v2006.03.09 - Convex Optimization

14 CONVEX OPTIMIZATION & EUCLIDEAN DISTANCE GEOMETRY2.3.1 Affine dimension, affine hull . . . . . . . . . . . . . . . 652.3.2 Convex hull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3.2.1 Comparison with respect to R N + . . . . . . . . 682.3.3 Conic hull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.4 Vertex-description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4 Halfspace, Hyperplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.1 Halfspaces H + and H − . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.1.1 PRINCIPLE 1: Halfspace-description . . . . . 742.4.2 Hyperplane ∂H representations . . . . . . . . . . . . . 762.4.2.1 Matrix variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.2.2 Vertex-description of hyperplane . . . . . . . 782.4.2.3 Affine independence, minimal set . . . . . . . 782.4.2.4 Preservation of affine independence . . . . . . 792.4.2.5 affine maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4.2.6 PRINCIPLE 2: Supporting hyperplane . . . . 822.4.2.7 PRINCIPLE 3: Separating hyperplane . . . . 842.5 Subspace representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.5.1 Subspace or affine set. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.5.1.1 . . . as hyperplane intersection . . . . . . . . . 862.5.1.2 . . . as span of nullspace basis . . . . . . . . . . 872.5.2 Intersection of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.6 Extreme, Exposed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.6.1 Exposure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.6.1.1 Density of exposed points . . . . . . . . . . . 912.6.1.2 Face transitivity and algebra . . . . . . . . . 922.6.1.3 Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.7 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.7.1 Cone defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.7.2 Convex cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.7.2.1 cone invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.7.2.2 Pointed closed convex cone and partial order . 992.8 Cone boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.8.1 Extreme direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.8.1.1 extreme distinction, uniqueness . . . . . . . . 1022.8.1.2 Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.8.2 Exposed direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.8.2.1 Connection between boundary and extremes . 1062.8.2.2 Converse caveat . . . . . . . . . . . . . . . . . 108