 1 - Uuooidata.org

Практична частинаМодуль 10. Диференціювання функцій1. Контрольні запитання1. Сформулюйте правило диференціювання складеної функції y f ( u( x)).2. Який зв’язок між похідними функції y f ( x)і оберненої до неї функціїx f 1 ( y)?3. Що звуть логарифмічною похідною функції? До яких функцій доцільно застосовуватилогарифмічну похідну?4. Запишіть таблицю похідних основних елементарних функцій.5. Сформулюйте основні правила диференціювання.6. Як знаходять похідну неявної функції?7. Сформулюйте правило диференціювання функцій, заданих параметрично.8. У чому полягає інваріантність форми першого диференціала?2. Навчальні задачіНавчальназадача 10.1.Знайти похідну функції (диференціювання тригонометричнихфункцій):1) f ( x) sin 3 x;2) f ( x) cos lx;x3) y tg ;4) f ( x) ctg qx;2215) f ( x) sin(2 x );6) f ( x) cos ;21 x27) f ( x) 3(sin x) ;8) f ( x) tg 3 x;12 29) f ( x) ; 10) f ( x) sin x 3 cos 4 x;3cos x3ctg x11) f ( x) x sin x;12) f ( x) .22xВикористаймо похідні від тригонометричних функцій:u(sin u) cos u u;(tg u) ;2cos u(cos u) sin u u;u(ctg u) .2sin u1) f ( x) (sin 3 x) (sin u) cos 3 x (3x) 3 cos 3 x.u3xпохіднасинусапохіднааргументу2) f ( x) (cos lx) sin lx ( lx) l sin lx.3)1 x x2 1f ( x) tg . 2 cos 2 cos2 x2 x2 2

Модуль 10. Диференціювання функційf ( x) th x ;3) f ( x) ln sh x;4) f ( x) cos(cth x). Стануть у пригоді формули диференціювання гіперболічних функцій:(sh u) ch u u,(ch u) sh u u,uu(th u) ,(cth u) .2 2ch ush u21) f ( x) sh x 2 sh x ch x. 3 2 2 2 12) f ( x) th x 3 th x 2 x. 2 2ch xch x3) f ( x) ln sh x cth x.sh x 1 sin cth x4) f ( x) cos(cth x) sin cth x .2 2sh x sh xНавчальна Продиференціювати функції:2задача 10.5. 1) f ( x) 1 x ;2)3 22) f ( x) (2a 3 cos 2 x) , a const;33) f ( x) x 3 arctg x arcsin 3 x;3tg y4) f ( y) ;ln 3y 1 2 1 22 12 21) f ( x) 1 x 1 x (1 x ) 21 12 1 2x x ( 2 x ) .2 21 x22) f ( x) (2a 3 cos 2 x) 2(2a 3 cos 2 x)(2a 3 cos 2 x) 2(2a 3 cos x)( 3 sin 2 x)(2 x) 12 sin 2 x(2a 3 cos x).3)1 3 3f ( x) x(arctg x) (arcsin 3 x) 1 3 1 3 x(arctg x) x (arctg x) 3 arcsin 2 3 x (arcsin 3 x) 31 (arctg x) 2 (3 x) arctg x x 3 arcsin 3x 3 3 2 2arctg x1 9x23 1 x 9 arcsin 3x arctg x .3 (12 )3 arctg2 1 92 x x x2

Модуль 10. Диференціювання функцій 3 3 3tg y (tg y ) ln 3y tg y (ln 3 y)4) f ( y) ln 3y 2 ln 3y23y3 3ln 3y tg y 2 333 3 3cos yy 3y ln 3y sin y cosy.2 2 3 2ln 3y y cos y ln 3yНавчальна Продиференціювати функції:3 4задача 10.6.( x 1) x 21) f ( x) ;5 2 2( x 3) ( x 4)sin x2) f ( x) (cos x) .1) Диференціюючи складену функцію буває зручним спершу її прологарифмувати. 3 4( x 1) x 2 f ( x) f ( x) ln 5 2 2 ( x 3) ( x 4) 1 2 f ( x)(3 ln( x 1) ln( x 2) ln( x 3) 2 ln( x 4)) 4 53 4( x 1) x 2 3 1 2 2 .5 2 2( x 3) ( x 4)x 1 4( x 2) 5( x 3) x 4 sin x2) f ( x) f ( x)(ln(cos x) ) f( x)(sin x ln cos x) 2sin xsin x (cos x) cos x ln cos x .cos x Навчальна Знайти похідну функції y( x ), заданої неявнозадача 10.7.3 3x y 3axy 0. Перехід від неявного задавання функції до явного часто буває складним,а то й неможливим. Для знаходження похідної y не рекомендованопереходити від неявного задавання функції до явного.Диференціюємо обидві частини рівності, що задає функцію y( x ) неявно, за x :Навчальназадача 10.8.2 23x 3y y 3ay 3axy 0;2 2(3y 3 ax) y 3x 3 ay;2x ayy 2. y axЗнайти похідну параметрично функції x tg t t, y( x) : 1 t ;2 2 для довільного значенняt і для t . y 2, cos t4dydx

Модуль 10. Диференціювання функцій2 sin t3cos 2 sin t yx ( t) t 3;1 cos cos2 1t tcos t x tg t t,4yx ( x) : 2 sin t yx | .y ( )3; t xt 4 3 cos t cos tНавчальна Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої L узадача 10.9. 1 1 x 2 ,t tточці (2; 2), якщо L : 1 3y 2 .2t2tТочці (2; 2) кривої відповідає значення параметра t 1.ytt 6 7yx( t) ; yx| t 1.xt2t 4 6Рівняння дотичної:7y 2 ( x 2); 6y 7x 2 0.6Рівняння нормалі:6y 2 ( x 2); 7y 6x 26 0. 7Навчальна Знайти диференціал функції f ( x) 1 ctg 3 x.задача 10.10.1 1 3 f ( x) 2 3 2;2 1 ctg 3x sin 3x 2 sin 3x 1 ctg 3x3dxdf( x) 2. 2 sin 3x1 ctg 3x3. Задачі для самостійного розв’язанняЗадача 10.1. Знайдіть похідну функції:31) f ( x) ch x;1 22) f ( x) sh x sh x;33) f ( x) ch sin x;4) f ( x) sin(ch x);5) f ( x) ln ch x;6) f ( x) ln th x;7) f ( x) cosx ch x sin x sh x;1 38) f ( x) th x th x;3

Модуль 10. Диференціювання функційch x cosx9) f ( x) .sh x sin x211) 3 ch x sh x;2) ch x sh 2 x;3) sh sin x cos x;4) cos ch x sh x;5)32th x ; 6) ; 7) 2 cos sh ;sh 2x x x 8) 1;4ch x 9) 2 sh x sin x. 2(sh x sin x)Задача 10.2. Напишіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функціїy f ( x)у заданій точці:1) y x, x0 4;y x 2x 4x 3, x0 2.1) x 4y 4 0, 4x y 18 0; 2) y 5 0, x 2 0. Задача 10.3. У яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до кубічної3параболи y x дорівнює 3?1) (1;1),( 1; 1).2)3 2Задача 10.4. Під якими кутами перетинаються парабола y2 x тапряма 3x y 2 0?1 1 1 arctg , 2 arctg . 7 13Задача 10.5. У якій точці дотична до параболи y2 x :1) паралельна прямій y 4x 5;2) перпендикулярна до прямої 2x 6y 5 0;3) утворює із прямою 3x y 1 0 кут 45 3 9 1) (2;4); 2) ; ; 3) ( 1;1) 2 4 1 1 ; . 4 16 Задача 10.6. Знайдіть похідні y функції y( x ), заданої неявно:2 2x y1) 1;2 2a b3 32) x y 3axy 0;3) 2y ln y x;4) cos( xy) x;2 3 2 3 2 3;5) x y a6) y x arctg y;y x7) x y .

2Модуль 10. Диференціювання функцій2b x1) ; ay x11 y sin( xy) y 2) ; 3) ; 4) ; 5) 3 ;2 2a y y ax 2(1 ln y)x sin( xy)x2 21 y y xy ln y6) ; 7). 22y x xy ln xЗадача 10.7. Знайдіть похідну yxфункції y( x ), заданої параметрично:1) x a( sin ), y a(1 cos );t 1 t 12) x , y ;t t23) x ln(1 t ), y t arctg t;23at3at4) x , y .3 31 t 1 t1) yx: x a( sin ), yx( ) ctg ;212) yx: x 1 , yx( t) 1;t32 t(2 t )3) yx: x ln(1 t ), yx( t) . 31 2tЗадача 10.8. Напишіть рівняння дотичної та нормалі до еліпса 3 x 3 cos t,y 4 sin t,у точці;2 2 . 2 4 3 7 2y x 4 2 0, y x 0. 3 4 8Задача 10.9. Обчисліть наближено за допомогою 1-го диференціала:1) arctg1, 02; 2) arctg 0, 97;3) arcsin 0, 05; 4) ln1,2.1) 0,795; 2) 0,770; 3) 0, 050; 4) 0,182.