Diploma report Implementation and verification of a simple ... - LPAS

Contents
1 Introduction 4
2 Formulation 4
2.1 Continuous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Hyperbolic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Derivation of Euler equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Implementation 8
3.1 Finite volume discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Stability and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Numerical fluxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1 Flux Averaging Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2 Central Difference Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.3 Lax-Friedrichs Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.4 Richtmeyer Two-Step Lax-Wendroff Method . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Time integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.1 Forward Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.2 Leapfrog Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.3 Third-order Runge-Kutta Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Dimensional splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6.1 Gas dynamics (c = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6.2 Unstratified atmosphere (g = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6.3 Stratified atmosphere (N = const) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.7 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7.1 Periodic boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7.2 Solid wall boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7.3 Solid wall with hydrostatic pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7.4 Solid wall with background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7.5 Prolongation of hydrostatic balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.8 Damping terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.8.1 Time filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.8.2 Spatial filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Results 23
4.1 Comparison of different methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Hydrostatic balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Sound waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Buoyant bubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Conclusion 38
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