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清华大学 

综合论文训练 

题目 : 利用随机二值纯相位调制 

重构复杂光场波前 

系 

专 

姓 

别 : 精密仪器与机械学系 

业 : 测控技术与仪器 

名 : 徐宁汉 

指导教师 : 谭峭峰副教授 

2009 年 6 月 10 日 

1

中文摘要 

波前重构在自适应光学、X 射线成像、衍射光学、光学加工检测及激光光束 

质量检测等诸多领域中 , 有着重要的应用价值。研究波前重构方法 , 提高波前重 

构精度 , 拓展可重构的波前光场分布 , 具有重要的理论意义和实用价值。波前重 

构有多种方法 , 相位恢复算法为其中一种。传统的数值算法 ( 如 GS 算法 ,HIO 算 

法 ), 一般仅利用输入、输出两个面上的光强信息 , 对输入面的光场进行重构。 

该类算法通常存在收敛不稳定、收敛速度慢等缺点 , 仅能处理缓变波前 , 难以恢 

复较为复杂光场 ( 如强激光输出光束 ) 的波前。 

本文在文献调研的基础上 , 开展了波前重构数值算法的研究 , 利用输入面上 

的随机二值纯相位调制的方法 , 在菲涅耳衍射区获得多个输出面强度信息 , 在不 

需要输入面强度信息的基础上 , 利用 GS 迭代算法的思想成功重构了复杂光场的 

波前。文中详细介绍并验证了算法的原理和流程 , 讨论了输出面光强信息和相位 

板相位分布对收敛速度和重构精度的影响 , 与此同时分析了该算法能成功恢复的 

相位幅度。 

夫郎禾费衍射较之菲涅耳衍射 , 在探测器面积不变的情形下 , 能够重构的波前面 

积增大 , 因此本文将上述算法推广到夫郎禾费衍射区 , 并高精度地重构了复杂光 

场波前 , 讨论了其与菲涅耳衍射区不同的特点和各自的适用范围。 

关键词 : 波前重构 ; 相位调制 ; 复杂光场 ; 迭代算法 ; 

I

ABSTRACT 

Wave-front reconstruction is quite meaningful and has attracted much attention, 

because the technology is widely used in many domains, such as adaptive optics, 

detection of laser quality, precise measurement of optical surface, X-ray imaging, 

microscope imaging and so on. Phase retrieval algorithm is one of methods to 

reconstruct wave-front. Typically the traditional phase retrieval algorithms such as GS 

algorithm and HIO algorithm only use intensity information in two planes (input plane 

and output plane) to retrieve the phase in the input plane. However, such algorithms 

are always accompanied with problems of convergence stagnation and convergence 

uncertainty, which cannot work well when the wave-front is complex. 

Based on GS algorithm this paper focuses on the iterative numerical algorithms of 

wave-front reconstruction for complex optical field. Without prior intensity 

information in input plane, the method using random binary phase modulation is 

adopted to reconstruct the wave-front. Three or more diffraction patterns in Fresnel 

region with different random binary phase masks are used to successfully retrieve the 

complex wave-front. The influence introduced by the number of the diffraction 

patterns with different phase masks and the phase distribution is studied. 

Furthermore the retrievable phase depth is discussed in detail. 

Comparing with Fresnel diffraction patterns, using Fraunhofer diffraction patterns 

could reconstruct larger area of the wave-front when the detector is fixed. Therefore 

the algorithm used in Fresnel diffraction region is extended into Fraunhofer diffraction 

region, and the complex wave-front is also retrieved. The differences of the 

algorithms used in Fresnel or Fraunhofer diffraction regions are finally discussed. 

Keywords : wave-front reconstruction; phase modulation; complex light field; 

Gerchberg-Saxton algorithm. 

II

目录 

第 1 章引言 ...........................................................................................1 

1.1 光波波前重构简介 ............................................................................1 

1.2 光波波前重构所涉及应用领域 ..........................................................1 

1.3 光波波前重构研究现状 .....................................................................2 

1.3.1 直接测量法 ...................................................................................3 

1.3.2 Hartman-Shack 波前探测法 ............................................................3 

1.3.3 剪切干涉法 ...................................................................................4 

1.3.4 数值算法 .......................................................................................5 

1.4 本论文主要研究内容 .........................................................................7 

第 2 章基于菲涅耳衍射面光强信息的纯相位调制恢复方法 ................9 

2.1 GS 算法介绍 .......................................................................................9 

2.2 菲涅耳衍射场的计算 .......................................................................10 

2.3 算法原理及流程 ..............................................................................12 

2.4 数值模拟分析 ..................................................................................14 

2.4.1 重构结果 .....................................................................................15 

2.4.2 波前成功重构的相位幅度和恢复精度 ........................................19 

2.4.3 测量输出面强度次数 M 对重构结果的影响 ...............................20 

2.4.4 相位板分布对重构结果的影响 ...................................................23 

2.5 本章小结 .........................................................................................24 

第 3 章基于夫郎禾费衍射面光强信息的纯相位调制恢复方法 ..........26 

3.1 算法原理及流程 ..............................................................................26 

3.2 数值模拟分析 ..................................................................................26 

3.2.1 重构结果 .....................................................................................26 

3.2.2 波前成功重构的相位幅度和恢复精度 ........................................30 

3.2.3 M、N 对重构的影响 ....................................................................31 

3.3 与基于菲涅耳衍射区光场恢复的对比分析 .....................................32 

III

3.3.1 低频信号恢复对比分析 ..............................................................32 

3.3.2 高频信号恢复对比分析 ..............................................................34 

3.4 本章小结 .........................................................................................35 

第 4 章结论与展望 ..............................................................................36 

参考文献 ...................................................................................................38 

致谢 .........................................................................................................42 

声明 .........................................................................................................43 

附录 A 外文资料的调研阅读报告 ............................................................44 

IV

第 1 章引言 

在天文、X 射线成像、衍射光学、强激光光束传输与控制、全息成像以及光 

学加工检测等诸多领域中 , 经常会涉及到光波波前重构的问题。其中光场的光强 

分布信息可以利用光电探测器直接测量得到 , 相位分布信息由于光的频率极高 , 

无法直接获取。所以重构问题归根到底是相位恢复问题 , 这也是一个典型的逆问 

题 , 绝大多数情况下无法解析求解。因而 , 研究有效的数值算法 , 提高恢复精度 , 

拓展可恢复的光场分布 , 具有重要的理论意义和实用价值。 

1.1 光波波前重构简介 

光波重构 , 即光波方程的问题 [1] 。如图 1.1 所示 , 输入面和输出面是光场传 

输过程中的两个垂轴截面。输入面和输出面上的光强分布信息均可利用光电探测 

器测量得到 , 而其对应的相位分布信息却无法直接获得 ( 光的频率极高 , 光电传感 

器件的响应速度无法跟上 ) [1] 。显然 , 借助于光场垂轴面上的强度信息来进行相位 

恢复 , 从而进行重构 , 有其优越性。 

输入面 

输出面 

图 1.1 波前重构示意图 

1.2 光波波前重构所涉及应用领域 

在天文、X 射线成像、衍射光学、强激光光束传输与控制、生物全息、光束 

整形以及光学加工检测等诸多领域中 , 经常会涉及到重构问题。 

1

在天文领域中常采用自适应光学系统来提高天文观测的性能 [1] 。从遥远星空 

中发出的光线进入地球大气层时 , 各种类型的大气扰动 ( 如大气湍流 ) 会引起光束 

的波前发生动态波动 , 导致光斑模糊 , 同时 , 由于受天气温度等影响 , 镜面形状 

和安装位置产生一定偏移 , 也会导致成像质量降低 , 从而影响到天文观测效果。 

为了提高天文观测的成像质量及其分辨率 , 必须有效地消除波前畸变 , 这其中就 

要用到波前重构技术。例如 , 美国研制的 Hubble 天文望远镜采用了重构技术来改 

善天文成像质量 , 美国航空航天局 (NASA) 计划中的下一代天文望远镜 “James 

Webb 天文望远镜 ” 以及 “ 类地行星探测器 ”(Terrestrial Planet Finder), 均需利用 

重构技术来完成主镜的装调 [1] 。 

波前重构系统还被用到强激光的传输与控制领域。1985 年 , 中国科学家姜文 

汉领导的课题组将其研制成功 “19 单元高频振动波前校正系统 ”, 用于上海 “ 神 

光 I” 激光核变装置中 , 校正这一庞大的激光系统中的静态波前误差 , 校正后激 

光能量提高三倍 , 聚焦光斑接近衍射极限 , 开创了世界上在激光核聚变装置中成 

功使用自适应光学技术改善光束质量的先例 [1] 。 

在 X 射线成像领域 , 尤其是 X 射线相衬成像方面 , 重构技术起着非常关键的 

作用 [1] 。基于 X 射线的吸收效应进行检测时 , 对以轻元素为主的生物软组织 ( 比如 

早期肿瘤、不加造影剂的血管、昆虫 )、高分子材料 ( 多孔塑料、复合材料中的碳 

纤维、高聚物中的相分离界面 ) 或由吸收系数相近的若干组元构成的样品 , 只能得 

到衬度很差的图像 , 极大地限制了应用。而采用相衬成像技术 , 则在吸收衬度很 

难探测的情况仍可能观察到轻元素清晰的相位衬度 [1] , 此时重构技术起到关键作 

用。 

其它许多问题 , 诸如激光光束质量诊断、光学元件面形检测、光束整形等也 

都可以在一定程度上归结为重构问题。此处不再累述。 

1.3 光波波前重构研究现状 

目前已有的相位恢复方法和手段 , 大致上可以归为以下几类 [1] : 

(1). 直接测量法 , 如干涉仪测量法 ; 

(2). 通过测量波前的平均斜率或曲率 , 重构出相位分布 , 如 Hartman-Shack 波 

前探测法 ; 

(3). 剪切干涉法 ; 

(4). 基于若干个面上强度信息的多种数值算法。 

2

下面分别简单介绍这四种方法 : 

1.3.1 直接测量法 

直接测量法是采用干涉的方法 , 得到被测相位分布的直接反映 , 从而直接测 

量待测波前 , 较为的形象直观。其中常用到的干涉仪有斐索 (Fizeau) 干涉仪、泰曼 

(Tyman-Green) 干涉仪、马赫 - 曾德 (Mach-Zehnder) 干涉仪。不过 , 用干涉仪测量相 

位时 , 需要提供一束与被测光束相干的平面光 , 而该条件在很多实际场合中往往 

难以满足。 

图 1.2 干涉法直接测量相位分布 

1.3.2 Hartman-Shack 波前探测法 

Hartman-Shack 方法的基本原理图如图 1.3 所示 [2] , 先采用微透镜阵列或者其 

它手段对待测波面进行子孔径分割 , 然后探测光束通过各子孔径后在传感器阵列 

上的对应的光强分布图像 , 并提取出传感器阵列上各单元的光强质心。当待测波 

面为理想平面波 , 且光路系统的误差可忽略时 , 光强质心应该恰好位于传感器单 

元的中心 ; 而当待测波面存在一定的畸变时 , 光强质心所处位置将会有相应的改 

变。可以说 , 光强质心相对于单元中心的偏移量大小和方向 , 分别表征了相对应 

的子孔径内波前畸变的平均斜率大小及方向。显而易见 , 根据求得的波前平均斜 

率可以重构出整个波面的相位分布。但是 ,“ 平均斜率 ” 意味着相位恢复的空间 

分辨率最终会受到子孔径大小的制约 , 即从理论上来说 , 运用 Hartman-Shack 方 

法重构出的相位分布 , 不可能有效分辨出比子孔径尺度更小的相位分布细节特 

征。若想提高相位恢复的空间分辨率 , 必须进一步减小子孔径的尺寸大小 , 而这 

又必将导致器件加工难度和成本的增加。综上所述 ,Hartman-Shack 方法更适宜 

于探测具有空间缓变特征的波前。 

3

(a) 测量原理图 

(b) 探测器阵列上的图像 

图 1.3 Hartman-Shack 测量法原理 

1.3.3 剪切干涉法 

剪切干涉法亦是测量光场相位的基本方法之一。通常采用光学平板对光束进 

行分束 ( 可能还要对光束实施平移、放大 / 缩小、旋转等变换 ), 并让彼此错开一定 

位置的两个波面相互干涉叠加。根据干涉条纹形状 , 可以分析出待测波面的相位 

分布。下面以横向剪切干涉干涉仪的工作光路为例 , 来说明剪切干涉的基本原理 

[3] : 

如图 1.4 所示 , 激光束被聚光镜 1 会聚到空间滤波器 2 上 ( 滤波器置于被测物 

镜 3 的前焦点上 ), 从物镜出射的波面在一有微量楔角的平板 4 前后表面分别发生 

反射 , 形成两个彼此横向错开 ( 剪切 ) 的波面 , 在两波面重迭处形成干涉条纹。若 

剪切干涉中的平均光强和调制光强分别记为 I 0 (x,y) 和 I 1 (x,y),d 为剪切过程中产 

生的两束光之间的光程差 ,ΔW(x,y) 为被测物镜在光束重叠部分引入的波前差 , 则 

重叠区内光强分布为 [4] : 

2 π[ Δ W( x, y) + d] 

I( x, y) = I0( x, y) + I1( x, y)cos( ) 

(1-1) 

λ 

式中 λ 表示光束的波长。通过判读两波面重叠处形成的干涉条纹 , 可评价被测物 

镜的传递函数。 

为了得到恢复出待测波面的二维相位分布 , 需同时沿两个正交方向进行剪切 

干涉 , 为了保证等效剪切面的一致性 , 对光路调整精度的要求较高 [5] 。在使用循 

环径向剪切法时 , 一般都做了在剪切干涉叠加范围内 , 参考波面的光强满足均匀 

4

分布的假设 , 实际上 , 如此理想的参考波面是很难得到的。因此 , 循环径向剪切 

干涉法更加适用于待测波面具有缓变光强分布的情形。 

图 1.4 剪切干涉原理图 

1.3.4 数值算法 

由于实际可获取到的信息 , 只能是被探测面上光强分布的离散采样值 , 加之 

待恢复光场的复振幅分布具有未知的形式 , 使得相位恢复问题不可能具有解析的 

求解方法 [1] 。正因为如此 , 相位恢复数值算法的研究才显得尤为必要。 

按照算法本身是否具有迭代特征 , 可将相位恢复的数值方法划分为迭代算法 

和非迭代算法两类。其中迭代算法最常见的有 ,GS(Gerchberg-Saxton) 算法 [6] 、最 

速下降法、共轭梯度法等 [7,8] , 此外 , 还可使用一些搜索算法 , 如遗传算法、人工 

神经网络、模拟退火等 

[9,10] ; 非迭代算法有如 TIE(Transport of Intensity Equation) 

[11~14] 

算法、Phase Space Tomography [15~19] 、Phase Diversity [20~22] 算法等。 

一般而言 , 非迭代算法常常做近似计算 , 计算量相对较小 , 执行效率较高 , 

但考虑到相位恢复问题的病态性以及采样信号的噪声干扰等因素 , 非迭代算法往 

[1] 

往面临着恢复精度不高、抗噪性能较差等问题 ; 相比之下 , 迭代算法虽然计算 

量相对较大 , 但能够尽可能地融合已知信息 ( 如输入面对应的一些约束条件 ), 有 

望获得更高的恢复精度。通常情况下 , 迭代算法的最终结果或多或少地会受到所 

选初始值的影响 , 因此就一定意义上而言 , 收敛稳定性成为评价迭代算法性能优 

劣最为重要的指标之一。随后 , 有人提出将非迭代算法与迭代算法结合起来可能 

5

更具优势 , 文献 [11,12] 就提出先采用非迭代算法得到待恢复复振幅分布的粗糙 

解 , 再运用迭代算法对其进行后续优化的方法 , 取得了一定成效。 

值得一提的是 , 早期的 GS 算法一般只用到两个面上的光场强度分布信息 , 

且一般指的是满足傅立叶变换关系的一对输入面、输出面 , 后有人将 GS 算法推 

广到菲涅尔衍射变换情形 [24~26] 。但在相应的数值模拟实验中发现 : 仅基于两个面 

上信息 , 采用 GS 算法进行相位恢复时 , 常常存在收敛不稳定、收敛速度慢、抗 

噪性能差等缺点 [11,26~30] 。在不考虑噪声的情况下 , 出现收敛不稳定即非正确收敛 

的现象 , 主要跟相位解空间的结构比较复杂有关。非正确收敛现象大致可分为两 

类情形 [1] : 一是 , 迭代陷入局部极小值 ; 二是 , 迭代问题本身可能对应有多个极 

小值点 , 即产生 “ 伪解 ”, 它跟真值有本质上的差异。不难理解 , 在仅利用一两 

个面进行相位恢复时 , 由于信息量不足 , 第二种情形是难以从根本上避免的。 

鉴于此 , 一些文献提出利用了更多数目的面 ( 即所用面数 ≥ 3) 来进行相位恢复 

的算法 , 使算法收敛性能得到了一定改善 [11,12,26,27] 。这部分缺乏定量的理论支持 , 

下面进行简单的定性分析 [1] : 运用多个面进行相位恢复时 , 可以获得更为充分的 

输出光场信息 , 则此时所对应的解空间 , 相当于是对一系列用两个面所对应的解 

空间取交集 , 从而压缩了解的空间 , 增强了算法的收敛稳定性。因此 , 在实际条 

件允许的情况下 , 不妨选择利用更多的面进行重构。当然 , 考虑到实际情况 ( 如系 

统复杂度、处理效率的要求、待恢复光场的特点 ), 所用面的数目也不是越多越好 , 

而应该视具体情况而定。 

另外 , 在有些实际情况中 , 输入面上的振幅分布往往无法直接测得 ; 甚至在 

某些特定场合 , 连光路的入瞳形状都只能初略加以估计 , 此时输入面上可用的信 

息很少 , 进一步增加了相位恢复的难度 [1] 。因此 , 非常有必要设计出不依赖于输 

入面上信息的相位恢复算法。J.R.Fienup 等人在这方面开展了大量的研究工作 , 

取得了一些成果 [30~33] 。他领导的研究小组于 2006 年 1 月在 Optics Express 杂志上 

发表文章指出 [34] , 通过采用共轭梯度方法 , 可根据三个离焦面上的强度信息 , 恢 

复出输入面上的复振幅分布。他们的模拟实验结果表明 , 该算法具有良好的收敛 

稳定性 , 并几乎不依赖于有关输入面上信息的先验知识。 

通过多个输出面的强度信息 , 从而增加采样点 , 可以达到压缩解空间的目的 ; 

同样 , 换一个角度 , 减少输入面的光强信息 , 即减少输入面采样点 , 相当于增加 

了输出面的采样点 , 同样有压缩解空间的作用。清华大学谭峭峰于 2008 年 6 月 

在 Applied Optics 杂志上发表的文章中就提到 [35] , 通过 0,1( 分别代表不透光、透 

光 ) 二值分布的随机振幅掩膜板进行振幅调制 , 在不需要输入面信息的情况下 , 仅 

6

通过输出面光强信息 , 用 GS 算法成功恢复了输入光场。这种方法的特点是通过 

0,1 分布的掩膜板阻挡部分输入光场强度信息 , 从而减少输入面的采样点数目 , 

即减少了待恢复的信息量 , 使得只用一个输出面光强信息就能成功恢复波前。文 

献中提到要用至少 4 块掩膜板 , 即将输入面采样点数目减少至原来的 1/4, 才能 

成功恢复出输入光场波前。 

除振幅调制之外 , 在文献 [36] 中 ,Fucai Zhang 提出了一种纯相位调制的算法 , 

其基本思想依旧是通过多个强度信息来进行原始波前的恢复 , 与 Fienup 测量不同 

面的强度信息不同 , 它是采用平移一块具有随机分布的相位板的方式 , 达到多次 

随机相位调制的目的 , 从而多次测量单个面的强度信息 , 再利用一定的算法来进 

行重构。它也不用已知输入面的光场信息 , 仅知道多个输出面的强度信息 , 且算 

法具有良好的收敛稳定性 , 有较高的恢复精度 , 文献中提到最少需要 3 次测量强 

度信息 , 而随着次数的增加 , 收敛的速度更快 , 恢复的结果更好。这种方法优点 

在于系统简单 , 收敛速度较快 , 能够以较高精度重构复杂的光场波前 , 而缺点是 

相位板分布过于复杂 , 难以进行对实际情况的深入研究。故本文立足于此 , 致力 

于相位板的简化 , 使之由随机的均匀分布简化为 (0,π ) 二值分布而不影响重构精 

度。 

终上所述 , 现有的算法基本上是采用增加输出面光强信息或者减少输入面光 

强信息来实现解空间的压缩 , 从而恢复波前。但已有相位恢复数值算法所讨论的 

的情形大多比较简单 : 输入面光场的相位变化缓慢 , 或者相位变化的幅度范围较 

小 ; 且输入面的振幅分布一般也比较简单。而在实际情况中 , 输入面上的光场可 

能比较复杂 , 振幅分布及相位分布都具有一定的随机性。因此 , 对已有算法加以 

改进或提出新的算法 , 以应对复杂光场的相位恢复问题 , 是非常有必要的。另外 , 

相比其它类型的相位恢复方法而言 , 数值算法更偏重于软件实现 , 具有更多的设 

计自由度 [1] , 因此 , 也更宜于被用来解决复杂光场的相位恢复问题。 

1.4 本论文主要研究内容 

在 Fucai Zhang 提出的在菲涅耳区域利用相位板调制进行相位恢复的基础上 , 

简化相位板模型 , 直接采用 (0、π ) 二值随机分布的相位板进行相位调制 , 无需知 

道输入面的强度信息 , 仅通过多次 (2-4 次 ) 测量输出面的的光强信息 , 成功恢 

复了低频和高频随机相位信号 , 从而成功重构了复杂光场的光波波前 : 低频相位 

恢复幅度为 10λ , 高频相位恢复幅度为 0.3λ , 恢复相位精度均优于 0.001λ 。另外 

7

还分析了相位板相位分布、输出面强度信息量对结果的影响 , 另外将 Fucai Zhang 

的方法由菲涅耳衍射区推广到夫郎禾费衍射区 , 分析了两者不同的特点和各自的 

适用范围。 

论文内容安排如下 : 

第 1 章 , 介绍相位恢复问题的基本概念以及相位恢复问题所涉及的主要领域 , 

综述了目前存在的常见相位恢复方法 , 简要分析了各种方法的特点。 

第 2 章 , 由 Gerchberg 和 Saxton 提出的 GS 迭代算法 , 是最早出现的光场相 

位恢复迭代算法 , 确立了迭代相位恢复算法的基本框架。在本章第 1 节 , 对 GS 

算法的原理做了介绍 ; 第 2 节介绍了菲涅尔衍射场的计算方法 ; 然后介绍了基于 

菲涅尔衍射面光强信息的重构算法 , 并分析了算法的特点 , 同时通过二维情况下 

的数值模拟实验 , 验证了该算法的有效性和鲁棒性。给出了算法可恢复的相位变 

化幅度范围。 

第 3 章 , 将基于菲涅耳衍射面光强信息的纯相位调制方法推广到夫郎禾费衍 

射区 , 给出了模拟结果和可恢复的相位变化幅度范围 , 并分析了两者各自不同的 

特点。 

第 4 章 , 结论。总结全文 , 并对今后的研究工作提出一些建议。 

8

第 2 章基于菲涅耳衍射面光强信息的纯相位调制恢复方法 

2.1 GS 算法介绍 

GS 算法于 1972 年由 Gerchberg 和 Saxton 提出 [26] , 该算法是出现最早 

的光场相位恢复迭代数值算法 , 其目的是利用输入面及其焦面上的光强测量 

数据来恢复出输入面上的相位分布。 

设输入面上的复振幅分布为 : 

U1(x 1,y 1) = ρ1(x 1,y 1)exp[i φ1( x1, y1)] 

; (2-1) 

其中 ρ 

1(x1, 

y1) 

为振幅分布 , φ 

1( x1, 

y1) 

为相位分布 ; 

而输出面 , 即焦面上的复振幅分布则记为 : 

U2(x 2,y 2) = ρ2(x 2,y 2)exp[i φ2( x2, y2)] 

; (2-2) 

其中 ρ 

2( x2, y2) 

为振幅分布 , φ 

2 

( x2, 

y2 

) 为相位分布。 

在使用 GS 算法前 , 需要先选定待优化目标函数。该目标函数被用来作 

为判断算法是否收敛以及迭代过程是否可以终止的依据。可以近似认为 , 当 

计算出来的输入面上相位分布与实际情况越相符合时 , 计算得到的焦面振幅 

分布应该与焦面振幅分布的测量值越接近 ( 需要补充说明的是 , 上述关系并 

非严格成立 ) [1] 。由此 , 可取下式作为待优化目标函数 : 

∑ ρ1 ρ2 φ2 ∑ ρ1 

(2-3) 

ER = − IFT ( exp[i ]) / 

其中 ,IFT 表示傅立叶逆变换。上式即对应焦面振幅分布的计算值与其测量 

值的相对偏差。 

当恢复出来的输入面相位分布与实际值足够接近时 , 得到的 ER 值应该 

是足够小的 [35] 。为此 , 可事先设定一个阈值 ε 。每进行一次迭代便计算一次 

ER 值 , 并将其与阈值 ε 比较 , 若小于 ε , 则终止迭代过程 ; 为避免出现收 

敛发生停滞时继续进行无效迭代 , 还可以同时设定最大迭代次数 N , 即当 

已经进行的迭代步数超过 N 时 , 无论 ER 值为多少 , 都强行终止整个迭代过 

程。 

GS 算法的操作步骤如下 [1] : 

估计 : 

(1) 在 ( ) π,π 

− 内取随机相位 φ x , ), 构成输入面复振幅分布的初始 

1( 1 

y1 

9

U ( x , y ) = ρ ( x , y )exp[i φ ( x y )] 

(2-7) 

1 1 1 1 1 1 1 1, 1 

(2) 对其进行傅立叶变换 , 得到 : 

∫∫ 

U ( x , y ) = U ( x , y )exp[ − i( x x + y y )] dx dy = ρ (x ,y )exp[i φ ( x y )] 

' 

' 

2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2, 2 

(3) 保留 φ x , ) , 得到估计的焦面复振幅分布 : 

2 

( 

2 

y2 

2 2 2 2 2 2 2 2, 2 

(2-8) 


(2-9) 

并对其进行傅立叶反变换 , 得到 : 

∫∫ 

U ( x , y ) = U ( x , y )exp[i( x x + y y )] dx dy = ρ (x ,y )exp[i φ ( x y )] 

' 

' 

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1, 1 

(4) 保留 φ x , ) , 可以构成新的输入面复振幅分布估计 : 

1( 1 

y1 

1 1 1 1 1 1 1 1, 1 

(2-10) 

U (x ,y ) = ρ (x ,y )exp[i φ ( x y )] 

(2-11) 

(5) 计算 ER 值 , 比较 ER 与 ε 的大小 ; 并比较已进行迭代步数与 N 的 

大小。 

如满足迭代终止条件 , 则终止迭代 , 否则转向步骤 (2) 继续进行迭代。 

GS 算法流程如图 2-1 所示 : 

φ out 

ER < ε 

φ 0 

U x y x y x y 

U ( x , y ) = ρ '( x , y )exp[i φ ( x y )] 

1( 1, 1) = ρ1( 1, 1)exp[i φ1( 1, 1)] 

2 2 2 2 2 2 2 2, 2 

U ( x , y ) = ρ '( x , y )exp[i φ ( x y )] 

1 1 1 1 1 1 1 1, 1 


2 2 2 2 2 2 2 2, 2 

图 2.1 GS 算法流程图 

2.2 菲涅耳衍射场的计算 

要利用多次测量输出面上的光强信息进行重构 , 必须首先计算出光场在 

面与面之间的传输情况。若忽略激光的自聚焦等非线性效应 , 也不考虑光学 

元件间空气湍流等造成的影响 , 则可把光束传输过程视为线性传输过程 , 服 

从菲涅尔衍射公式 [1] : 

exp(i kz) 

k 

uz 

( x, y) = u( x , y )exp{i [( x − x ) + ( y − y ) ]} dx dy 

iλz 2z 

2 2 

∫∫ 0 0 0 0 0 0 

(2-12) 

10

其中 ,z 表示光场在面与面之间的传输距离 ,λ 为激光波长 , k 

2 π 

= 即波数 , 

λ 

ux ( 

0, y 

0) 

, uz 

( x, y ) 依次表示输入面和输出面上的复振幅分布。需要说明的是 , 

使用菲涅尔衍射公式进行光场的近似计算时 , 需满足以下条件 : 

2 

3 1 

2 2 

z > ( x x0) ( y y0) 

4λ ⎡ − + − ⎤ 

(2-13) 

⎣ 

⎦max 

若 z 进一步增大 , 使得 : 

2 2 

( x0 + y0) 

max 

k 

< π 

(2-14) 

2z 

时 , 菲涅尔衍射公式可进一步近似为 : 

exp(i kz) ⎡ik 2 2 ⎤ 

−ik 

uz 

( x, y) = exp ( x y ) u( x0, y0)exp[ ( xx0 yy0)] 

dx0dy0 

iλz ⎢ 

+ + 

2z ⎥ ∫∫ 

⎣ ⎦ z 

(2-15) 

即得到夫琅和费衍射公式。该式积分部分恰好对应傅立叶变换 , 可借助于快 

速傅立叶变换 ( FFT ) 进行计算。让光场通过傅立叶透镜 , 亦可在其后焦面上 

得到该光场的夫琅和费衍射。故光场传输计算的关键归结为式 (2-15) 的计算。 

式 (2-15) 的计算主要需要考虑采样定理 , 菲涅尔衍射公式原本为连续积分表 

达式 , 但菲涅尔衍射通常难以运用解析方法进行计算 , 而只能倚重于离散数 

值方法。离散数值计算结果的精度 , 主要受离散采样频率的影响 , 即需要符 

合满足 Nyquist-Shannon 采样定理 [1] 。 

文献 [37] 中综合考虑了采样点数目、光场传输距离远近、光场有效区大 

小等情况 , 将菲涅尔衍射场的计算相对区分为近场和远场两种情况 , 提出了 

一种行之有效的菲涅尔衍射场快速计算方法。为便于说明 , 在一维情况下描 

述该方法。 

设光场由面 1 向面 2 传输 , 每个面上的采样点数目均为 N , 面 1 和面 

2 上的采样范围分别为 Δ x0 

、 Δ x ( 即两面上的采样间隔分别为 : 

Δx0 

Δx 

δx0 = , δx= ), 需要指出的是 , 对面 1 上的光场信号进行离散采样时 , 

N N 

必须满足 Nyquist -Shannon 采样定理 , 故采样间隔和采样点应满足如下关系 : 

Δx Δ x= λzN 

(2-16) 

0 

忽略掉菲涅尔衍射公式中的常数项 , 则式 (2-15) 在一维离散情况下 , 对应的 

表达式为 : 

N 

λz 2 mΔx 

λz 0 

2 mm' 

uz 

( m' δx) = ∑ [exp(i π m' ) u( )exp(i π m )exp( −i π )] 

2 2 

Δx N Δx N 

(2-17) 

m= 

1 0 

11

2 

Δx 

(1): 当 z ≥ , 即处于菲涅尔衍射远场情形时 , 式 (2-17) 可直接改写为 : 

λN 

λz 

2 mΔx 

λz 

0 

2 

uz 

( m' δx) = exp(i π m' ) DFT[ u( )exp(i π m )] (2-18) 

2 2 

Δx N Δx0 

其中 DFT 表示离散傅立叶变换。显然 , 上式符合 Nyquist -Shannon 采样定理 , 

并且可利用 FFT 实现快速计算。 

2 

Δx 

(2): 当 z ≤ , 即处于菲涅尔衍射近场情形时 , 若仍然根据式 (2-17) 

λN 

进行计算 , 则会违背 Nyquist -Shannon 采样定理。实际上 , 菲涅尔衍射公式 

可视为一卷积表达式 , 即 [37] : 

ik 

2 

uz 

( x) ∝u( x0) ⊗ exp( x0) 

(2-19) 

2z 

式中 ,“ ⊗ ” 为卷积运算符 ,“∝ ” 则表示正比于。此时 , 根据卷积定理有 : 

2 

F ( ξ ) ∝ F ( ξ)exp( − i πλzξ 

) 

(2-20) 

u 

z 

u 

式中 , Fu 

( ξ )、 Fuz 

( ξ ) 分别表示 ux ( 

0) 

、 uz 

( x ) 的傅立叶变换。则在离散情形 

下 , 可得到 : 

~ 2 

⎧ mΔx0 

λz 

⎫ 

uz 

∝ IDFT⎨DFT[ u( )] × exp( −i π m ) 

2 ⎬ (2-21) 

⎩ N 

Δx0 

⎭ 

式 (2-21) 即所谓的角谱计算公式 , 其中 IDFT 表示离散傅立叶逆变换。 

当 z ≈Δ x 2 / λN 

时 , 则式 (2-18)、(2-21) 均可就便用来计算菲涅尔衍射。 

不过 , 根据式 (2-18) 计算菲涅尔衍射时 , 面 1 和面 2 上对应的采样范围大小 

需满足关系式 (2-16), 而采用式 (2-21) 计算时 , 则二者大小一致。 

2.3 算法原理及流程 

光学系统图如图 2.2 所示 , 其中相位板分布为 0、π 的二值分布 , 输入 

的光波波前经过相位板 X 

1 

调制后 , 传播一定距离 z 到达输出面后用 CCD 进 

行探测 , 得到第 1 个输出面光强分布信息 I 

1 

。然后将相位板 X 

1 

依次更换成 

相位板 X 

2 

, X 3 

,……, X M 

, 得到 m(m=1,2,……,M) 个输出面光强 

分布信息 I , m 

此时再根据以下步骤进行迭代计算 [36] : 

步骤一 : 假设输入面光场分布为 Uk(x 1,y 1) = Uk(x 1,y 1) exp[i φk( x1, y1)] 

, 其 

中 k=1,2,3,……, 是迭代次数 ; 

12

U 

U (x,y) = ρ (x,y)exp[i φ ( x y)] 

1(x,y) = ρ1(x,y)exp[i φ1 ( x, 

y)] 

exp[i φ ( 

2 2 2 , 

c 

x, 

y)] 

图 2.2 基于菲涅耳衍射的光学系统示意图 

U = U exp( iφ 

),( k = 0) 

k k k 

U = U exp( iφ 

),( m= 

mod( n, M)) 

k k m 

V = G Uk 

= V exp( iψ ) 

k k k 

V = I 1/2 exp( iψ ) 

k m k 

−1 

Uk 

= G Vk 

U = k 1 

Ukexp( − 

+ 

iφ 

m) 

ER 

步骤三 : 光场经菲涅耳衍射传播到输出面 , 得到输出面光场分布为 

V (x ,y )= V (x ,y ) exp( iψ ) ; 

k 2 2 k 2 2 

k 

步骤四 : 进行振幅替换 , 将 V 

k 

(x 

2,y 2) 

替换成 I 

m 

(x 

2,y 2) 

; 相位保持不 

变 ; 

步骤五 : 输出面光场通过求逆运算传播回相位板上 , 得到相位板上光场 

分布 Uk(x 1,y 1)= Uk(x 1,y 1) exp(i φ 

k) 

; 

步骤六 : 去除相位板影响 , 得到输入面光场分布 

U (x ,y )= U (x ,y )exp(-i φ )= U (x ,y ) exp(i φ ) 

k+ 1 1 1 k 1 1 m k+ 1 1 1 k+ 1 

; 

步骤七 : 重复步骤二、三、四、五、六 , 直到满足最后的迭代终止条件。 

其流程图如图 2.3 所示。值得注意的是 , 在以上算法流程中 , 无需知道 

输入光场的信息 , 只需知道输出面光强信息 , 这在很多场合下是非常有利的。 

2.4 数值模拟分析 

采用 MATLAB 矩阵实验室对上述算法编程进行数值模拟分析 , 下面给 

出各种情况下的恢复结果 , 其中模拟参数设定为 : ε = 0.02 , 即是当 ER ≤ 0.02 

时迭代终止 , 设定最大循环次数为 1200 次 , 即不管 ER 有没有收敛到 0.02, 

当达到 1200 次循环后 , 迭代自动终止。波长 λ = 0.6328μm 

, 输入面输出面 

大小均为 5mm× 5mm 

, 采样点数为 256× 256 , 输入输出面距离 Z = 154.3mm 

。 

输入面相位模型为低频噪声模型或者高频噪声模型 , 定义如下 : 

低频噪声模型 : 

ϕ Δ Δ = − ⊗ − Δ + Δ (2-22) 

2 2 

L( mx x, my y) a rand( 0.5,0.5) exp[ (( mx x 

/ Sx) ( my y 

/ S 

y) )] 

其中 rand(0,1) 表示取值范围在 0 到 1 之间均匀分布的随机数序列 , S x 

、 S y 

是 

决定相位空间起伏的参数 , 在下面低频模拟中 Sx 

= Sy 

= 25.6 , 符号 “ ⊗ ” 表示 

卷积 ; 调整系数 a , 可获得不同均方根梯度的相位分布。 

高频噪声模型 : 

ϕH( mxΔ x, myΔ y) = b rand(0,1) 

; (2-23) 

输入面振幅模型为平面波模型 ( Ui = 1) 加上低频噪声模型。 

相位板像素为 256× 256 , 每一个像素点为 (0,π ) 二值的随机分布 , 其 

中每一横行像素点中 π 值的数目相同 , 为了下面叙述方便 , 将其表示为 N, 

在随后的分析中会知道 N 对恢复结果会产生有一定的影响。 

迭代开始时初始相位值为 0, 初始振幅为平面波 Ui = 1。 

14

定义振幅误差为计算振幅和原始输入振幅在每个像素点的偏差之和与 

原始振幅的比值 , 表达式如下 : 

∑ ρ1 ρ2 φ2 ∑ ρ1; (2-24) 

ER = − IFT ( exp[i ]) / 

同时定义均方根误差 RMS, 即已恢复相位和待恢复相位在每个像素点 

的偏差的均方根 , 表达式如下 : 

2 

1 ∑ mod( φout 

−φin 

,2 π) 

RMS = 

; (2-25) 

2π 

256× 256 −1 

在文献 [35] 中 , 详细分析了 ER 和 RMS 两者之间的关系 , 一般来说 , 在 

ER 非常小的情况下 ,RMS 值也会很小 , 从而可以用 ER 作为迭代判定条件 , 

认为 ER 小到一定程度时 , 不仅仅是振幅 , 连相位的重构也能够达到预期的 

精度。 

由于高频相位变化剧烈 , 随机性大 , 为了能够更形象更直观的显示高频 

信号重构结果的正确性 , 定义相位恢复偏差 Per(Phase error), 表达式为 : 

Per = mod( φ − φ ,2 π) 

; (2-26) 

out 

即已恢复相位和待恢复相位在每个像素点的差与 2π 的模 , 用来表征已恢复 

结果和待恢复结果的误差分布 , 从而看出波前重构的质量。 

2.4.1 重构结果 

本次数值模拟分析主要针对以下两种情况 , 即待恢复输入面的相位变化 

缓慢 , 称之为低频信号 ; 待恢复输入面的相位变化剧烈 , 称之为高频信号。 

为了有效的验证上诉算法的有效性 , 利用式 2-22, 式 2-23 随机产生了 30 个 

低频和高频的光波波前模型 , 进行了多次的重复性的数值模拟实验 , 均得到 

了精确的恢复结果。其中低频相位幅度为达到 10λ , 高频相位幅度达到 0.3λ , 

恢复精度优于 0.001λ 。下面选举其中一个光波波前低频模型和高频模型的恢 

复情况 , 列举如下 : 

• 待恢复输入面为低频信号时 : 

M=4 时 ,N=128 时 , 振幅恢复情况如图 2.4 所示 , 可以看出振幅轮廓已 

基本恢复 , 有些细节部分含有少量噪声。这由于此时 ER 值为 0.0181, 小于 

0.02, 故迭代自动终止了。如果把 ε 值进一步缩小 ( 可以达到 0.001), 从而 

振幅将更加接近原始振幅 , 重构可以得到更高的恢复精度。 

in 

15

待恢复波前振幅 

已恢复波前振幅 

a) 待恢复振幅分布 3 维图 A) 已恢复振幅分布 3 维图 

b) 幅分布 2 维图 B) 振幅分布 2 维图 

图 2.4 低频光波重构情况 —— 振幅 

相位恢复情况如图 2.5 所示 , 其中低频相位的幅度为 -40rad-30rad, 即 

10λ ; 从 3 维图看 , 待恢复相位和已恢复相位似乎差的很多 , 但注意到已恢 

复的相位范围是 0-7rad, 即 0-2π 之间 , 将待恢复的信号转换为 0-2π 区间 ( 与 

2π 求模运算即可 ), 则可以得到与图 2.4( A) 几乎相同的分布 , 两者的 Per 

为一个常数值 , 均方根误差为 RMS = 0.004λ 

, 已经属于较高的精度 , 可以 

认为相位信号恢复成功 , 这从相位分布的 2 维图中 ( 图 2.4b、图 2.4B) 也可以 

得到此结论。 

另外 , 若将 ε 设置成更小的值 , 比如 0.01, 则算法可以进一步的收敛 , 

在若干次迭代后 , 得到更为精确的恢复结果 , 多次重复性的试验表明恢复精 

度优于 0.001λ 。 

16

待恢复波前相位 

已恢复波前相位 

a) 待恢复波前相位分布 3 维图 A) 已恢复波前相位分布 3 维图 

b) 待恢复波前相位分布 2 维图 B) 已恢复波前相位分布 3 维图 

图 2.5 低频光波重构情况 —— 相位 

• 待恢复输入面为高频信号时 : 

此时 M=3,N=128; 其余情况和低频时保持一致 , 结果如图 2.6 所示 , 

可以看出 , 对于高频随机信号 , 算法收敛性能依然良好。重构的结果依然很 

精确 , 其中相位幅度为 0-2rad, 即 0.3λ ; 由于高频相位变化幅度大 , 很难看 

出已恢复和待恢复两者的区别 , 故用相位偏差 Per 来表示恢复结果 , 如图 2.7 

所示 ,Per 基本为一个常数 , 只在振幅较小的地方有一些波动 , 这是由于振 

幅小对相位。恢复的 RMS = 0.0058λ 

, 若选用更小的 ε 值 , 如 0.001, 可以得 

到更高的恢复精度 , 试验结果表明要优于 0.001λ 。 

17




c) 振幅分布 2 维图 C) 振幅分布 2 维图 

图 2.6 高频光波重构情况 —— 振幅 

图 2.7 高频相位恢复偏差 Per 

18

2.4.2 波前成功重构的相位幅度和恢复精度 

下面分别验证算法对低、高频波前畸变的重构能力。在此基础上 , 对同 

时含有低、高频成分的畸变波前进行了多次重构模拟实验 , 这里仅给出其中 

两组实验结果。 

对应某一固定 Sx 

= Sy 

= 25.6 值 , 生成一组随机数 , 代入式 (2-22), 构造 

出低频相位畸变 , 通过改变 a 的大小来控制幅度。采用图 2.3 所示算法进行 

重构 , 迭代初始值取零相位分布 , 重构波前畸变的低频、高频成分的迭代次 

数 , 分别设定为 600、300 次 , 重构波前对应的 RMS 如图 2.8(a),(b) 所示。 

当低频相位畸变的幅度 ≤ 10λ 时 , 即 a ≤ 1时 , 基本上都能正确重构 , 但 

也出现了不能正确重构的特例 ( 在连续 30 次实验中成功了 25 次 )。此时 , 若 

将迭代初始值换成随机相位 , 则基本上可以正确重构 ( 在连续 30 次实验中成 

功了 29 次 ); 当 1< a ≤ 1.8时 , 即 10λ < 相位幅度 ≤ 18λ 时 , 失败率增高 , 连 

续 30 次试验中成功 20 次 , 当 1, 8 < a ≤ 2 时 , 即 18λ < 相位幅度 ≤ 20λ 时 , 收 

敛基本停止 ,ER 徘徊在 0.09 左右 ,RMS 值也上升明显。定性分析可知 ,a 值 

越大 , 则相位幅度越大 , 幅度变化也越大 , 此时相位恢复难度变大。 

类似地 , 改变式 (2-23) 中参数 b 的大小以测试算法对高频段相位畸变的 

重构能力。某一组模拟实验中 , 重构波前对应的 RMS 如图 2.8(b) 所示 , 相 

位幅度 ≤ 0.3λ , 即 b ≤ 2时均能重构 , 重构精度优于 ≤ 0.02λ 。 2

RMS 值逐渐上升 , 精度有所下降 , 且恢复成功率下降。 

(a) 相位幅度和 RMS 的关系 —— 低频 (M=4,N=128) 

19

(b) 相位幅度和 RMS 的关系 —— 高频 (M=3,N=128) 

图 2.8 相位幅度和 RMS 的关系 —— 菲涅耳衍射区 

2.4.3 测量输出面强度次数 M 对重构结果的影响 

求解波前问题为逆问题 , 用 GS 算法及其改进算法时 , 往往会使迭代过 

程陷入停滞 , 难以得到精确结果。而通过多次测量输出面强度信息 ( 往往大 

于 3 次 ), 将极大的压缩解空间 , 使得收敛速度大大加快 , 恢复结果也更加 

精确。下面分别分析测量输出面强度次数 (M 值 ) 对低频相位和高频相位 

的重构结果的影响。 

• M 对低频信号恢复结果的影响 

振幅、相位恢复结果对比分别如图 2.9, 图 2.10 所示 , 其中 N=128: 

a) M=3 b) M=4 c) M=5 

ER=0.4853, 收敛停滞 ER=0.019,324 次收敛 ER=0.018,65 次收敛 

图 2.9 M 值对低频信号振幅恢复结果的影响 

20

a) M=3 b) M=4 c) M=5 

RMS=0.2102rad RMS=0.0049rad RMS=0.0047rad 

图 2.10 M 值对低频信号相位恢复结果的影响 

从上面可以看出 ,M=3 时 , 算法处于收敛停滞状态 , 从图 2.9 看 , 恢复 

振幅和原振幅相差甚远 , 但粗略轮廓已经显现 , 只是细节部分难以恢复 , 对 

于相位同样如此 , 这是由于输出面强度信息不足 , 解空间过大导致解的随机 

性变大 , 从而收敛性下降。 M ≥ 4 时 , 恢复的振幅和原振幅几乎一致 , 恢复 

的结果很好 , 两者的 ER 都收敛至小于 0.02, 相位恢复结果与原相位也几乎 

一致 , 均方差 RMS 都要小于 0.005rad; 不同的是 M=4 时需要循环 324 次才 

能收敛得到结果 , 而 M=5 时只需循环 65 次。故可以得出 M 增大时 , 收敛 

速度会大大加快的结论。 

• M 对高频相位信号恢复结果的影响 

振幅恢复结果对比分析如图 2.11 所示 ( 待恢复振幅幅度为 0-3.5): 

d) M=2 e) M=3 f) M=4 

ER=0.1505, 收敛停滞 ER=0.019,23 次收敛 ER=0.017,12 次收敛 

图 2.11 M 值对高频信号振幅恢复结果的影响 

21

由于高频相位信号分布的随机性 , 已恢复相位和待恢复相位很难看出异 

同 , 故下面用相位恢复的偏差 Per 来进行分析 ,, 其结果对比分析如图 2.12 

所示 ( 待恢复相位幅度为 0-2rad): 

a) M=2 b) M=3 c) M=4 

RMS=0.0589rad ER=0.0063rad ER=0.0058 

图 2.12 M 值对高频信号振幅恢复结果的影响 

从上可以看出 ,M=2 时 , 收敛处于停滞状态 , 但能够恢复出原振幅的 

粗略轮廓 , 只是细节部分难以恢复 , 具有随机性的噪声 ; 而对于相位同样如 

此 , 即使是不收敛 , 相位恢复的均方差 RMS=0.0589rad, 要小于 0.01 λ , 这 

也有不错的恢复精度 , 可是仍然由于输出面强度信息不足 , 解空间过大导致 

解的随机性变大 , 从而收敛性下降。 M ≥ 3时 , 恢复的振幅和原振幅几乎一 

致 , 恢复的结果很好 , 两者的 ER 要会收敛至小于 0.02, 相位恢复结果与原 

相位也几乎一致 , 均方差 RMS 在 0.006rad 附近 , 与 M=2 相比提高了一个数 

量级 ; 不同的是 M=3 时需要循环 23 次得到结果 , 而 M=4 时只需循环 12 次。 

故在 M 增大时 , 收敛速度仍然会大大加快 , 这与恢复低频信号时相同。 

在笔者后续多次的测验中发现 , 不管低频信号还是高频信号 , 当 M 继 

续增大时 , 收敛速度会进一步加快 , 恢复精度将进一步提高。故可以得出 , 

当 M 增大时 , 相位板数目增多 , 测量输出面光强信息次数增加 , 收敛速度 

将明显加快 , 振幅恢复结果也将更加精确 , 其中 ,M 对低频信号恢复收敛 

速度的影响如下图 2.13 所示 , 从中可以看出 , 当 M ≤ 3时收敛停滞 , 而 M=6 

时仅需 38 次迭代就可以使 ER 收敛至小于 0.02, 在现实应用中 , 则可以根 

据系统复杂性、时间紧迫性等综合因素考量 M 的选取。 

22

图 2.13 输出面强度测量次数 M 对收敛速度的影响 

同时 , 经过多次检验 , 发现 M 增大时 , 可恢复的振幅幅度和相位幅度 

也将变大。这是由于 M 增大时 , 会压缩恢复波前的解空间 , 从而更容易恢 

复出大幅度非缓变波前。故可以通过增大 M 来达到加快收敛 , 提高精度的 

目的 , 但是 M 的增大使得系统的复杂性进一步提高 , 故还是希望用最小的 

M 值达到最好的恢复结果。 

综合分析上述结果 , 可以知道基于菲涅耳衍射面光强信息的纯相位调制 

恢复方法更加适用于恢复高频信号 , 对于相位幅度小于 0.3λ 的高频信号 , 

最低 M=2 时就能使重构达到一定精度 ,M=3 就可以精确恢复。这是因为输 

入面相位的高频成分 ( 即相位变化剧烈的部分 ) 对近菲涅尔衍射区的光场影 

响较大 , 而输入面相位的低频成分 ( 即相位的缓变部分 ) 则对远菲涅尔衍射 

区 ( 或夫郎禾费衍射区 ) 的光场影响较大 

[2] 。故在菲涅耳衍射区 , 对恢复 

高频信号较为有利 , 这在第三章中分析夫郎禾费衍射区情况还会有所体现 , 

这里就不详细说明了。 

2.4.4 相位板分布对重构结果的影响 

由于相位板的调制作用 , 使得输出面强度分布发生改变 , 从而压缩解空 

间 , 使得算法收敛得以恢复波前。由此可以预见到的是相位板的相位分布 , 

对算法收敛性产生一定的影响 , 限于笔者的水平 , 这里没有做定量的理论分 

析 , 只根据 N 值的不同 (N 为每一横行中 π 值的数目 ), 做了定量的模拟分 

23

析 , 分析结果如图 2.14 所示 , 其中 M=4, 迭代次数最大设定为 1600,ε 值 

为 0.02。 

图 2.14 相位板分布 N 值对算法收敛速度的影响 

多次试验结果显示 , 当 N ≤ 48时 , 迭代 1600 次 ER 仍然没有收敛到 ε 范 

围内 , 而是在一个较大值 (0.1-0.3) 附近徘徊 , 可以认为收敛基本停滞 ; 在 

N ≥ 208时 ,ER 收敛也出现停滞现象。而 48 < N < 208 时 , 算法能够收敛 , 

且 N 在 112 附近时 , 收敛速度最快 , 仅需 228 次 ER 就可以收敛至小于 0.02, 

随着 N 逐渐增大或减小 , 收敛速度逐渐变慢。需要说明的是 , 上述结论是 

30 多次模拟实验的结果 , 还缺乏理论的证明。直观上说 , 相位板中 0,π 的 

比例需要满足一定条件 , 对输入波前的调制才能奏效 , 算法才能收敛。 

2.5 本章小结 

GS 算法是典型的相位恢复迭代数值算法。本章首先详细介绍了 GS 算 

法的具体流程 , 在参考 GS 算法及相关文献的基础上 , 无需输入光场的信息 , 

只需多次输出面光强信息 , 利用多次纯相位调制的算法成功恢复了复杂光场 

的波前 , 其中详细介绍了算法的原理和流程 , 给出了重构成功和失败的例子 , 

并借此分析了多种因素 (M,N 值 ) 对收敛速度和恢复精度的影响 ; 实际应 

用中 ,M 值希望越小越好 , 本文给出了能够成功收敛的最小的 M 值下的恢 

复结果 , 即低频信号时 ,M=4, 相位幅度为 10λ , 恢复精度优于 0.001λ ; 高 

频信号时 ,M=2 时 , 相位幅度为 0.3λ , 恢复精度 RMS 约为 0.05λ 。M 增大 

24

时 , 恢复精度和幅度有相应提高 , 高频信号重构幅度为 0.3λ , 恢复精度 RMS 

值则优于 0.001λ 。另外 , 值得一提的是 , 重构的波前对相位板的相位分布 

不是很敏感 , 在实际实验中 , 相位板的工艺精度一般能够达到 10nm, 尚属 

于此算法能够接受的范围之内。 

25

第 3 章基于夫郎禾费衍射面光强信息的纯相位调制恢复方法 

前面成功的在菲涅耳衍射区恢复出了复杂光场的光波波前。菲涅耳衍射 

区较之夫郎禾费衍射区 , 其积分式多了一个球面波因子 , 在进行数值分析时 

需要进行近似计算 , 同时 , 输入输出面大小一样 , 由于 CCD 接受面积的限 

制 , 很难恢复大横截面的光波波前。而夫郎禾费衍射区由于使用了傅里叶透 

镜聚焦 ,CCD 面积无需很大 , 在测量大横截面光波波前时只需采用大孔径 

透镜即可 , 于是考虑将上述方法推广到夫郎禾费衍射区。 

3.1 算法原理及流程 

夫郎禾费衍射区的恢复算法原理和流程和菲涅耳衍射区的基本一致 , 其 

中光学系统原理图示意如下 , 各项参数与菲涅耳衍射区相同 , 不同的是相位 

板后面增加了傅里叶变换透镜 , 使得图 2.3 中 G 变换由菲涅耳积分变换变成 

了傅里叶变换 , 输入输出面距离为透镜的焦距 f。 

U 

U (x,y) = ρ (x,y)exp[i φ ( x y)] 

1(x,y) = ρ1(x,y)exp[i φ1 ( x, 

y)] 

exp[i φ ( 

2 2 2 , 

c 

x, 

y)] 

图 3.1 基于夫郎禾费衍射的光学系统示意图 

3.2 数值模拟分析 

3.2.1 重构结果 

模拟参数与菲涅耳衍射区一样 , 同样是主要针对的光波波前为低频信号 

和高频信号两种情况 , 进行了多次的重复性的数值模拟实验 , 均得到了精确 

的恢复结果。其中低频相位幅度仍然达到 10λ , 高频相位幅度达到 0.3λ , 恢 

26

复精度仍然优于 0.001λ 。下面选取其中一个光波波前低频模型和高频模型的 

恢复情况 , 列举如下 : 

• 待恢复输入面为低频信号时 : 

M=3 时 ,N=128 时 , 振幅恢复情况如图 3.2 所示 , 可以看出振幅轮廓已 

基本恢复 , 有些细节部分含有一些噪声。此时 ER 值为 0.029, 由于有地方 

振幅很小 , 接近 0, 故出现较大偏差 , 难以进一步收敛至小于 0.02, 但如果 

增加一块相位板 , 使 M 值和菲涅耳衍射区相同 , 即 M=4( 菲涅耳衍射区 

M=4) 时 ,ER 可以进一步收敛 , 从而振幅将更加接近原始振幅 , 重构可以 

得到更高的恢复精度。 




b) 振幅分布 2 维图 B) 振幅分布 2 维图 

图 3.2 低频光波重构情况 —— 振幅 

27

相位恢复情况如图 3.3 所示 , 其中低频相位的幅度为 -30rad-30rad, 相当 

于 10λ ; 与菲涅耳衍射区一样 , 将图 3.3a 中低频相位与 2π 求模 , 则可以得 

到与图 3.3 A 中相似的分布 , 两者的 Per 为一个常数值 , 均方根误差为 

RMS = 0.0062λ 

, 属于较高精度 , 可以认为相位信号恢复成功 , 这从相位分 

布的 2 维图中也可以得到此结论。 

另外 , 增加 M=4, 同时将 ε 设置成更小的值 , 比如 0.001, 则可以进一 

步收敛 , 得到更为精确的恢复结果 , 试验表明恢复精度优于 0.001λ 。 

待恢复波前相位 

已恢复波前相位 

a) 待恢复波前相位分布 3 维图 A) 已恢复波前相位分布 3 维图 

b) 待恢复波前相位分布 2 维图 B) 已恢复波前相位分布 3 维图 

图 3.3 低频光波重构情况 —— 相位 

• 待恢复输入面为高频信号时 : 

此时 M=3,N=128; 其余情况和低频时保持一致 , 结果如图 3.4 所示 , 

可以看出 , 对于高频随机信号 , 算法收敛性能依然良好。恢复的 Per 为常数 , 

28

如图 3.5 所示 , 在小部分振幅值很小的地方有波动 , 此时 ER=0.03, 均方根 

RMS = 0.01λ 

, 若选用更小的 ε 值 , 如 0.01, 可以得到更高的恢复精度 , 试 

验结果表明要优于 0.001λ 。 



b) 待恢复振幅分布 3 维图 B) 已恢复振幅分布 3 维图 

c) 振幅分布 2 维图 C) 振幅分布 2 维图 

图 3.4 高频光波重构情况 —— 振幅 

29

图 3.5 高频相位恢复偏差 Per 

3.2.2 波前成功重构的相位幅度和恢复精度 

与菲涅耳衍射类似 , 下面分别验证算法对低、高频波前畸变的重构能力。 

对应某一固定 Sx 

= Sy 

= 25.6 值 , 生成一组随机数 , 代入式 (2-22), 构造出低 

频相位畸变 , 通过改变 b 的大小来控制幅度 , 迭代初始值取零相位分布 , 重 

构波前畸变的低频、高频成分的迭代次数 , 分别设定为 600、300 次 , 重构 

波前对应的 RMS 如图 3.6(a),(b) 所示。 

当低频相位畸变的幅度 ≤ 18λ 时 , 即 a ≤ 1.8时 , 基本上都能正确重构 , 

但也出现了不能正确重构的特例 ( 在连续 30 次实验中成功了 25 次 )。此时 , 

若将迭代初始值换成随机相位 , 则基本上可以正确重构 ( 在连续 30 次实验中 

成功了 29 次 ); 当 1, 8 < a ≤ 2 时 , 即 18λ < 相位幅度 ≤ 20λ 时 , 收敛基本停止 , 

ER 徘徊在 0.09 左右 ,RMS 值也上升明显。定性分析可知 ,a 值越大 , 则相 

位幅度越大 , 幅度变化也越大 , 图 3.6(a) 也反映了这种规律。同时 , 注意到 

此时 M=3, 而菲涅耳衍射区 M=4, 从这个角度上说 , 夫郎禾费衍射区对恢复 

低频信号更加有利。 

类似地 , 改变式 (2-23) 中参数 b 的大小以测试算法对高频段相位畸变的 

重构能力。某一组模拟实验中 , 重构波前对应的 RMS 如图 3.6(b) 所示 , 相 

30

位幅度 ≤ 0.3λ , 即 b ≤ 2时能高精度重构 , 恢复精度优于 0.01λ 。2

RMS 值逐渐上升 , 精度有所下降 , 且恢复成功率下降。 

(a) 相位幅度和 RMS 的关系 —— 低频 (M=3,N=128) 

(b) 相位幅度和 RMS 的关系 —— 高频 (M=3,N=128) 

图 3.6 相位幅度和 RMS 的关系 —— 夫郎禾费衍射区 

3.2.3 M、N 对重构的影响 

测量输出面光强信息的次数直接影响到解空间的大小 , 同样相位板的分 

布影响到输出光场分布 , 从而间接影响到解空间的大小 ; 在夫郎禾费衍射区 , 

可以预料到 M、N 对重构的影响和菲涅耳衍射区相似。经过多次的模拟试 

31

验 , 也证实了这点 :M 增大 , 算法收敛速度加快 , 可恢复的相位幅度变大 , 

恢复精度变高 ;N 在一定范围内时 , 即相位板每一横行 0,π 分布需满足一 

定的比例 , 算法才能收敛。其结论与 2.4.3,2.4.4 章节相同。 

3.3 与基于菲涅耳衍射区光场恢复的对比分析 

夫郎禾费衍射可以作为远场菲涅耳衍射的近似 , 两者的实质是一样的。 

但由于没有球面波因子的影响 , 夫郎禾费衍射的数值计算可以直接归结于 

FFT, 相比于菲涅耳衍射要方便快捷许多 , 另外由于傅里叶透镜的聚焦作用 , 

使得输出光场横截面的面积大大缩小 , 故可以用来恢复有较大横截面积的输 

入光场。模拟试验中让一组相同的输入光场 , 采用同样的相位板分布 (N 相 

同 ), 测量同样次数的输出光强 (M 相同 ), 分别通过菲涅耳衍射和夫郎禾 

费衍射进行重构 , 之后通过对比两者的恢复结果可以知道两者的特点 , 具体 

分析如下 : 

3.3.1 低频信号恢复对比分析 

当 M=3,N=128, 输入光场选择第 2 章图 2.4a 所示光场时 , 分别在菲 

涅耳衍射区和夫郎禾费衍射区进行恢复 , 振幅恢复结果对比如图 3.7 所示 , 

相位恢复结果对比如图 3.8 所示 : 

a) 基于菲涅耳衍射 b) 基于夫郎禾费衍射 

已恢复振幅分布 3 维图 

32


图 3.7 低频光波重构情况对比 —— 振幅 


图 3.8 低频光波重构情况对比 —— 相位 

由上述对比可以看到 , 夫郎禾费衍射区更容易恢复低频信号 , 此时只需 

M=3, 迭代 63 次就可以收敛到较高的恢复精度 , 其中 RMS = 0.0037λ 

, 而 

菲涅耳衍射区时 , 算法收敛停滞 ,ER 在 0.48 附近徘徊难以下降 , 最终经历 

1200 次循环后 , RMS = 0.2102λ 

。根据角谱理论 , 低频成分和高频成分将会 

随着光场的传播逐渐分开而重新进行排布 , 在菲涅耳衍射区 , 低频信号中夹 

杂着高频信号 , 相当于添加了随机噪声 , 影响了算法的收敛性 , 而在夫郎禾 

费衍射区 , 高频信号丢失较为严重 , 故低频成分较为纯净 , 更容易恢复。 

33

3.3.2 高频信号恢复对比分析 

当 M=3,N=128, 输入光场选择第 2 章图 2.6a 所示光场时 , 分别在菲 

涅耳衍射区和夫郎禾费衍射区进行恢复 , 振幅恢复结果对比如图 3.9 所示 , 

相位恢复偏差 Per 对比如图 3.10 所示 , 由图对比可以看到 , 菲涅耳衍射区更 

容易恢复高频信号 , 此时只需 M=3, 迭代 23 次就可以收敛到较高的恢复精 

度 , 其中 RMS = 0.0058λ 

, 而在夫郎禾费衍射区时 , 算法收敛停滞 ,ER 在 

0.12 附近徘徊难以下降 , 最终经历 1200 次循环后 , RMS = 0.052λ 

, 而此精 

度在菲涅耳衍射区域只需 M=2 就可以达到。 




图 3.9 高频光波重构情况对比 —— 振幅 

34


图 3.10 高频光波重构情况对比 —— 相位偏差 Per 

进一步试验发现 ,M=2 时 , 在菲涅耳衍射区域恢复高频的波前 , 相位 

恢复精度为 RMS = 0.058λ 

, 注意此时算法仍然没有收敛 ,ER 在 0.15 附近徘 

徊 , 但相比夫郎禾费衍射 , 已经成功减少了一次强度测量。分析原因 , 则是 

高频信号对近场菲涅耳衍射影响较大 , 故在菲涅耳衍射区域包含有更多高频 

分量的信息 , 所以更加容易恢复。而夫郎禾费衍射区由于丢失了大量的高频 

信息 , 对高频的恢复显得略为困难。 

综上所述 , 恢复较高频率波前时 , 基于菲涅耳衍射的重构算法更为合适 ; 

而恢复较低频率波前时 , 基于夫郎禾费衍射的重构算法更加的有效 , 同时 , 

由于夫郎禾费衍射使用了傅里叶透镜 , 具有聚焦作用 , 故可以恢复较大横截 

面的光场 , 这是菲涅耳衍射难以做到的。在实际应用中 , 可以根据系统的复 

杂程度和对结果精度的要求合理选择衍射区域。 

3.4 本章小结 

将第 2 章所述算法推广到夫郎禾费衍射区 , 讨论了两者不同的特点。两 

者都能很好的恢复低频和高频信号 , 但前者在恢复高频信号时更为有效 , 收 

敛速度更快 , 后者在恢复低频信号时更为有效 , 收敛速度明显比前者快。在 

实际情况中 , 可以根据系统复杂性 , 精度要求等具体需要 , 选择合适的衍射 

区 , 从而得到更好更有效的结果。和菲涅耳衍射区一样 , 夫郎禾费衍射区重 

构的波前对相位板的相位分布同样不是很敏感 , 在实际实验中 , 相位板的工 

艺精度一般能够达到 10nm, 属于此算法能够接受的范围。 

35

第 4 章结论与展望 

研究波前重构方法 , 提高波前重构精度 , 拓展可恢复的波前相位分布 , 在自 

适应光学、X 射线成像、衍射光学、光学加工检测及激光光束质量检测等诸多领 

域中具有重要的理论意义和实用价值。传统的数值算法 ( 如 GS 算法 ,HIO 算法 ), 

一般仅利用输入、输出两个面上的光强信息 , 对输入面的光场分布进行恢复。该 

类算法通常存在收敛不稳定、收敛速度慢、抗噪性能差等缺点。为克服上述缺点 , 

需测量三次或更多的强度信息 , 以获得更多的信息量 , 从而压缩解空间来进行复 

杂光场重构。 

本文在文献调研的基础上 , 开展了波前重构数值算法的研究 , 主要研究内容 

和成果如下 : 

(1) 利用随机二值纯相位调制的方法 , 在菲涅耳衍射区获得了多个输出面强 

度信息 , 再利用 GS 迭代算法成功重构了复杂光场的波前。其中低频信号的相位 

恢复幅度达到 10λ , 恢复精度优于 0.001λ ; 高频信号的相位恢复幅度达到 0.3λ , 

恢复精度优于 0.001λ 。同时文中详细介绍并验证了算法的原理和流程 , 讨论了输 

出面光强信息和相位板相位分布对收敛速度和重构精度的影响 , 与此同时分析了 

该算法能成功收敛的相位幅度。 

(2) 由于夫郎禾费衍射较之菲涅耳衍射有波前聚焦作用 , 使得能够重构的波 

前横截面积大大增加。本文首先尝试将上述算法推广到夫郎禾费衍射区域 , 同样 

成功重构了复杂光场波前 , 其中低频信号的相位恢复幅度达到 10λ , 恢复精度优 

于 0.001λ ; 高频信号的相位恢复幅度达到 0.3λ , 恢复精度优于 0.001λ 。同时讨论 

了其与菲涅耳衍射区不同的特点和各自的适用范围。 

在本论文的基础上 , 对进一步工作提出以下建议 : 

(1) 利用数值模拟的结果 , 搭建具体的光学实验系统 , 以实际实验验证算法 

的有效性和收敛性。 

(2) 进一步研究相位板分布对算法收敛性和重构精度的影响 , 给出理论模型 

和分析结果。此外 , 对算法进一步改进 , 以期减少所用输出面光强的个数。 

(3) 收敛性是相位恢复数值算法最为关键的性能指标。目前还没有人能够严 

格、系统地从数学上证明各种相位恢复数值算法的收敛性 , 或理论上分析各种相 

位恢复算法所需的最少的光强信息。限于水平 , 本文也没能对此展开理论上的分 

36

析讨论 , 只通过实验给出了直观的结果。严格证明算法的收敛性 , 不仅有着重要 

的理论价值 , 而且对算法的设计及改进有着重要的指导意义。 

37

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40

致谢 

衷心感谢指导老师谭峭峰副教授在我综合论文训练期间给予我的精心指导以 

及在工作、生活上的关怀和爱护。他的言传身教将令我受益终生。 

42

声明 

本人郑重声明 : 所呈交的学位论文 , 是本人在导师指导下 , 独立进行研究 

工作所取得的成果。尽我所知 , 除文中已经注明引用的内容外 , 本学位论文的 

研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出 

贡献的其他个人和集体 , 均已在文中以明确方式标明。 

签名 :_____________ 

日期 :_____________ 

43

附录 A 外文资料的调研阅读报告 

The Development of Wave-Front Reconstruction Technology 

The study of wave-front reconstruction is to resolve the equation of the light 

field, including the amplitude (intensity) and the phase information. The amplitude 

(intensity) of the wave-front can be mostly measured directly by the sensor, but to 

measure the phase information by sensor is very difficult because of the high 

frequency of the light. So we need to find a way to retrieve the phase indirectly. 

Since now,Phase retrieval has become a famous kind of inverse problem whose 

objective is to retrieve the absent phase information based on the measured intensity 

information. Study on this topic is quite meaningful and has attracted much attention, 

because the wave-front reconstruction technology is widely used in many domains, 

such as adaptive optics, detection of laser quality, precise measurement of optical 

surface, X-ray imaging, microscope imaging and so on. [1–5] 

From now on, existing methods of phase retrieval can mainly be divided into 

three classes: 

(1) Deduction of phase directly from interference fringe produced by 

interferometers. 

In generally, Fizeau interferometer, Twyman-Green interferometer and 

Mach-Zehnder interferometer are used to retrieving the phase. In this case, the 

introduction of a reference beam entails additional optics and it is difficult to satisfy 

the interfere condition that we need coherent light. 

(2) Reconstruction of wave front based on the average slope or curvature of 

wave front, such as the Shack–Hartmann method [2,3] , or the shearing interferometry 

method [5] . 

A Shack–Hartmann sensor measures wave fronts by sampling them with a 

microlens array (Fig. 1) [6] . In Fig.1, we can find that in the focal plane, the spot of 

each microlens is located at positions that depend on the average wave-front slope 

taken across the respective microlens aperture of the Shack–Hartmann sensor. If the 

wave-front incident on the microlens array contains steep wave-front slopes, the 

spots can leave the area of their original sub-aperture, which is defined by the center 

of the microlens and the distance between the microlenses. This effect takes place 

easily if the focal length of the microlenses is chosen to be rather long to increase the 

44

sensitivity of the sensor. In this case an unequivocal assignment of the spots to their 

reference points has to be achieved by special techniques. In Ref. 7 a procedure is 

described that solves this problem by additionally measuring the spot positions in 

planes between the microlens array and the detector array. A different approach is to 

use a conventional image of the wave-front under test formed with a single lens in 

addition to the classical Shack–Hartmann sensor image to solve the problem [8] . 

From now on, the technology of Shack-Hartmann method has been used practically 

in the adaptive optics and lots of people are doing the reach. However, the 

disadvantage of Shack-Hartmann method is the limitation of the sub-aperture, it 

means the precision of the wave-front reconstruction could not be smaller than the 

dimension of the sub-aperture. If we want to make the result better, the craft of 

producing the microlense arrays becomes more difficult and expensive. So these 

sensors usually can only work for smooth wave fronts. 

Fig.1. Scheme of the Shack-Hartmann sensor 

Fig.2 [9] is the setup of the transverse shearing interferometry method. A light 

beam transmits to the flat plane and splits into two coherent beam because of the 

refraction and the reflection in the flat plane. The two light beams interfere in the 

region of the CCD photography and form an interference pattern which we can 

analyze to get the wave-front of the light. Although there are lots of methods to 

improve the precision introduced in the papers, the problem is that we can hardly get 

a perfect reference beam so that we can only use this method reconstructing the 

wave-front with simple and low frequency phase. 

45

[1,10–12] . 

Fig.2. Setup of the transverse shearing interferometry method 

(3) Numerical algorithms using intensity information in two or more planes 

The third class of retrieval methods can also be further divided into two 

subclasses: iterative or non-iterative phase retrieval algorithms. The method 

proposed by Gerchberg and Saxton in 1972 is the first widely accepted iterative 

phase recovery method. The idea is that the missing phases can be recovered by 

iteratively applying the magnitude constraints in object and Fourier-transformed 

space. Fienup modified the Gerchberg-Saxton algorithm in 1978 by using finite 

support and non-negativity constraints in object space instead of the magnitude of 

the object. In subsequent years, many kinds of algorithms and its variations have 

been introduced and of course, there are no perfect methods, but iterative phase 

retrieval algorithms sampled by Gerchber–Saxton–Fienup (GSF)-type algorithms 

always have more flexibility compared with other kinds of methods in particular for 

real and non-negative objects [12] . 

But in some important fields, such as electron microscopy and x-ray diffraction 

imaging, the object fields are complex valued. For instance, multiple scattering of 

electrons or a spatial variation in the anomalous scattering of x rays can both give 

rise to a complex object field. Although it has been shown that reconstruction of a 

complex object is possible if a strong support is available or if a low-resolution 

image can also be measured [13] , it is a common perception that, because of the loss of 

the non-negative constraint, phase retrieval in general for complex-valued objects is 

much more difficult than from real and non-negative objects. Strong support 

constraints include certain special shapes or separated supports, and the support 

needs also to be sharp and sufficiently tight (true boundary).One solution is then to 

46

develop experimental strategies. In recent work, Faulkner and Rodenburg suggested 

moving an aperture to record a set of patterns diffracted from different part of the 

object. The object field in the overlapped area can be better determined because its 

diffraction would appear in several recordings, thus reducing the possibility of 

stagnation. In recent experimental work, Rodenburg et al .have successful 

demonstrated this technique with laser and hard x-ray sources using several hundred 

recordings. [14] 

Another way is to get more intensity information by several defocused plane, or 

by modulating the input field with several amplitude masks or phase shifters. In 

Ref.9 presented a method that uses the intensity of four defocused plane to retrieve 

the input complex amplitude (Fig.3). 

Fig.3. Optical setup for the phase retrieval by several defocused plane. 

In Ref.15 presented a method that uses random binary amplitude masks to 

modulate and retrieve the input complex amplitude from the intensity (Fig.4). Four 

masks can be used to accurately retrieve the whole field, and only four diffraction 

patterns need to be recorded. The simulations show that the method is able to 

retrieve a wave-front with phase depths of 2:5λ and0:5λ for the low- and 

high-frequency distributions. 

Fig.4. Optical setup for the phase retrieval with a random binary amplitude mask. 

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In Ref.14 proposed and demonstrated a technique for the phase retrieval of any 

complex-valued field by using wave-front modulation and the measurement of three 

or more diffraction patterns (Fig.5). The technique combines the essence of the 

iterative phase retrieval technique with that of the wave-front sensing technique. 

Meanwhile, it removes the smooth curvature requirement in wave-front sensing and 

solves the stagnation problem of current phase retrieval methods when they are used 

for complex objects. Experimental results confirm that this technique is a practical 

method for lensless microscopy. 

Fig.5. Optical setup for the phase retrieval with a phase shifter modulate 

From the papers below, we can find that potential future directions of 

wave-front reconstruction research include the optimization of the phase plate design, 

the evaluation of the system performance, and the development of a strategy for 

accelerating the convergence. It is believed that the simple and robust technique 

would greatly improve practical phase imaging and find applications in wave-front 

sensing, and metrology for a wide spectral range. 

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