Dynamic Hedging with Stochastic Differential Utility
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Appendix D - Proof of Lemma 2<br />
Proof. Since J (z t )=h ¡ £ ¡ ¡ ¢¢¤¢ −1 E t h U W<br />
θt<br />
T ,thenh (J (zt )) = E £ h ¡ U ¡ WT −t¢¢¤ θt .<br />
Take the derivatives in both sides 26 :<br />
h 0 (J)J w = E<br />
·<br />
¡ ¡ ¢¢<br />
h 0 U W<br />
θt<br />
0 ¡ ¢<br />
T −t U W<br />
θt<br />
∂W θt<br />
T −t<br />
T −t<br />
∂w<br />
¸<br />
;<br />
h 0 (J)J x = E<br />
·<br />
¡ ¡ ¢¢<br />
h 0 U W<br />
θt<br />
0 ¡ ¢<br />
T −t U W<br />
θt<br />
∂W θt<br />
T −t<br />
We provide only the second derivative for J wx :<br />
h 00 (J) J w J x + h 0 (J) J wx = E<br />
T −t<br />
∂x<br />
¸<br />
.<br />
·µ<br />
h ¡ 00 U ¡ ¢¢ h ¡<br />
WT θt<br />
−t U 0 W<br />
θt<br />
T −t¢ i 2<br />
+<br />
h ¡ 0 U ¡ ¢¢<br />
W ¡ ¢¢<br />
T θt<br />
−t U<br />
00<br />
WT θt ∂WT θt<br />
−t<br />
−t<br />
∂w<br />
h ¡ 0 U ¡ ¢¢<br />
W ¡ T θt<br />
−t U<br />
0<br />
WT θt<br />
−t<br />
If we apply Proposition 3, this simplifies to<br />
0