Engineering Mathematics 微積分複習

Calculus for Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 導 數 的 定 義
1. 導 數 的 定 義 :
f ( x + ∆x)
−
f ′( x)
= lim0 ∆x→
∆x
f '( x)
為 f ( x)
之 一 階 導 數
若 f
( x)
為 函 數 之 曲 線 , 則 f
f ( x)
'( x)
為 此 曲 線 之 斜 率
例 如 : 速 度 v(t) 為 位 移 r(t) 之 一 次 微 分 , 加 速 度 a(t) 為 位 移
之 二 次 微 分
v
a
r
=
=
=
r
d r
dt
d v
dt
( t )
=
d
dt
2
r
2
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 1

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 基 本 微 分 公 式
2. 基 本 微 分 公 式
a. 設 n 為 正 整 數 , 則
dx
dx
n
=
nx
n−1
b. 若 c 為 一 常 數 , 則
dc
dx
= 0
d x
dx
1
=
n
n*
x
n
c. 若 n 為 正 整 數 , 則 或
n−1
1
n
dx
dx
1 1
1
n
= * x
−
n
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 2

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 微 分 公 式 四 則 運 算
3. 微 分 公 式 四 則 運 算 :
a.
y(
x)
= u(
x)
± v(
x)
⇒ y′
( x)
= u′
( x)
± v′
( x)
b.
y(
x)
= c*
u(
x)
⇒ y′
( x)
= c*
u′
( x)
c.
y(
x)
= u(
x)
v(
x)
⇒ y′
( x)
= u′
( x)
v(
x)
+ u(
x)
v′
( x)
d.
u(
x)
y(
x)
= ⇒ y′
( x)
=
v(
x)
v(
x)*
u'(
x)
− u(
x)*
v'(
x)
( v(
x))
2
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 3

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 微 分 公 式
Sample:
1. 設
f ′(
x)
= x
f ′(
x)
=
f ( x)
= x
1
2
2
2. 設 f ( x)
=
(
2
(2x
2
* (2x
3
x
x
1
)
2
3
3
1
−
2
−1)
2
3
1
−
3
x + 1
, 則
x + 2
+
+
−1)
, 則
*6x
2
f ′(
x)
f ′(
x)
+ 2x(2x
( x + 2)*1−
( x + 1)*1
*
=
2
( x + 2)
3
−1)
2
3
2
4
8x
− 2x
=
3 3
2x
−1
1
( x + 1)( x + 2)
3
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 4

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 初 等 函 數 微 分 公 式
4. 初 等 函 數 的 導 數 公 式
a.
(
x x
e = e
)′
b.
c.
d.
(ln x )′
=
(tan x)
′ = sec
1
( 證 明 見 下 一 頁 )
x
1
(log
a
x)
′ =
x ln a
x x
( a )′
= a ln a
(sin x)
′ = cos x (cos x)
′ = −sin
x
2
x
(cot x)
′ = − csc
(sec x)
′ = sec x* tan x (csc x)
′ = − csc x*cot
x
2
x
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 5

1
證 明 (ln x)'
=
x
令 y = ln x 等 號 兩 側 同 時 取
e
e
d
dx
d
dy
e
y
y
y
dy
dx
=
=
e
e
y
e
y
x
ln x
;
則
d
= x ;
dx
dy d
⋅ =
dx dx
dy
⋅ = 1;
dx
1
= ; 又
y
e
∴ 最 後 可 得
等 號 兩 側 同 時 對
將
y
d
dx
依 Chain
x ;
e
ln
y
微 分
rule 可 寫 成
此 式 簡 化 後 可 得
移 至 等 號 另 一 側
= ln x ; 而 e
x
=
1
x
y
x
=
x
e
故 得 證
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 6

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 初 等 函 數 微 分 公 式
Sample:
a. 求 出 下 列 導 函 數
1.
2.
f ( x)
=
x ln x
1
f ′( x)
= 1*ln x + x * = ln x + 1
x
f ( x)
= sin( x + 1)
d
f ′( x)
= cos( x + 1)* ( x + 1) = cos( x + 1)*1 = cos( x + 1)
dx
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 7

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 連 鎖 規 則
5. Chain rule
連 鎖 規 則 觀 念 :
z =
f
(
x, y )
∂z
∂z
dz = ( ) dx + ( ) dy
∂x
∂y
∂z
=
∂t
∂z
∂x
⋅
∂x
∂t
∂z
∂y
+ ⋅
∂y
∂t
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 8

2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 9
Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 連 鎖 規 則
Sample:
2)
36
(13
1)
4)(2
(
2
4)*2
*2(
1)
(2
*6
1)
*3(2
4)
(
4)
(
4)*
*2(
1)
(2
1)
(2
*
1)
*3(2
4)
(
4)
(
*
1)
(2
1)
(2
*
4)
(
:
,
1)
(2
4)
(
3
2
3
2
2
3
3
2
2
3
2
2
2
2
3
3
3
2
3
2
2
2
2
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
−
+
−
+
=
+
−
+
−
+
=
+
+
−
+
−
−
+
=
+
−
+
−
+
=
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
d
x
x
x
dx
d
x
x
x
dx
d
x
x
dx
d
x
dx
dy
sol
x
x
y

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 偏 導 數
6. Partial derivative
偏 導 數 定 義 : 推 論
=
lim0 ∆x→
f
x
+ ∆x,
y ) −
0
∆x
f ( x , y )
(
0
0 0
f ( x,
y)
x 0
, y )
(
0
存 在 時 , 稱 在 對 x 可 偏 微 分
稱 此 極 限 值 為 偏 導 數 , 記 為
fx(
x
0
, y
0
∂f
) =
∂x(
x , y
若 對 y 可 偏 微 , 同 理 可 證
0
0
)
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 10

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 偏 導 數
Sample:
2
z = f ( x, y ) = xy +
e
xy
∂z
∂x
=
∂f
∂x
=
y
2
+
e
xy
⋅
y
∂z
∂y
=
∂f
∂y
=
2xy
+
e
xy ⋅
x
p.s : 在 做 偏 導 數 時 , 可 將 另 一 變 數 視 為 " 常 數 "
∂z
如 : =
∂x
∂f
=
∂x
y
2
+ e
xy ⋅
y, 則 將 y 視 為 常 數 , 而 對 x 微 分
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 11

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 初 等 函 數 之 積 分 運 算
2. 對 數 與 指 數 積 分
a.
b.
∫
n 1
y dy = y
( n + 1)
x 1
∫ a dx = * a
ln a
n+
1
x
+ c
+ c
d
dx
( x
n+
1
) = ( n + 1) x
n
c.
dy
∫ = ln y + c
y
d (ln x)
= 1
dy
y a c
dx x ∫ = ln( − ) +
( y − a)
d
dx
(ln( x − b))
=
1
x − b
d.
∫
e
u
du
= e
u
+
c
d
du
( e
au
) = ae
au
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 12

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 初 等 函 數 之 積 分 運 算
證 明 :
x 1 x
( )′ = * a *ln a = a ∫ a dx = * a + c
ln a ln a
ln a
x
b. 因 為 a 1 x
x 所 以
1
c. 因 為 x
所 以 dy
(ln )′ =
x
∫ = ln y + c
y
d. 因 為
au au
所 以
u
u
( e )′ = ae
e du = e + c
∫
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 13

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 初 等 函 數 之 積 分 運 算
Sample:
1.
4
∫ x x (1 + ln x)
dx
∫
x
4 x
*(1 + ln
x)
dx
=
1
4
∫
x
4 x
*4(1 + ln
x)
dx
=
1
4
* x
4 x
+ c
2.
∫
e
−
x
dx
− x
− x
∫ e dx = −∫
e d(
−x)
= −e
− x
+ c
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 14

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 初 等 函 數 之 積 分 運 算
3. 三 角 函 數 之 積 分
a.
∫
dy
d
−1
−1
1
= tan y + c (tan x)
=
2 2
( y + 1)
dx ( x + 1)
b.
∫ cos udu = sin u + c
∫ sin udu = − cos u + c
∫ sec 2 udu = tan u + c
∫ csc 2 udu = − cot u + c
d
du
d
du
(sin u)
= cosu
(cosu)
= −sinu
d 2
(tan u)
= sec
du
d 2
(cot u)
= − csc
du
u
u
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 15

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 初 等 函 數 之 積 分 運 算
c.
∫ tan xdx = −ln cos x + c
∫
∫
∫
cot xdx = ln sin x + c
sec xdx = ln sec x + tan x + c
csc xdx = ln csc x − cot x + c
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 16

Engineering Mathematics
微 積 分 複 習 - 分 部 積 分
4.Integration by parts
分 部 積 分 公 式 推 導 :
d ( uv )
=
udv
+
vdu
uv
=
∫
udv
+
∫
vdu
∫
udv
=
uv
−
∫
vdu
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 17

求
2
du
e
u
du
e
e
sin
e
e
e
e
令 u =
∴
∫
∴
∴
∴
∫
x
∫
∫
∫
∫
∫
=
=
=
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
sin
x
x
sin
sin
sin
x
x
,
sin
,
dx
dx
,
xdx
,
xdx
xdx = −e
xdx = −e
xdx
dv
xdx
dv
=
=
v
cos xdx =
=
e
=
e
1
2
sin
v = −cos
x
∫
x
=
x
udv
cos x +
sin
x
sin
x
cos x + e
sin
sin
(sin x − cos x)
e
x
xdx
= cos xdx
= uv −
x
x −
∫
∫
e
∫
vdu
cos xdx
x ⋅e
(sin x − cos x)
x
x
=
x
dx
x −
e
x
∫
⋅(
−cos
x)
−
2005/10/7 Engineering Mathematics calculus 18
e
再 對
x
sin
∫
e
x
xdx
∫
d ( uv)
uv
( − cos x)
⋅e
dx
cos xdx作 分 部 積 分
∫
=
移 項 並 整 理 後 可 得
x
∫
= udv + vdu
udv +
udv = uv −
∫
∫
vdu
vdu