Page 1 2011/12/25 下午06:42 1 第四章：不完全資訊靜態賽局 1. 假設Ｉ ...

4.P1A 賽 局局B 賽 局局P2P2L R L RU 0, 0 1, 1U 1, 1 0, 0P1D 1, 3 0, 4 D 0, 1 1, 0a. 求 解 以 上 賽 局局 A 與 賽 局局 B 之 奈 許 均 衡 , 並 寫 出 P2 在 賽 局局 A 與 賽 局局 B 之 均 衡 報 酬 。 答 : 賽 局局A 之 NE 是是 (U,R), 賽 局局 B 之 NE 是是 (U,L)。P2 在 兩 個 賽 局局 的 均 衡 報 酬 都 是是 1。b. 將將 資 訊 結 構 改 為 貝 氏 賽 局局 , 只 有 P1 擁 有 私 有 資 訊 , 知 道 兩 人 在 玩 賽 局局 A 或 是是 賽 局局 B。P2 則沒 有 私 有 資 訊 只 知 道 玩 賽 局局 A 的 機 率 是是 µ , 賽 局局 B 的 機 率 是是 ( 1 − µ ) 。 求 解 此 賽 局局 的 BNE?答 : 計 算 預 期 報 酬 後 寫 出 以 下 策 略 式 賽 局局 ,P1L( U, U ) ( 1 − µ ), ( 1− µ )µ , µ( U, D ) 0, ( 1 − µ )1, µ( D, U ) 1, ( 1+ 2µ )0, 4µ( D, D ) µ , ( 1+2µ )( 1 − µ ), 4µ11BNE ((D,U), L) if µ ≤ ,((U, D), R) if µ ≥ 。221c. 如 果 µ = , 在 他 沒 有 資 訊 的 貝 氏 賽 局局 中 ,P2 均 衡 報 酬 是是 多 少少 ? 對 照 你 在 a 小 題 的 答 案 , 請 問3擁 有 資 訊 是是 否 必 定定 使 參 賽 者 得 利 ? 答 : 均 衡 報 酬 1.667, 大 於於 P2 在 賽 局局 A 及 賽 局局 B 的 報 酬 。5. 在 雙 佔 市 場 中 廠 商 F1、F2 各 自 決 定定 其 產 量 q 1、 q 2 , 市 場 需 求 函 數數 為 是是 Q = 200 − P 其 中Q = q 1 + q 2 。F1 廠 的 單 位 生 產 成 本 是是 20,F2 廠 正 在 進 行 降 低 成 本 的 研 發 工 作 。 如 果 研 發 失 敗( 可 稱 為 F2H 廠 ) 其 單 位 生 產 成 本 是是 30, 而 若 研 發 成 功 ( 可 稱 為 F2L 廠 ) 其 單 位 生 產 成 本 是是10。F1 廠 無 法 知 道 對對 手 研 發 工 作 的 確 切 結 果 , 只 知 道 研 發 成 功 的 機 率 是是 ρ。 請 先 定定 義 再 完完 整整 求出 此 賽 局局 之 貝 氏 奈 許 Bayesian Nash 均 衡 。【 要 寫 計 算 過 程 , 切 記 均 衡 是是 策 略 組 態 , 形 式 必 需正 確 。】 答 : π q22H= −2H+ 170q2H− q1q2H, π q22L= − + 190q− q q2L2L1 2L,E π q21 = −1+ 180q1− q1( ρq2L+ ( 1−ρ)q 2 H ), 再 由∂π2H = 0, ∂π2L = 0 ,∂q2H∂q2L∂Eπ1 = 0∂q1q * 2 H* * *聯 立 解 出 BNE ( ( q)=( 160 + 10ρ) , q * ( 190 + 10ρ) 3 2 L3q 1 , 2H , q2L, 整整 理 後 得 到 q* ( 190 20ρ) 1 =−, 3= 。P2R6. 在 雙 佔 市 場 中 廠 商 F1、F2 各 自 決 定定 其 產 量 q 1、 q 2 , 市 場 需 求 函 數數 為 是是2011/12/25 下 午 06:42 3P = 400 − Q 其 中

Q = q 1 + q 2 。F1 廠 正 在 進 行 降 低 成 本 的 研 發 工 作 。 如 果 研 發 失 敗 ( 可 稱 為 F1H 廠 ) 其 單 位 成 本是是 40, 而 若 研 發 成 功 ( 可 稱 為 F1L 廠 ) 其 單 位 成 本 是是 20。F2 廠 的 單 位 成 本 則 是是 固 定定 的 40,F2 廠 無 法 知 道 對 手 研 發 工 作 的 確 切 結 果 , 只 知 道 研 發 成 功 的 機 率 是是 0.2。 請 先 定定 義 參 賽 者 之 類*型 集 合 T i , 策 略 集 合 S i , 再 完完 整整 求 出 賽 局局 貝 氏 奈 許 Bayesian Nash 均 衡 。 答 : q 3921 H = ,3*q 3621 L = ,3q*2 =3563。F1 沒 有 進 行 研 發 時時 是是 求 解 對對 稱 NE, 比 較 BNE 與 NE 解 發 現 …7. 在 雙 佔 市 場 中 廠 商 F1、F2 各 自 決 定定 其 產 量 q 1、 q 2 , 市 場 需 求 函 數數 為 是是 Q = 1000 −10P其 中Q = q 1 + q 2 。F1 廠 之 總 成 本 函 數數 是是 C 1(q1) = 6000 + 16q1, 而 F2 廠 正 在 進 行 降 低 成 本 的 研 發 工作 。 如 果 研 發 失 敗 ( 可 稱 為 F2H 廠 ) 其 總 成 本 是是 C 2(q2) = 9000 + 10q2, 而 若 研 發 成 功 ( 可 稱為 F2L 廠 ) 其 總 成 本 是是 C 2(q2) = 3000 + 8q2。F1 廠 無 法 知 道 對 手 研 發 工 作 的 確 切 結 果 , 只 知道 研 發 成 功 的 機 率 是是 ρ 。 求 解 此 賽 局局 之 貝 氏 奈 許 Bayesian Nash 均 衡 , 必 須 寫 出 完完 整整 過 程 。1 1 2先 算 出 π 2H = 100 q − q q − q −9000−10q ,2H101 2H102H2Hπ11011022L = 100 q − q q − q −3000−8q2L1 2L2L2LEπ∂π再 由 一 階 條 件∂q110110( q ( 1 ) ) 6000 161 2Lρ+ q H − − −121 = 100q− q − q1 12 ρq2 H=2H∂π20 ,∂qL= 0∂ Eπ 1, = 0解 出 此 賽 局局 之 貝 氏 奈 許 均 衡 為 :∂q2L1⎛ 20 ⎛ 10 10 ⎞= ⎜260− ρ , ⎜ 320 + ρ,330 + ρ ⎟⎝ 3 ⎝ 3 3 ⎠* * *⎞( q , ( q , q) ⎟⎠12H2L?? 試 著 思 考 : 在 第 四 題 中 我 們 用 一 個 例 子 顯 示 『 擁 有 資 訊 可 能 使 參 賽 者 報 酬 降 低 』, 在 數數 量 競 爭雙 佔 廠 商 貝 氏 賽 局局 中 , 也 有 可 能 發 生 這 種 情 況 嗎 ??8. 假 設 不 完完 全 資 訊 雙 佔 賽 局局 , 其 中 F1 的 類 型 集 合 是是 T 1 = { F1H, F1M, F1L}T 2 = { F2B, F2S}。,F2 的 類 型 集 合 是是a. 請 寫寫 出 此 賽 局局 的 類 型 組 態 集 合 T 以 及 定定 義 在 T 上 的 機 率 分 配 F。【 可 以 寫寫 出 任 意 一 個 F 的例 子 。】 答 : 類 型 組 態 集 合 T 中 共 有 六 個 元 素 , ( F H,F2B)自 己 寫寫 。b. F2 的 行 動 集 合 是是 A 2 = { 高 , 中 , 低 }九 個 元 素 ,( )寫寫 。1 是是 其 中 一 個 元 素 , 剩 下 五 個, 請 寫 出 F2 的 策 略 集 合 。 答 :F2 的 策 略 集 合 共 有低 、 中 是是 其 中 一 個 , 意 義 為 F2B 選 擇 「 低 」F2S 選 擇 「 中 」, 其 他 元 素 自 己9. A、B 兩 位 買 家家 想 要 標 購 某 項 商 品 , V A 、 V B 分 別 表 示 兩 位 買 家家 對對 此 商 品 的 真 實實 評 價 , 也 就就 是是 商品 所 能 帶 給 買 家家 的 效 用 , 假 設 此 商 品 不 能 轉 賣 , 僅 供 買 家家 個 人 消 費 用 。 b A 和 b B 表 示 兩 位 買 家家所 決 定定 的 標 價 。2011/12/25 下 午 06:42 4

a. 首 先 假 設 完完 全 資 訊 ( 買 家家 知 道 對 方方 的 真 實實 評 價 , 假 設 VA=35、 V B =68): 在 最 高 價 拍 賣 (firstprice auction) 方方 式 下 , 你 預 期 A、B 兩 位 買 家家 的 標 價 b A 和 b B 是是 多 少少 ? 賣 主 的 收 入 是是 多 少少 ?答 : 因 為 A 最 高 令 標 價 b A = 35 故 B 可 令 b B = 35 + ε 而 成 功 得 標 , 賣 主 收 入 是是 35 + ε 。b. 還 是是 完完 全 資 訊 , V A =35、 V B =68 同 上 小 題 : 在 次 高 價 拍 賣 (second-price auction) 方方 式 下 ,你 預 期 A、B 兩 位 買 家家 的 標 價 b A 和 b B 是是 多 少少 ? 賣 主 的 收 入 是是 多 少少 ?答 : 若 是是 A 的 標 價 高 於於 35, 有 可 能 得 到 負 報 酬 , 故 預 期 A 還 是是 最 高 令 標 價 b A = 35, 而 B可 以 表 達 其 真 實實 評 價 令 b B = V B = 68且 仍 然 付 出 次 高 標 價 為 商 品 價 格 , 則 賣 方方 收 入 還 是是35。c. 不 完完 全 資 訊 ( 兩 位 買 家家 不 知 道 對 方方 的 真 實實 評 價 , 並 且 V A、 V B 互 相 獨 立 ) 最 高 價 拍 賣 : 假設 V A、 V B 都 是是 均 等 分 配 於於 〔0,1〕 之 間 。 已 知 A 會 用 以 下 方方 式 決 定定 標 價 : bA= 0. 5VA。現 以 b 表 示 B 的 標 價 , 對對 B 而 言 , 只 有 三 種 可 能 :B 的 標 價 b>b A ,b= b A , 或 是是 bb 2 , 則 第 一 人 得 標 , 其 報 酬 為π1 = b1− v1; 當 b 1 α 2 v2]v1− b( v )P1、P2 標 價 相 同 Pr[ b = α 2 v2]1 − b2P1 的 標 價 較 低 , 沒 買 到 商 品 Pr[ b < α 2 v2]0P1 的 預 期 報 酬 是是 u1 ( b) = Pr[ b > α2v2]( v1− b) = Pr[ v2< b α2]( v1− b), 由 均 等 分 配 性 值 得 出Pr[ 2 2 ] b∂uv < b α = , 故 u ( b) = b α ( v − b)α 1 2 1 , 再 由 1 * v= 0 求 出 b = 1。2∂b22011/12/25 下 午 06:42 5

11. Explain that English auctions can attain Pareto efficiency. 2011/12/25 還 沒 教 , 暫 時時 省 略 。12. Consider the following rule for an auction with two buyers. Each buyer submits a bid b ∈{0,1,2,3 }simultaneously, i = 1, 2. The winner of the auction is the buyer who submits the higher bid. Whenthe two bids equal, the winner is selected from the two buyers randomly equal probability. Thewinner needs to pay a price. The price is not is his own bid, but it is equal to his rival , s bid. If abuyer win the object, his payoff is his valuation of the object, v , minus the price he pays. If abuyer does not win, his payoff is zero. Each buyer maximizer his own expected payoff. Supposethat v = 1 and v = 2 .ii(a) Submitting b 1 is Buyer 1 , s dominant strategy. 答 : 正 確 。(b) (1, b2) = ( 0,3)(c) (1, b2) = ( 1,2)(d) ( b ) ( 1,2 )1=b is a Nash equilibrium in the auction game. 答 : 正 確 。b is a Nash equilibrium in the auction game. 答 : 正 確 。b is a Pareto-optimal outcome for the two buyers. 還 沒 教 , 暫 時時 省 略 。1,2=(e) None of the above.ii13. In the equilibrium of an English auction,a. If it is private-valued, then every bidder stays until the price to his reservation. 答 : 正 確 。b. If it is private-valued, then the bidder with the highest reservation wins the auction. 答 : 正 確 。c. If it is common-valued, then every bidder still stays until the price rises to his reservation.答 : 不 正 確 。d. The seller might increase his profit by setting up a reserve price. 還 沒 教 , 暫 時時 省 略 。第 13~15 題 : 其 實實 不 是是 貝 氏 賽 局局 而 是是 屬 於於 簡 單 的 資 訊 經 濟 學學 問 題 , 暫 放 在 此 處 。 因 為 本 書 第 9 章與 第 10 章 講 的 資 訊 不 對對 稱 賽 局局 結 構 又 比 這 幾 題 更 複 雜 。 今 年 不 考 , 給 同 學學 欣 賞 用 。14. 95 財 金 所 考 慮 如 下 的 二 手 車 市 場 。 令 q 為 市 場 中 的 二 手 車 之 品 質 ,q 為 一 隨 機 變 數數 , 其 值介 於於 0 與 1 之 間 的 均 等 分 配 (uniform distribution)。 又 在 二 手 車 市 場 中 , 二 手 車 之 車 主 知 道 自 己的 車 子 真 實實 的 q 值 為 多 少少 , 但 買 方方 僅 知 道 q 的 分 配 。 令 P 代 表 買 方方 的 出 價 , 車 主 願 賣 的 條 件 是是 :2P ≥ q 。二 手 車 買 賣 規 則 如 下 。 買 方方 先 決 定定 並 公 開 宣宣 佈 P。 給 定定 P, 願 意 賣 車 者 表 達 願 賣 的 意 願 。 當 有很 多 車 主 願 意 賣 車 時時 , 買 方方 由 其 中 隨 機 挑 出 一 位 賣 方方 向 其 買 車 , 並 以 P 的 價 格 成 交 。 買 到 車 並開 始 使 用 後 會 得 知 所 買 之 車 的 q 值 。 其 獲 得 之 效 用 為 vq − P , 其 中 v 為 一 常 數數 。甲 、 若 v=2, 對對 買 方方 最 適 的 P 為 何 ?, 此 時時 其 所 買 到 的 車 之 平 均 q 值 為 何 ?乙 、 若 v=5, 對對 買 方方 最 適 的 P 為 何 ?, 此 時時 其 所 買 到 的 車 之 平 均 q 值 為 何2答 : 甲 :v=2, 買 方方 效 用 = 2 q − P 。 當 出 價 為 P 時時 , q ≤ P 的 車 主 願 賣 , 也 就就 是是 q ≤ P 。11這 些 車 子 的 平 均 價 值 是是 P , 故 買 方方 效 用 是是 2 × P − P , 買 方方 選 擇 出 價 P 來 極 大 化 此 效22用 , 解 出 P=0.25, 車 子 平 均 價 值 為 0.25。2011/12/25 下 午 06:42 6

1乙 :v=5, 買 方方 效 用 =5 q − P , 故 買 方方 效 用 是是 5 × P − P , 買 方方 選 擇 出 價 P 來 極 大 化2此 效 用 , 解 出 P=1.56, 但 是是 令 P=1 時時 所 有 的 車 子 都 願 意 出 售 , 故 買 方方 只 會 出 到 車價 上 限 P=1, 此 時時 車 子 平 均 價 值 為 0.5。15. There are many buyers who value high-quality used cars at the full-information market price of$1000 and lemons at $500. There are a limited number of potential sellers who value high-qualitycars at V1 1。 假 設 h > r 。 請 回 答 下 列 問 題 :a. 假 設 銀 行 經 理 在 借 貸 之 前 無 法 分 辨 貸 款 者 的 風 險 類 型 , 只 能 在 期 末 時時 知 道 貸 款 者 的 投 資成 功 或 失 敗 , 貸 款 者 若 投 資 失 敗 則 無 法 償 還 貸 款 , 若 投 資 成 功 他 會 償 還 貸 。 在 此 情 況 下銀 行 所 訂 定定 的 貸 款 ( 毛 ) 利 率 為 何 ? 在 這 利 率 下 , 高 低 風 險 者 的 貸 款 意 願 為 何 ?(hint: 與 h 的大 小小 有 關 ) 根 據 你 的 答 案 說 明明 借 貸 市 場 發 生 什 麼 問 題 ? 這 對對 社 會 福 利 有 什 麼 影 響 ? 請 說 明明其 經 濟 意 義 。b. 現 在 假 設 銀 行 經 理 規 定定 貸 款 者 必 須 兩 人 一 組 來 申 請 貸 款 , 若 銀 行 經 理 批 准 貸 款 案 , 則 該組 每 個 人 各 得 到 $1 資 金 進 行 投 資 , 若 是是 其 中 有 一 人 投 資 失 敗 , 則 投 資 成 功 者 必 須 負 擔所 有 的 債 務 的 償 還 。 我 們 仍 然 假 設 銀 行 經 理 無 法 分 辨 貸 款 者 的 風 險 類 型 , 而 且 每 個 貸 款者 也 不 知 道 其 他 貸 款 者 的 風 險 類 型 , 貸 款 者 的 分 組 是是 隨 機 抽 籤 決 定定 的 。 這 樣 的 組 團 借 貸的 清 況 下 , 若 高 低 風 險 者 都 願 意 貸 款 , 那 麼 銀 行 所 訂 定定 的 貸 款 ( 毛 ) 利 率 為 何 ? 在 這 利 率 下 ,h 須 滿 足 什 麼 條 件 低 風 險 者 才 願 意 貸 款 ? 組 團 借 貸 是是 否 可 解 決 題 (1) 中 借 貸 市 場 發 生 的 問題 ? 請 說 明明 其 經 濟 意 義 。2011/12/25 下 午 06:42 7

賽 局 題 庫第 五 章 : 動 態 完 全 資 訊 — 詳 盡 式 賽 局1. 考 慮 以 下 同 時時 行 動 賽 局局 ,P1 與 P2 可 選 擇 的 行 動 及 報 酬 如 表 :甲a. 找 出 此 賽 局局 的 單 純 策 略 奈 許 均 衡 。L乙A 8 2 7 9B 3 5 5 4C 10 7 6 6b. 改 變 賽 局局 規 則 , 假 設 兩 人 不 是是 同 時時 行 動 , 而 是是 甲 先 決 定定 行 動 , 乙 觀 察察 到 甲 的 行 動 之 後 再 做選 擇 。 畫 出 賽 局局 樹 (game tree) 並 寫 出 甲 及 乙 的 strategy set 中 的 所 有 元 素 。c. 何 謂 序 列 理 性 (sequential rationality)?d. 以 反 向 歸 納 (backward induction) 方方 法 解 出 b 小 題 賽 局局 的 SPNE (subgame perfect Nash* * *equilibrium 均 衡 )。 答 :SPNE 是是 s ( s s )甲 , 乙R**= , 其 中 s 甲 = ( C ), = ( R, L, L)s 乙 。e. 再 改 變 賽 局局 的 規 則 , 假 設 乙 先 決 定定 行 動 , 之 後 甲 再 做 選 擇 。 畫 出 賽 局局 樹 (game tree), 並 且* * *以 反 向 歸 納 方方 法 預 測 此 賽 局局 之 結 果 是是 什 麼 ? 答 :SPNE 是是 s ( s s )( C,A )*s 甲 = 。*= , 其 中 = ( R)乙 , 甲s 乙 ,2.a. 以 backward induction 方方 法 解 出 右 方方 賽 局局 的 均 衡 。 答 :SPNE 是是 s*= ( s* *1 , s2), 其 中 s*1 = ( 左 , Y,Y),s*2 = ( B,A )。b. 在 P2 行 動 之 後 、 賽 局局 結 束 之 前 ,P1 還 有 兩 個 決 策 點 。一 般 分 析 的 extensive form game 規 定定 這 兩 個 決 策 點 不能 包 含 在 同 一 個 information set 之 內 , 為 什 麼 ? 答 :P1不 可 以 忘 記 自 己 以 前 做 過 的 事3. 何 謂 完完 美 回 憶 perfect recall? 請 畫 出 兩 個 違 反 完完 美 回 憶 的 賽 局局 樹 的 例 子 。2011/12/25 下 午 06:42 8

4. 下 圖 表 示 投 資 人 與 中 央 銀 行 間 之 賽 局局投 資 人E F央 行央 行T S T S( ( ( (3 11 4 68 9 7 10) ) ) )其 中 E、F 表 示 投 資 者 將將 資 金 投 向 股 市 (Equity market) 或 匯 市 (Foreign exchange market),S、T 表 示 央 行 採 取 寬 鬆 (Soft) 或 緊 縮 (Tight) 金 融 政 策 。 第 一 行 數數 字 是是 投 資 者 的 報 酬 , 第 二 行 數數 字是是 央 行 報 酬 。* * *(a). 求 解 此 賽 局局 之 SPNE。 答 :SPNE 是是 s ( s s )**= , s 投 = ( E),* s ( S,S )投 ,央 行央 行 =(b). 依 照 你 在 (a) 小 題 的 回 答 , 將將 上 述 賽 局局 轉 換 成 2X4 的 雙 矩 陣 策 略 式 賽 局局 。 求 解 策 略 式 賽 局局的 奈 許 均 衡 。(c). 就就 序 列 理 性 的 觀 點 , 逐 一 分 析 你 在 (b) 小 題 求 出 的 Nash 均 衡 是是 否 合 理 ?答 :b 小 題 之 策 略 式 賽 局局 如 下 , 共 有 3 個 NE, 其 中 (F,(T,S)) 與 (E,(S,T)) 這 兩 個 NE 的灰 底 色 部 分 不 符 合 序 列 理 性 。(F,(T,S)) 中 的 T 不 合 理 是是 因 為 當 投 資 人 選 E 時時 , 央 行 選 T會 得 到 較 低 報 酬 ,8

a. 請 說 明明 此 賽 局局 為 何 不 能 用 反 向 歸 納 法 求 解 ?b. 求 解 統 一 進 入 大 陸 市 場 後 的 同 時時 行 動 子 賽 局局 的 奈 許均 衡 。 答 : 子 賽 局局 兩 個 NE,(D,N) 及 (N,D)。c. 求 解 全 部 完完 整整 賽 局局 的 子 賽 局局 完完 美 奈 許 均 衡 。 兩 個SPNE ((CN,D),N) 和 ((TW,N),D)。6. 詳 盡 式 賽 局局 可 以 由 節 點 node 依 照 前 位 predecessor 關 係 畫 出 樹 狀 圖 表 達 。 以 下 圖 型 都 不 符合 賽 局局 樹 的 規 則 , 請 解 釋 不 符 合 的 原 因 。a. P1 RLMP2P2A(812)Bb. P1AP2BP2L R L M Rc. P1 先 選 L 或 R, 接 著 P2 選 A 或 B, 接 著 P1 選 D 或 L, 然 後 P3 選 U 或 D。L R AP1 P2 答 : 違 反 『 不 能 是是 自 己 的 前 位 點 』賽 局局 可 能 陷 入 循 環 , 永 不 結 束 。UBP3 L P1DD2011/12/25 下 午 06:42 10

d. 虛 線 標 出 子 賽 局局答 :「 子 賽 局局 不 能 切 斷斷 資 訊 集 合 」7. 某 研 究 所 考 題 A、B 分 食 冰 淇 淋 ,A 先 提 議 兩 人 分 食 的 比 例 , 若 B 接 受 , 則 按 A 提 議 方方 式 分配 , 若 B 反 對 , 輪 到 B 提 案 , 只 是是 當 B 提 案 時時 , 冰 淇 淋 融 化 只 有 原 來 的 2/3,A 若 反 對 B的 意 見 , 再 換 回 A 提 案 , 此 時時 將將 考 慮 如 何 分 配 融 化 中 只 餘 原 先 大 小 1/3 的 冰 淇 淋 , 若 B 再表 反 對 , 等 不 及 新新 提 案 , 冰 淇 淋 便 化 光 了 , 誰 都 沒 得 吃 。A、B 希 望 自 己 吃 到 的 越 多 越 好 ,兩 人 精 打 細 算 , 完完 全 理 性 。 請 求 解 此 賽 局局 的 均 衡 。答 : 先 寫 出 此 賽 局局 架 構 ( 由 前 往 後 ) 並 建 立 變 數數 名 稱 以 便 分 析 :第 一 回 合 :A 要 求 x( 0 ≤ x ≤ 1),B 接 受 則 A 得 x,B 得 1-x 賽 局局 結 束 。B 拒 絕 則 進 入 下 一 回 合 。第 二 回 合 :B 要 求 y( 0 ≤ y ≤ 2 ),A 接 受 則 B 得 y,A 得 (2/3)-y 賽 局局 結 束 。3A 拒 絕 則 進 入 下 一 回 合 。第 三 回 合 :A 要 求 z( 0 ≤ z ≤ 1 ),B 接 受 則 A 得 z,B 得 (1/3)-z 賽 局局 結 束 。3B 拒 絕 則 兩 人 都 得 0, 賽 局局 結 束 。再 由 第 三 回 和 反 向 往 前 求 解 :B 在 第 三 回 合 : 因 為 拒 絕 得 0, 故 只 要 (1/3)-z ≧0,B 就就 接 受 。A 在 第 三 回 合 :A 最 多 可 以 要 求 z=1/3。A 在 第 二 回 合 :A 接 受 得 (2/3)-y, 拒 絕 則 進 入 第 三 回 和 。 而 A 在 第 三 回 和 最 多 可 以 得 到(1/3), 故 只 要 (2/3)-y≧(1/3),A 就就 會 接 受 。B 在 第 二 回 合 : 上 式 可 整整 理 成 y

at a rate of α per day and B discounts payoffs at a rate of β per day, 0

反 向 歸 納 求 解 :甲 在 第 三 天 : 因 為 拒 絕 得 20, 故 只 要 x 3 ≥ 20 , 甲 就就 接 受 。丙 在 第 三 天 : 建 議 ( x 3 , y3,z3) =(20,0,50)。丙 在 第 二 天 : 丙 接 受 得 z 2 , 拒 絕 進 入 第 三 天 得 50, 故 只 要 z 2 ≥ 50丙 就就 接 受 。乙 在 第 二 天 : 建 議 ( x 2 , y2,z2) =(0,40,50)。乙 在 第 一 天 : 乙 接 受 得 y 1, 拒 絕 進 入 第 二 天 得 40, 故 只 要 y 1 ≥ 40乙 就就 接 受 。甲 在 第 一 天 : 建 議 ( x 1 , y1,z1) =(60,40,0)。SPNE 分 配 (60,40,0)。10. 某 研 究 所 考 題 Consider the following game between one firm and one consumer. Thefirm, which can produce at zero cost, must select one of three prices:$25,$50, and$100. After the firm has selected a price, the consumer must decide whether or not topurchase one unit. Then, payoffs are collected. If the consumer does not purchase, hereceives a payoff of zero. If he does purchase at price p he receives a payoff of (110-p).Assume the firm has no costs and its payoff from any sale is equal to gross revenue.Draw the extensive from of the game assuming that the consumer can distinguishwhether the firm chose the highest price ($100) or did not choose the highest price butcannot directly observe which of the other two prices the firm might have chosen. Also,find the Nash equilibrium.答 : 圖 型 如 右 ,SPNE 是是* *( )*= , = ( 100)*s s F , s C( 買 , 買 )*s C = 。s F ,11. 兩 家家 生 產 異 質 產 品 的 廠 商 F 1與 F 2 進 行 價 格 競 爭 , 其 需 求 函 數數 分 別 為 : q 1 = 40 − 2p1+ p2,q2 = 20 + p1− p2上 式 中 p i 與 q i 分 別 表 示 兩 廠 的 價 格 和 產 量 , i = 1, 2 。 假 設 兩 廠 有 相 同 的 生產 技 術 , 固 定定 單 位 成 本 都 是是 2 元 , 沒 有 變 動 成 本 。( 善 意 的 提 醒 : 利 潤 函 數數 π i寫寫 正 確 !)=piqi− 2qi要a. 假 設 賽 局局 的 規 則 是是 F 1先 決 定定 價 格 p 1, F 2 在 看 到 p 1之 後 才 決 定定 自 己 的 價 格 p 2, 請 用 反 向∂π歸 納 方方 法 求 出 兩 廠 的 均 衡 價 格 。 答 : 先 由2 = 0 解 出 F2 的 最 佳 反 應 函 數數∂p2dπp2= 11 + 0.5 p1, 代 入 π 1中 , 之 後 由1 =*0 解 出 p 1 = 18 , 再 代 入 F2 最 佳 反 應 函 數數 解 出dp1*p 2 = 20 。2011/12/25 下 午 06:42 13

. 現 在 將將 賽 局局 的 規 則 改 變 成 F 2 先 決 定定 價 格 p 2 , F 1在 看 到 p 2 之 後 才 決 定定 自 己 的 價 格 p 1。同 樣 用 反 向 歸 納 法 求 出 兩 廠 的 均 衡 價 格 。 答 : 方方 法 類 似 a 小 題 , 但 現 在 是是 先 求 F1 的 最* 5 * 2佳 反 應 函 數數 , 再 將將 其 代 π 2 中 。 解 出 p 1 = 16 , p 2 = 21 。12 3c. 賽 局局 中 是是 否 先 行 動 者 一 定定 佔 到 優 勢 ? 如 果 兩 廠 商 是是 進 行 數數 量 競 爭 , 先 決 定定 數數 量 的 廠 商 是是 否會 佔 到 優 勢 ( 回 答 時時 可 以 不 計 算 , 僅 用 文文 字 推 理 )?12. 假 設 某 市 場 只 有 兩 個 生 產 者 ,F 1 和 F 2 。 兩 廠 各 自 決 定定 其 產 量 qi, i =1, 2 , 而 市 場 總 產 量 是是 :q 1 + q 2 = Q, 需 求 函 數數 是是 P( Q)= a − Q。 假 設 兩 廠 的 成 本 函 數數 相 同 Ci( qi) = cqi, i = 1, 2。 將將F 1 設 定定 為 leader,F 2 是是 follower, 請 說 明明 Stackelberg 賽 局局 之 時時 間 順 序 及 如 何 求 解 。 答 案 中必 需 用 到 backward induction 概 念 及 清 楚 寫 出 二 廠 之 best reply functions。13. 某 獨 佔 廠 商 面 對 的 市 場 需 求 是是 簡 單 線 性 函 數數 P = 40 − t − 2Q, 其 中 P 、Q 分 別 是是 商 品 的 價 格 與數數 量 ,t 則 代 表 政 府 對 每 單 位 產 品 所 徵 收 的 稅 金 , 我 們 並 且 假 設 廠 商 的 單 位 生 產 成 本 =6, 是是固 定定 的 常 數數 。 賽 局局 進 行 的 順 序 是是 第 一 期 政 府 先 決 定定 稅 金 t 的 大 小 , 廠 商 知 道 t 之 後 , 在 第 二 期再 決 定定 自 己 的 產 量 。 廠 商 的 目 標 是是 追 求 利 潤 π = TR − TC = PQ − 6Q之 極 大 , 政 府 的 目 標 則 是是在 追 求 租 稅 收 入 T = tQ 之 極 大 。*dQ * (a). 請 寫 出 廠 商 的 最 佳 反 應 函 數數 ( 將將 最 適 產 量 Q 表 達 為 稅 金 t 的 函 數數 ), 並 求 出 。 答 : 廠dt** 17 tdQ 1商 的 最 佳 反 應 函 數數 是是 Q = − , 對 此 函 數數 偏 微 分 得 到 = − 。2 4dt 4(b). 利 用 反 向 歸 納 慨 念 以 及 你 在 (a) 小 題 的 答 案 , 求 解 政 府 的 最 適 稅 率 t 。 答 : t 17 。(c). 現 在 改 變 市 場 結 構 , 假 設 有 兩 家家 廠 商 生 產 此 產 品 , q 1 、 q 2 是是 兩 廠 的 產 量 。 廠 商 的 利 潤 函 數數是是 π i = TR −TC= ( 40 − t − 2( q1+ q2)) qi− 6qi, i = 1,2 。 請 寫 出 廠 商 的 最 佳 反 應 函 數數 並 求 解 ,***dq現 在 是是 將將 最 適 產 量 q i 表 達 為 稅 金 t 的 函 數數 , 並 求 出 i * 17 t dq 1。 答 : q = − , = − 。dt3 6 dt 6(d). 對 於於 雙 佔 廠 商 , 利 用 反 向 歸 納 慨 念 以 及 你 在 ( c ) 小 題 的 答 案 , 求 解 最 適 稅 率 t 。 答 : t 17 。(e). 比 較 你 在 (b)、(d) 兩 小 題 的 答 案 來 比 較 政 府 對 獨 佔 及 雙 佔 市 場 之 稅 率 與 稅 收 有 何 差 異 。 答 :*稅 率 t 相 同 但 總 稅 收 在 雙 佔 較 多 , 因 為 雙 佔 總 產 量 較 多 。14. 在 一 個 賽 局局 中 如 果 A 選 上 ,B 選 左 , 則 A 得 12、B 得 20; 如 果 A 選 下 ,B 選 左 , 則 A 得 1、B 得 1; 如 果 A 選 上 ,B 選 右 , 則 A 得 12、B 得 20; 如 果 A 選 下 ,B 選 右 , 則 A 得 15、B得 2; 請 寫 出 兩 人 的 報 酬 矩 陣 。 如 果 A 有 權 利 先 選 擇 策 略 , 則 合 理 的 均 衡 會 在 哪 裡 ?答 : 自 己 寫 同 時時 行 動 賽 局局 的 報 酬 矩 陣 ,NE 是是 ( 上 , 左 ) 及 ( 下 , 右 )。 若 A 先 選 , 合 理 的均 衡 路 徑 是是 A 選 下 ,B 選 右 。 對 A 先 選 的 詳 盡 式 賽 局局 , 有 兩 個 SPNE( 下 ,( 左 , 右 )) 及( 下 ,( 右 , 右 ))。** =** =2011/12/25 下 午 06:42 14

15. P1LRP2P2A B A BP3 P3 P3 P3X Y X Y X Y X Y( ( ( ( ( ( ( (9 6 0 2 5 3 8 123 2 1 9 4 6 7 45 4 7 9 3 5 1 6) ) ) ) ) ) ) )a. 找 出 虛 線 標 出 之 子 賽 局局 的 Nash 均 衡 答 :(A,Y)。b. 求 上 列 賽 局局 的 subgame perfect Nash 均 衡 。 答 :(R,(B,A),(X,Y,Y))16. 93 政 大 財 政 Suppose that the market demand function of an oligopoly isp(y 1 +y 2 )=120-4(y 1 +y 2 ), where y 1 and y 2 are the outputs of firm 1 and firm2, respectively.Suppose also for simplicity that the costs of producing y 1 and y 2 are zero.* *a. (7 points) Find the Cournot equilibrium. 答 : y 1 = y2= 10 。b. (8 points) Suppose that firm 1 is a leader and firm 2 is a follower. Find the* *Stackelberg equilibrium. 答 : y 1 = 15, y 2 = 7. 5 。17. 【 淡 江 經 濟 】 汽 油 市 場 的 需 求 函 數數 為 P = 280 − Q , 追 求 極 大 利 潤 的 獨 占 廠 商 中 油 其 成 本 函 數數為 TC = 40Q(a) 求 中 油 的 價 格 、 數數 量 及 利 潤 。(b) 具 有 相 同 成 本 函 數數 的 台 塑 汽 油 進 入 市 場 , 兩 廠 商 形 成 Cournot 解 , 請 求 其 價 格 、 數數 量 及 利潤 。(c) 如 果 台 塑 心 存存 觀 望 , 願 為 追 隨 者 。 根 據 Stackelberg 模 型 , 請 求 兩 廠 商 的 價 格 、 數數 量 及 利 潤 。18. 兩 家家 生 產 異 質 產 品 的 廠 商 F 1與 F 2 進 行 價 格 競 爭 , 其 需 求 函 數數 分 別 為 : q 1 = 50 − 2 p 1 + p 2 ,q2 = 50 − 2 p2 + p1上 式 中 p i 與 q i 分 別 表 示 兩 廠 的 價 格 和 產 量 , i = 1, 2。 假 設 兩 廠 有 相 同 的 生產 技 術 , 固 定定 單 位 成 本 都 是是 4 元 , 沒 有 變 動 成 本 。a. 假 設 兩 廠 同 時時 決 定定 價 格 , 求 解 兩 家家 廠 商 均 衡 價 格 及 利 潤 。2011/12/25 下 午 06:42 15

. 改 變 賽 局局 規 則 , 現 在 假 設 F 1是是 領 導 廠 商 , 他 先 決 定定 價 格 p 1, F 2 在 看 到 p 1之 後 才 決 定定 自 己的 價 格 p 2 。 請 對 此 新新 賽 局局 請 求 解 兩 廠 均 衡 價 格 及 利 潤 。 現 在 比 較 F 1與 F 2 利 潤 , 請 問 價 格競 爭 雙 佔 模 型 中 , 先 行 動 的 領 導 廠 商 是是 否 具 有 優 勢 ?19. 89 政 大 國 貿 6. Suppose that there are two firms in the market. The market demand curveis P=20-Q. Now the cost for firm 1 is C(1)=Q(1)+5, where C(1) represents the cost for firm1, and Q(1) represents the output for firm 1. And the cost for firm 2 is C(2)=2Q(2)+3,where C(2) represents the cost for firm 2, and Q(2) represents the output for firm 2.a. What are the Cournot-Nash equilibrium price and output level for each firm? 答 :* 20 * 17Q 1 = , Q 2 = 。3 3b. What are the Stackelberg equilibrium price and output level for each firm if firm 1 is the* *leader? 答 : Q 1 = 10 , Q 2 = 4。20. 92 金 融 所 Two quantity-setting firms in a market face a linear inverse demand function:P = 1 − Q , where Q is industry output. Both firms have identical costs of production:( q) 0.5q2C = .* 2 * 5a. Compute the Stackelberg equilibrium with firm 1 as the leader. 答 : q 1 = , q2= 。7 21b. Compute the Cournot-Nash equilibrium. 答 : q* *1 = q2=14Suppose now that firm 1 can sell the same good as monopolist in another market as well.The demand function of the second market is D( p) = a − p.c. How does the Cournot-Nash equilibrium of (b) change? 答 : 先 算 出 F1 在 獨 占 市 場 的 最* a適 產 量 是是 Q 1 = , 故 F1 先 生 產 此 產 量 供 應 獨 占 市 場 , 之 後 再 進 行 雙 佔 賽 局局 。 但 是是 因 為 F13* a1 ⎛ a ⎞已 經 生 產 了 Q 1 = 的 產 量 , 故 F1 現 在 在 兩 市 場 總 共 成 本 是是 ⎜ + q1⎟ 其 中 在 雙 佔 市 場 的32 ⎝ 3 ⎠2成 本 是是 C ( q )11 ⎛ a ⎞= ⎜ + q1⎟2 ⎝ 3 ⎠22⎛ a ⎞− ⎜ ⎟ 。 將將 此 成 本 帶 入 F1 在 雙 佔 市 場 的 利 潤 函 數數 中 ,F2 的 利 潤⎝ 3 ⎠* 2 − a * 6 + a函 數數 不 變 , 再 由 兩 條 一 階 函 數數 聯 立 解 出 均 衡 為 q1= , q2= 。8 24* ad. How do firm 1’s overall profits change as a changes? 答 :F1 在 獨 占 市 場 生 產 Q 1 = 乘32011/12/25 下 午 06:42 16

上 獨 佔 市 場 價 格 得 到 獨 占 市 場 總 收 入 。 在 雙 佔 市 場 F1、F2 產 量 解 出 如 上 小 題 , 代 入 可 求出 雙 佔 市 場 價 格 及 F1 在 雙 佔 市 場 總 收 入 。F1 總 利 潤 = 獨 占 市 場 總 收 入 + 雙 佔 市 場 總 收 入a 2 − a- 生 產 + 的 總 成 本 。 此 利 潤 對 a 偏 微 分 之 正 負 即 可 知 道 a 變 動 對 F1 總 利 潤 的 影 響 。3 821. There are five sheep taking Taipei Metro at station T0 while they unexpectedly meet a wolf on thecarriage. The Taipei Metro prohibits eating on carriage, accordingly sheep have two choices, tostay (S) or alight (L) at each station T1 to T4, to escape the wolf. Sheep can alight in crowds,alight separately at different station or stay. IF a sheep alights, the wolf may have two choices: tofollows (F) or to do nothing (N). If the wolf follows, then it eats every sheep that getting off thecarriage at a station. T5 is the terminal that every sheep and wolf need to get off (so every sheep atthe terminal T5 would be eaten if the wolf does not get off in T1 to T4). Each sheep has the payoff1 if it survives but -1 if it is eaten. Wolf has the payoff 1 for eating a sheep, 2 for eating two sheep,and so on. For one pair of sheep and wolf, we get the game tree below. In addition; sheepmaximize the sum of payoffs of all sheep as the goal.(a) What is the optimal choice for those five sheep?(b) If there are seven sheep at the beginning, then what is the optimal choice for those seven sheep?(c) If there are N sheep at the beginning, then what is the optimal choice for those N sheep?上 圖 是是 『 一 隻 羊 』 與 狼 的 賽 局局 樹 , 但 是是 題 目 說 明明 羊 的 目 標 是是 追 求 所 有 羊 總 報 酬 極 大 , 故 應 該 是是『 五 羊 團 隊 』( 以 下 簡 稱 「 五 羊 」) 與 狼 的 賽 局局 , 而 不 是是 『 一 隻 羊 』 與 狼 的 賽 局局 。 對 於於 『 五 羊 』 與 狼的 賽 局局 , 在 T1 站 若 有 x 1 隻 羊 下 車 並 且 狼 選 擇 不 跟 隨 下 車 , 此 時時 還 不 知 道 共 有 幾 隻 羊 被 吃 , 故 無 法寫 出 報 酬 。 故 狼 在 T1 站 選 擇 N1 會 進 入 T2 站 而 不 是是 到 達 賽 局局 的 結 束 點 。完完 整整 的 『 五 羊 』 與 狼 之 賽 局局 樹 太 複 雜 , 可 以 畫 出 但 對 分 析 幫 助 不 大 , 故 省 略 。 我 們 利 用 以 下 簡 圖 ( 這只 是是 示 意 圖 , 不 是是 賽 局局 樹 , 因 為 違 反 「?」 規 則 , 自 己 想 ) 分 析 。『 五 羊 』 在 T1 到 T5 站 各 決 定定 要讓 x 1 到 x 5 隻 羊 下 車 。x 1 隻 羊 在 T1 站 下 車 後 , 車 上 剩 下 5-x 1 隻 羊 , 其 他 各 站 依 此 類 推 。 終 點 T55∑ i=1 i站 時時 所 有 羊 都 必 須 下 車 , 故 限 制 式 為 x = 5。 狼 在 T1 站 決 定定 選 F1 跟 隨 下 車 或 是是 選 N1 不 下 車 。狼 選 F1 可 以 吃 掉 下 車 的 x 1 隻 羊 , 賽 局局 結 束 ,『 五 羊 』 之 結 果 為 x 1 死 (5-x 1 ) 活 , 故 報 酬 為1× 5− x + − 1 × x = 5− 2x; 狼 之 報 酬 為 x 1 。 狼 選 N1 則 進 入 T2 站 , 車 上 此 時時 還 剩 下 (5-x 1 ) 隻 羊 ,( ) ( )1 1 1抵 達 T2 站 時時 『 五 羊 』 再 決 定定 派 x 2 隻 羊 下 車 , 如 此 繼 續 可 寫 出 賽 局局 各 結 束 點 之 報 酬 。2011/12/25 下 午 06:42 17

5MAX 1 2 3 4 x5之 極 小 化 , 限 制 條 件 為 ∑ i=x = 51 i 。 故 均 衡 解 為 x i = 1 ∀i也 就就 是是 五 隻 羊 應MAX x1 ,x2,x3,x4, x5表示 在 x 1到 x 5 之 間 取 極 大 值 。求 ( x ,x ,x ,x , )該 在 每 站 各 下 車 一 隻 羊 ,『 五 羊 』 之 均 衡 報 酬 為 4 活 1 死 ,4-1=3。** ( )小 題 答 案 : 當 情 況 轉 變 為 『 七 羊 』 與 狼 的 賽 局局 時時 ,「 七 羊 」 之 問 題 是是 求 MAX ( x ,x ,x ,x , )b 小 題 答 案5∑ i = 1 i小 化 , 但 現 在 限 制 條 件 是是 = 7x 。 能 使 ( x ,x ,x ,x , )1 2 3 4 x5之 極MAX 1 2 3 4 x5極 小 的 分 配 方方 法 是是 有 2 站 分 配 2隻 羊 下 車 , 其 他 3 站 都 是是 1 隻 羊 下 車 。7 除 5 之 商 為 1, 餘 數數 為 2, 也 就就 是是 每 站 各 下 車 一 隻 羊 後 還多 出 2 隻 , 餘 數數 這 兩 隻 羊 平 均 分 配 在 任 意 兩 站 都 可 以 。 圖 4 是是 餘 數數 平 均 分 配 在 最 後 兩 站 ,『 七 羊 』的 均 衡 報 酬 是是 5 活 2 死 ,5-2=3。圖 4.『 七 羊 』 每 站 下 車 羊 數數 平 均 , 餘 數數 平 均 分 配 在 最 後 2 站6 5 4 2 ( 3 , 2 )1 1 1 2N1 N2 N3 N4L L L LF1 F2 F3 F4( 5 , 1 ) ( 5 , 1 ) ( 5 , 1 ) ( 3 , 2 )c 小 題 答 案 : 經 過 a、b 小 題 之 分 析 , 可 知 當 有 N 隻 羊 時時 , 以 k 表 示 N 除 以 5 的 商 數數 , 1 ≤ p ≤4為餘 數數 。 則 『N 羊 』 的 最 適 行 為 是是 p 站 有 (k+1) 隻 羊 下 車 , 其 餘 的 5-p 站 派 k 隻 羊 下 車 。 狼 將將 會 在 某個 (k+1) 羊 下 車 處 跟 隨 下 車 , 狼 吃 掉 這 些 羊 後 報 酬 為 (k+1),『N 羊 』 之 結 果 是是 (k+1) 死 N-(k+1) 活 , 報酬 為 N-2(k+1)。2011/12/25 下 午 06:42 19