene Bezugsfläche stattfinden 

Definitionen 

Horizontalwinkel 

= Vertikalprojektion eines Raumwinkels auf eine Horizontalebene 

Raumwinkel ⇒ Winkel zwischen zwei räumlichen Geraden 

:= Differenz zweier Richtungen 

Ein Winkel entsteht durch Ablesen von zwei Richtungen 

(=Messwerten) 

und Berechnung 

von: „rechte“ Richtung - „linke“ Richtung 

(2. Richtung – 1. Richtung) 

Zur Richtungsmessung benötigt man als Instrument einen Theodolit. 

Seite 3-11


3.2.2 Feldarbeiten und Auswertung von Richtungsbeobachtungen 

Ziel: von einem Punkt S aus 

Richtungen beobachten zu 3 Zielen 

⇒ Berechnung beliebiger Winkel, die sich 

aus folgenden Kombinationen ergeben: 

α 

α 

Μ 

α 

= r − r 

12 2 1 

= r − r 

1 3 3 1 

= r − r 

ij j i 

3.2.2.1 Aufstellen des Theodolits 

S 

r 1 

α 12 

α 13 

1 

Abb. 3.2.1 : Richtungsbeobachtung 

• Theodolit auf Stativ aufschrauben 

• Stativ über dem Bodenpunkt zentrieren und horizontieren 

Zentrierung mit (- Schnurlot) 

- optischem Lot oder 

(- Zentrierstativ mit Stablot) 

Hilfsmittel für die Horizontierung : Libellen 

Dosenlibelle • ein rundes Glasgefäß 

• innen oben kugelförmig 

• gefüllt mit Äther oder Alkohol bis auf einen kleinen 

Rest, die Libellenblase! 

• ist die Dosenlibelle eingespielt ⇒ 

Tangentialebene II zur Aufsatzebene 

• Justierung: 

Ausschlag zur Hälfte mit Stellschraube beseitigen 

Röhrenlibelle • zylindrische Glasröhre 

• innen oben tonnenförmig, 

im Längsschnitt als Kreisbogen 

• gefüllt mit Äther 

• Teilung mit Strichen: 

Abstand = Pars 

Mittelpunkt = Normalpunkt 


Seite 3-12 

r 3 

r 2 

3 

2

• Zentrierung mit Schnurlot 


1. Grundaufstellung = Grobhorizontierung 

Stativteller möglichst horizontal stellen 

und grobe Zentrierung mit dem Lot 

2. Eintreten der Stativbeine in den Untergrund 

3. Feinzentrierung durch Verschieben des Theodolits 

auf dem Stativtelle 

4. Grobhorizontierung des Theodolits mit der Dosenlibelle 

5. Feinhorizontierung mit der Röhrenlibelle 

Achtung: Libellen reagieren auf Sonnenbestrahlung → 

evtl. mit Feldschirm arbeiten ! 

• Zentrierung mit optischem Lot 

Achtung: Voraussetzung ist Zielachse Lot II Stehachse Theodolit 

1. Grundaufstellung per Augenmaß 

2. Oberbau des Theodolits mit der Röhrenlibelle 

parallel zu 2 Stativbeinen stellen (s.Skizze) 

3. Grobzentrierung: 

optisches Lot mit den Dreifußschrauben auf 

das Zentrum des Bodenpunktes einstellen 

4. Grobhorizontierung (sorgfältig !): 

Einspielen der Dosenlibelle mit Stativfüßen 

5. Feinhorizontierung mit den Dreifußschrauben 

(Röhrenlibelle) 

(Vorsicht: Schwenken der Ziellinie !) 

6. Feinzentrierung: 

Verschieben des Theodolits auf dem Stativteller 

1 

2 

Abb. 3.2.2 

Kontrolle: ist das optische Lot dejustiert ? 

Prüfung in diametralen Stellungen und ggf. das Mittel nehmen, 

falls sich die Zielung ändert. 


Seite 3-13 

3

• Zentrierung mit Zentrierstab 



1. Grundaufstellung: 

Theodolit auf Stativkopf (nicht -teller !) klemmen 

2. Grobzentrierung: 

Spitze des Zentrierstabes auf Zentrum des Bodenpunktes stellen 

3. Grobhorizontierung: 

mit den Stativbeinen die Dosenlibelle am Zentrierstab einspielen 

4. Eintreten der Stativbeine in den Untergrund 

5. Feinzentrierung : 

durch Verschieben des Stativkopfes auf dem Stativteller 

→ Einspielung der Dosenlibelle 

6. Feinhorizontierung: 

die Röhrenlibelle mit den Dreifußschrauben einspielen 

Kontrolle: Zentrierstab drehen 

... um die Messanordnung zu verstehen: 

3.2.2.2 Grundzüge des Theodolitaufbaus 

Der Theodolit besteht aus dem Oberbau und dem Unterbau. 

• Oberbau → drehbar um die Vertikalachse 

bestehend aus dem Zeigerkreis = Alhidade (arabisch) 

darauf stehend: Fernrohrstützen mit Fernrohr und ggf. Höhenkreis 

• Unterbau → fest 

bestehend aus dem Dreifuß mit drei Fußschrauben und 

dem Horizontal-/Teilkreis mit Grad-/Gonteilung 

modifiziert zu: drehbarem Teilkreis = Limbus 

Seite 3-14


⇒ Repetitionsverfahren: 

n aufeinander folgende Messungen eines Winkels werden auf dem Limbus 

mechanisch „aufaddiert“ (repetiert) 

⇒ Differenz zwischen Anfangs- und Abschlussablesung = n-facher Winkel 

! Wesentlich : 

Die Stelle auf dem Horizontalkreis, auf der abgelesen wird, kann variiert 

werden ! 

3.2.2.3 Richtungs- und Satzmessung 

• Abfolge einer Messungsreihe (bei feststehendem Limbus !) 

a) alle Zielpunkte von links nach rechts 

in I. Fernrohrlage anzielen 

b) Fernrohr durchschlagen 

c) alle Ziele in umgekehrter Reihenfolge 

anzielen 

d) Ablesungen mitteln 

e) Mittel auf die erste Richtung reduzieren 

• Beobachtung weiterer Sätze : 

insgesamt n Stück → Limbus jeweils um 200 

n 

⇒ nur a) = Halbsatz 

⇒ a) - e) = 

Satz (Vollsatz) 

[gon] verstellen ! 

(⇒ Verringerung des Einfluss der Teilungsungenauigkeiten des 

Horizontalkreises) 

→ nicht erforderlich bei elektronischen Theodoliten ! 

• nur 1 Vollsatz : 


zur Vermeidung grober Fehler bei der Ablesung des Teilkreises : 

Teilkreis um 1 bis 5 gon verstellen ! 

Seite 3-15

3.2.3 Einteilung der Theodolite 

3.3 Vertikalwinkel 

Klassifizierungsmerkmal: 

• Genauigkeit 



am Theodolit: 

→ Vertikal- / Höhenkreis 

→ Kreisableseeinrichtung, bzw. elektronische Ablesevorrichtung 

3.3.1 Höhenkreis 

... zentrisch an der Kippachse angebracht 

... Messgenauigkeit ist abhängig vom Kreisdurchmesser 

(„je größer, desto genauer“) 

Vorsicht bei älteren 

Instrumenten: 

„out“ … 

Bei neueren Instrumenten: 

- Angabe des Höhenwinkels 

- meistens linksläufige Winkel-Kreise mit 360° oder 2 

x 180° 

- Ablesung des Zenitwinkels 

- 400-gon-Teilung 

- durchweg rechtsläufige Winkel-Kreise 

Seite 3-16

3.3.2 Kreisablesevorrichtung 



beim digitalen Theodolit 

(mit gleicher Funktion des Höhenindex): 

→ Realisierung über elektronische Abtastelemente 

3.3.3 Vertikalwinkelmessung 

→ Beobachtung der Zenitdistanz in 2 Lagen zum gleichen Ziel : zI , zII 

• Bedingung : zI + zII = 400 gon 

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, 

liegt eine Indexabweichung vz vor ! 

• Die Indexabweichung verfälscht 

die beiden Ablesungen zI ´und zII´ 

• Durch Messung in 2 Lagen 

wird die Indexabweichung 

bestimmt und eliminiert: 

v 

z 

= 

400 − 

′ 

( zI + 

2 

′ 

zII 

) 

′ 

z = z + v 

⇒ , 

I I 

z 

′ 

z = z + v 

II II z 

Seite 3-17 

Vertikalkreis 

300 

Ablesungen: 

300 

100 

0 

200 

0 

200 

400 

200 

fix im 

Gerät 

100 

Lage I 

V90 gon 

100 

Lage II 

V310 gon 

300 

90 + 310 = 400 gon 

Die zwei Instrumentenfehler bei der Vertikalwinkelmessung: 

1. 

Die Projektion der Zielachse 

des Fernrohres auf eine ver- 

z 

ß 

tikale Ebene „verschwenkt“ 

gegenüber der Projektion 

der horizontalen Ebene. 

300 

200 

0 

Abb. 3.3.1 : Instrumentenfehler 

2. 

Die Verbindung der Ablesestellen 

mit dem Vertikalkreismittelpunkt 

weicht von 

der Horizontalen ab. 

⇒ für einen Standpunkt gilt: 

die Instrumentenfehler sind bei allen Sätzen zu allen Zielen nahezu konstant. 

100

3.4 Horizontalstrecken 


3.4.1 Abhängigkeit vom Bezugshorizont 

A 

H(A) 

R 

S(B) 

S´ 

S 

S(A) 

Abb. 3.4.1 : Bezugshorizont 


B 

H(B) 

Seite 3-18 

Horizontalstrecke = 

Abstand s der Vertikalprojektion zweier 

Punkte, gemessen in der Bezugsfläche 

⇒ d.h. es muss eine Reduktion auf 

einen einheitlichen Bezugshorizont 

stattfinden ! 

• Reduktion für Arbeiten im übergeordnetenLandeskoordinatensystem 

: 

s = s ∗ 

A 

R 

R 

+ H 

A 

= s ∗ 

R = Erdradius ≈ 6370 km 

B 

R 

R 

+ H 

• Bei Arbeiten für einzelne 

Bauvorhaben in großer Höhe : 

Einführung eines Bezugshorizontes 

B

Lagekoordinaten x, y: 


in der Horizontalebene in Meereshöhe 

H = 0 m über NN 

Alle Darstellungen in Plänen und 

Karten sind von der ursprünglichen 

Höhe über NN auf Meereshöhe zu 

reduzieren. 

Beispiel : 

s0 

sH 

= 

6370km 

6370km+ 

H 

s 

0 

Mit: 

= s 

H 

6370 

∗ 

6370+ 

0, 

2 

[ km] 

sH = 2000 m ⇒ s0 = 1999.937 m 

⇒ sH - s0 = 6,3 cm 

Beispiel: Kochertalbrücke 

Höhe: 500 m ü.NN , 

Bauwerkshöhe: 180 m ; 

s500 m = 1100 m 


Seite 3-19 

v 

v 

S 200 

R = 6370 km 

H = 200 m 

Abb. 3.4.2 : Einfluss auf lange Distanzen 

in großen Höhen 

S 0 

v 

v 

v 

v

500 m ü.NN 

320 m ü.NN 

0 m ü.NN 

180 m 

B 

A 


Abb. 3.4.3 : Beispiel Kochertalbrücke 

A 

1 

. 

2 

. 

Im weiteren: 

1100 m 

Reduktion des Bauwerks in der Höhe 500 m 

auf NN (R = 6370 km) : 

⇒ R + HA = 6370,5 km 

63700 

mNN 

s500m − s0m = 1100 m ∗ ( 1 − ) = 86 , cm 

6370, 5 

Reduktion des Bauwerks in der Höhe 500 m 

auf (500 - 180) = 320 m 

(R = 6370,32 km) : 

⇒ R + HB = 6370,5 km 

Brücke 

6370, 32320 

m 

s500m − s320m = 1100 m ∗ ( 1 − ) = 31 , cm 

6370, 5 

s´AB 

sAB 

Abb. 3.4.4 : ebener Ansatz 

B 

s´ = Schrägentfernung 

Brücke 

s = Horizontalentfernung 

⇒ unterschiedliche Verfahren zur Bestimmung der Horizontalstrecke sAB : 


Seite 3-20

3.4.2 Elektronische Distanzmessung 

Prinzip 


→ Elektronische Distanzmessung ist ein Entfernungsmessverfahren 

mit elektromagnetischen Wellen. 

geeignet sind grundsätzlich alle elektromagnetischen Wellen ... 

extrem kurze Wellen 

(ultraviolett) 

↓ 

• hohe Bündelungs- 

fähigkeit 

(zu starke 

Absorptionin 

der Atmosphäre) 

↓ 

• zu geringe 

Reichweite 

Gamma-Strahlen 

3 pm 


Ultraviolett 

Photogr.Infrarot 

Sichtbare Strahlung 

Mikrowellen 

Wellen d. sichtbaren 

Lichts 

Infrarot 

möglichst kurze Wellen 

Mittleres Infrarot 

Nahes Infrarot 

Fernes Infrarot 

Röntgen-Strahlen Radar 

30 pm 

300 pm 

3 nm 

30 nm 

300 nm 

3 m 

µ 

Abb. 3.4.5: Wellenspektrum 

30 m 

µ 

300 m 

µ 

Seite 3-21 

3 mm 

30 mm 

300 mm 

Fernsehen 

Ultrakurzwelle 

3 m 

sehr lange Wellen 

↓ 

• geringe Bündelungsfähigkeit 

(direkt proportional 

zur Frequenz) 

⇒ Signal zu schwach 

• hohe Reichweite 

Kurzwelle 

30 m 

Mittelwelle 

300 m 

Langwelle 

3 km 

Wellenlänge 

v 

λ

→ Zum Einsatz kommen 

a) Mikrowellen (λ = 1 - 10 cm) 

b) Wellen des sichtbaren Lichtes 

c) Infrarot ( λ ≈ 600 nm) 



Messprinzip: • Sender erzeugt eine elektromagnetische Welle= Trägerwelle 

des eigentlichen Messsignals (Modulation mit Messinfos, 

s.u.) 

• Reflektion durch einen Reflektor 

• Detektion durch den Empfänger (im gleichen Gehäuse wie 

der Sender) 

Modulation: impulsmoduliert Impulsmessverfahren 

= Laufzeitverfahren 

frequenzmoduliert 

Phasenmessverfahren 

= Phasenvergleichsverfahren 

= Unterschied der Phasenlage zwischen dem 

Verlassen des Senders und dem Empfang. 

Seite 3-22


a) Impulsmessverfahren Folie : Impulsverfahren 

Trägerfrequenz des Messgerätes, elektromagnetische Welle 

⇒ Aufmodulation von einem scharf definiertem Impuls 

⇒ Messen der Laufzeit t zwischen Aussendung und Empfang 

⇒ „Laufzeitverfahren“ : 

Zeitmessung 

Abb. 3.4.6 : Impulsverfahren 

τ 

- digital: Digitalzähler zählt Impulse von quarzstabilisiertem 

Oszillator zwischen 

Start- und Stoppsignal 

- analog: Aufladen eines Kondensators durch 

einen Konstantstrom 

⇒ gespeicherte Ladungsmenge ist 

proportional zur Ladezeit ! 

t 

τ = Impulsdauer 

t = Taktzeit zwischen 

zwei Impulsen 

Fortpflanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum: 

c ≈ 300.000 km/sec ⇒ 1 

s = ∗c∗ t 

2 

Ziel: 

Streckengenauigkeit von s = 1,5 cm ⇒ 

t 

2 ∗ s 2 ∗ 1 5 cm 

− 

= = 

= 1∗10 c 30 000 000 000 cm 

10 

, 

sec 

. . . 

⇒ erforderliche Genauigkeit der Laufzeitmessung 

⇒ zunächst: kein Einsatz für genaue Messungen 

Ausweg: 

viele Einzelmessungen und Mittelung 

⇒ Auflösung bis in den mm-Bereich ! 

⇒ Ein Erhöhen des Energiegehaltes des Impulses ermöglicht 

→ eine Steigerung der Reichweite 

→ eine reflektorlose Distanzmessung (bzw. mit Reflexfolien) 


Seite 3-23

) Phasenmeßverfahren 


Entfernungsmessungen mit Genauigkeiten von 10 -5 bis 10 -6 

Folie : Phasenmessverfahren 

Auf hochfrequente Trägerwelle: 

Aufmodulation einer langperiodischen Schwingung (Amplitudenmodulation) 

= Messfrequenz (niederfrequente Modulationswelle) 

z.B.: Frequenz 30 MHz (Mega: 10 6 ) 

⇒ Wellenlänge 

300. 000. 000(m/ 

sec) 

λ= = 10m 

/ Schwingung 

30. 000. 000( 

Schwingungen / sec) 

1 

s = ∗ ( n ∗ λ + R ) 

2 

R = Reststück, genaue Messung durch Phasenmessgerät 

n = unbekannte Anzahl von ganzen Schwingungen, 

durch Messung/Bestimmung: 

Senken der Modulationsfrequenz in dekadischen Frequenzschritten 

⇒ aufmodulierte Welle wird immer länger: 

λ1 = 10 m , λ2 = 100 m , λ3 = 1.000 m , λ4 = 10.000 m 

⇒ Gesamtentfernung: 

λ Ablesung 

R 

10.000 826 

1.000 261 

100 61,3 

10 1,35 

2 s = 8261,35 

Reichweite : 10 km 

(auch größere Entfernungen mit Schätzung der 10er-km) 


Seite 3-24


3.5 Trigonometrische Höhenbestimmung 

= indirekte Messung von Höhenunterschieden! 

(dagegen: direkte Messung mit Nivellieren bei eingeschränktem ∆h von 3-4 m) 

3.5.1 Prinzip 

Theodolit mit Aufsatz/ 

Totalstation 

A 

z 

s´ 

s 

Reflektor/Prisma 

z 

∆ h 

Abb. 3.5.1 Prinzip der Trigonometrischen Höhenmessung 

s 

sin z = 

s' 

h 

cos z = 

s' 

∆ 

⇒ 

⇒ 


s′ = s ∗ 

1 

sin 

∆ h = s′ ∗ cos z 

⇓ 

z 

∆ h = s ∗ 

z 

cos 

sin 

∆hAB = ∆h + i - t 

z 

HB = HA + i + ∆h – t 

Seite 3-25 

(über Schrägentfernung) 

= s ∗ cot z 

(über Horizontalentfernung) 

B 

i 

t 

∆ h A 

H 

B 

B 

H A


3.5.2 Anwendung der Trigonometrischen Höhenbestimmung auf kurze Entfernungen 

gegeben : 

gesucht : 

Problem : 

NN-Höhe von A 

(Punkt A) 

NN-Höhe von T 

(Turm) 

h = sT ∗ cot zT 

sT muss indirekt 

bestimmt 

werden 

(sT´ kann nicht 

beobachtet 

werden ...) 


Instrumentenhorizont 

i 

A 

z T 

s 

T 

s´ 

T 

Projektion der Turmspitze 

im Gebäudeinnern 

Abb. 3.5.2 Anwendung auf kurze Entfernungen 

Seite 3-26 

h 

HA


a) Turmhöhenbestimmung mit horizontalem Hilfsdreieck 

A 

b 

α 

B 

β 

s 

T 

1. Hilfsbasis b in der Nähe des Turmes 

2. Beobachtung von α in A und β in B , b 

3. Sinussatz : 

( + ) 

sin α β sin β 

= 

b s T 

T 

Abb. 3.5.3 

Horizontales Hilfsdreieck 

(Grundriss / Draufsicht) 

⇒ sT � 

4. ggf. zweite Basis in einem 2. Hilfsdreieck (Kontrolle) 

5. HT = HA + i + h 

direkt : HA + i ist gegeben 


indirekt : Instrumentenhorizont = HC + Ablesung 

(Übertrag von nahe gelegenem Höhenbolzen 

mit aufgestellter Nivellierlatte) 

Seite 3-27


b) Turmhöhenbestimmung mit vertikalem Hilfsdreieck 

P 

2 

i 

2 

s 

s 1 2 

2 

1 = 

~ 2 Turmhöhen 

Abb. 3.5.4 Vertikale Hilfsdreiecke 

1. Auswahl von 2 Hilfspunkten 

P 1 

i 

1 

s T 

1 

z 1 

z 2 


2 


1 

2. Messen der horizontalen Strecke zwischen den Hilfspunkten 

3. Bestimmung der Instrumentenhorizonte I1 und I2 

4. Beobachten der Zenitwinkel in den Hilfspunkten 

5. 2 Bestimmungsgleichungen für die unbekannte Strecke s1 T : 

2 ( ) 

T T 

H = I + s ∗ cot z = I + s + s ∗ cot z 

T 

T 

1 

⇒ s = 


⇓ 

1 1 1 2 1 

2 

I − I + s ∗ cot z 

2 1 1 

cot z − cot z 

1 2 

2 

1 2 

HT � über P2 ; P1 als Kontrolle ; z2 ≈ 80 gon , z1 ≈ 50 gon 

Seite 3-28


3.5.3 Anwendung der Trigonometrischen Höhenbestimmung für große Entfernungen 

3.5.3.1 Einfluss der Erdkrümmung 

Sehnentangentenwinkel 

γ / 2 


A 

Tangente 

γ 

B 

B´ 

A ' 

c 1 

R 

Abb. 3.5.5 Einfluss der Erdkrümmung 

mit 

B γ 

1 A 2 

c = s ∗ 

B 

γ 

2 = 

1 

B’ 

Sehne sA ≈ bA 

B ( s A ) 

s A 

⇒ c = 

2∗R2 ∗ 

R 

⇒ ∆H ist um c1 zu klein ! 

Seite 3-29 

2 

Bezugsebene bei Vernachlässigung 

der Erdkrümmung 

Sinussatz im oberen Dreieck 

: 

c1s A 

= 

sin 2 sin 

2 

14 2 43 

B 

( 100 − ) 

γ γ 

γ 

= 200−100− 2 

im unteren, rechtwinkligen 

Dreieck : 

sin γ 

2 

= 

s 

B 

A 

2 ∗ R 

⇓ 

Vereinfachung für γ 

2 

( ) 

γ γ 

2 2 

klein : 

sin 100 − = cos ≈ 1 

sin 

≈ 

γ γ 

2 2 

⇓ 

(2) , (3) eingesetzt in (1) 

Abschätzung der Größenordnung, um die der Höhenunterschied zu klein ausfällt : 

B’ 

Zielweite [km] 

1 

5 

10 

c1 [cm] 

7,8 

196 

785 

(1) 

(2) 

(3)

3.5.3.2 Einfluss der Refraktion 

A 


R 


B 

c 2 

r = 8 R 

Abb. 3.5.6 Einfluss der Refraktion 

∆H um c2 zu groß ! 

Seite 3-30 

Brechung hin zum dichteren 

Medium ! 

analog : 

c 

2 

= 

B ( s A ) 

2 

∗ 

mit k 

= k ∗ 

r 

= 

2 

R r 

⎯ ⎯⎯⎯→ 

B ( s A ) 

2 

∗ 

R 

(Refraktionskoeffizient k = 

R/r ≈ 0,13) 

⇓ 

ca. 1/8 der Auswirkung der 

Erdkrümmung 

⇒ Verminderung der Wir- 

kung der Erdkrümmung um 

ca. 1/8 ... 

2


Charakterisierung des Refraktionskoeffizienten 

abhängig von : 

• Luftdichte ⇒ • Luftdruck 

• Lufttemperatur 

• Luftfeuchtigkeit 

beeinflusst von : 

• bodennahe 

Ausstrahlung 

→ offene Wasserflächen 

→ Wälder 

→ Industriegelände 

• regionalen und zeitlichen Schwankungen 

innerhalb eines Tages: 

kleinste Schwankungen mittags 

→ Zenitwinkelbeobachtungen in den Mittagsstunden! 

3.5.3.3 Höhenunterschied aus einseitig beobachteten Zenitwinkeln 

∆H mit Berücksichtigung von Erdkrümmung und Refraktion 

⇓ ⇓ 

um c1 zu klein um c2 zu groß 

∆ H = H − H = s ∗ cot z + c − c + i − t 

2 1 1 2 

⇓ 

( ) 

∆ H = s ∗ cot z + 1 − k ∗ 


2 

s 

2 ∗ R 

Seite 3-31 

+ i − t 

s = Horizontalstrecke 

c1 

= 

2 

s 

2 ∗ R 

2 

s 

c2= k ∗ 

2 ∗ R 

k ≈ 0,13 

R ≈ 6370 km

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