Equazioni di secondo grado

Capitolo7Equazioni di secondo gradoInterpretazione graficaVerifica per la classe secondaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ParabolaQuesiti1.a Data la funzionef 1x2 3x 2 2x 1(dopo aver riconosciuto che il grafico della f(x) è una parabola)a) trovare le coordinate del vertice V e del punto A di intersezione dellaparabola con l’asse y;b) trovare l’equazione dell’asse di simmetria;c) scrivere la funzione f(x) come somma del quadrato di un binomioe di una costante;d) tracciare il grafico della parabola sul piano cartesiano;e) trovare i punti B e C di intersezione della parabola con l’asse x.2.a Vero o falso?1. La retta x 100 non interseca la parabola.2. I punti P(2; 7) e Q(2; 7) appartengono alla parabolae sono simmetrici rispetto all’asse di simmetria.VVFFPunti.../....../...Y y 4 33. La traslazione µtrasforma la parabolaX x 1 3nella : Y 3X 2 .4. Il punto V a 1 è il vertice V della nel sistema XOY.3 ; 0bVVFFParametriche3.a Dato il fascio di curve di equazioney 1k 12 x 2 2kx 2 kdeterminare per quali valori di k:a) la curva non è una parabola, e individuare l’equazione e il tipo ditale curva;b) la curva passa per l’origine, e individuarne l’equazione;c) le curve hanno la concavità volta verso il basso;d) le curve sono tangenti all’asse x;e) le curve hanno due intersezioni con l’asse x di segno opposto;f) Facoltativo: le intersezioni delle curve con l’asse x sono entrambenon negative..../...144© 2007 RCS Libri S.p.A.

Equazioni di secondo grado Capitolo7Numeri complessiVerifica per la classe secondaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Pianocomplesso1.a Rappresentare sul piano complesso i seguenti numeri:z 1 3 2iz 2 22iz 4 232 1 2 iz 5 iPunti.../...z 3 4 3z 6 3 2iDefinizioni2.a Scrivere per ciascuno dei precedenti numeri complessi z l’oppostoe il coniugato z :z¿.../...z z zz 1 3 2iz 2 22iz 3 4 3z 4 232 1 2 iz 5 iz 6 3 2iOperazioniEquazioni© 2007 RCS Libri S.p.A.3.a Calcolare (eventualmente aiutandosi con la rappresentazione dell’esercizio1.a):z 1 z 3 z 1 z 4 z 1 z 1 z 3 z 4 z 1z 41z 4z 5 2 z 1 z 2 z 4 z 4 z 1 z 4 1z 5z 2 2 4.a Risolvere in le seguenti equazioni di secondo grado:1. x 2 12. 2x 2 4 03. x 2 2x 5 04.b Scrivere un’equazione di secondo grado a coefficienti reali che abbiacome radici i numeri 3 i e 3 i ..../....../....../...145

Capitolo7Equazioni di secondo gradoRisoluzione algebricaTest a risposta multipla per la classe secondaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Riportare in tabella le lettere corrispondenti alle risposte esatte.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201. Di quale delle seguenti equazioni il valore x 0 è soluzione?ab2. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?L’equazione 3x 2 1 0 èa impossibile 5x H b pura c incompleta d spuria3. Quale delle seguenti equazioni ha due soluzioni reali e opposte?a 3x 2 x 0c 3x 2 1 0b 3x 2 1 0d 3x 2 x 04. L’equazione x 2 8x 3 0 può essere riscritta:a 1x 42 2 3c 1x 42 2 9b 1x 42 2 19d 1x 82 2 675. Quale valore deve avere k affinché 1x 12 2 k sia equivalente a x 2 2x 1 0 ?a k 1b k 0c k 1d k 26. Quanto vale il discriminante dell’equazione 3x 2 x ?2 1 0a7. Se un’equazione di secondo grado ha discriminante nullo significa che:abcd x2 4 04x 2 4 04 11 4b 474 114ha due soluzioni opposte.ha il coefficiente del termine di primo grado uguale a zero.non ha soluzioni.le precedenti sono tutte false.cdcx 2 4x 04x 2 4x 44 0d 47 41468. Una sola delle equazioni seguenti ha radici reali la cui somma è 1. Quale?ab4x 2 4x 20 04x 2 4x 20 0cdx 2 4x 10 0x 2 4x 10 0© 2007 RCS Libri S.p.A.

9. Quale valore deve assumere k affinché l’equazione x 2 2kx 3 k 0 abbia radici realix 1, x tali che x 1 x 2 1 2 ?2ak 1 4bk 1ck 1dk 1 410. Quale delle seguenti equazioni ha le radici reciproche a x 1 1 x 2b ?a2x2 1 2 x 0c2x 2 1 2 0b2x 2 5x 2 0dnessuna delle precedenti11. Quale valore deve assumere il parametro k affinché il polinomio 3x 2 1k 22x 2 sia fattorizzabilein 13x 121x 22?ak 3k 212. Quali sono le soluzioni di x 1 x 1 3x ?xax 1 0; x 2 1 3bbcx 1 0; x 2 3k 113. Un’equazione del tipo ax 2 bx c 0 ha due radici positive se:bba 7 0 ¿ c a 6 0 ¿ ca b 6 0 ¿ 7 0cb 7 0 ¿ 7 0bd a 7 0 ¿ b 7 0 ¿ c 7 0 ¿ 7 0a 6 0 ¿ cbb 6 0 ¿ 6 0cdx 1 3nessuna delle precedentidx 1 1 314. Quali valori può assumere il parametro k affinché l’equazione 2x 2 4kx 1 0 abbia dueradici negative?a 5k 6 0b 5k 7 0c 5k 0d nessuna delle precedentic15. Di un polinomio di secondo grado del tipo bx c si sa che e Qualepuò essere una possibile scomposizione corretta?a 2 a 1.a a1x 12 2c a1x 221x 12b a1x 221x 12d a1x 221x 1216. Per l’equazione x 2 bx c 0 si ha 1x 1 121x 2 12 0 e 1x 1 12 1x 2 12 4 .Quanto valgono b e c?a b 0; c 4 b b 2; c 1 c b 4; c 0 d non si può determinare17. Affinché un’equazione di secondo grado ammetta radici reali deve risultare:a 7 0b 6 0c 0d 018. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Un trinomio di secondo grado ax 2 bx c:a si può annullare se e solo se b 2 4ac 0. c è sempre uguale a zero.b si annulla solo se b 2 4ac.d si annulla sempre in corrispondenza didue valori di x.19. Le soluzioni di 15x 2 3x 0 sono:a20. Le soluzioni di 4x 2 9 sono:ax 1 15; x 2 3x 1,2 2bbx 1 0; x 2 5x 1,2 3 2ccx 1 0; x 2 1 5x 1,2 2 3ddx 1 0; x 2 5x 1,2 3© 2007 RCS Libri S.p.A.147

Capitolo7Equazioni di secondo gradoInterpretazione graficaTest a risposta multipla per la classe secondaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Riportare in tabella le lettere corrispondenti alle risposte esatte.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131. Nella parabola in figura, di equazioney ax 2 bx c , quanto vale ?4aa 2 c 4,5b 6 d non si può calcolare dal grafico2. In riferimento al grafico, qual è l’equazionedell’asse di simmetria?ab3. In riferimento al grafico, quale può esserel’equazione della parabola?a y x 2 4x 2b y x 2 4x 4c y x 2 4x 2d y x 2 4x 44. In riferimento al grafico, quali sono i punti in cui f1x2 0 ?ab5. In riferimento al grafico, la traslazione che porta la parabola in Y aX 2 con a 6 0 è:ax 2x 012 26; 02, 12 26; 0210; 22e X x 2Y y 6cdy 6y 2ce X x 2Y y 6cd12 26; 0210; 2 262, 10; 2 262be X x 2Y y 6de X x 2Y y 66. Quale delle seguenti parabole è tangente all’asse x?ay 3x 2 6by 3x 2 3cy 3x 2 6xdy 3x 2 6x 3148© 2007 RCS Libri S.p.A.

7. L’equazione y 2x 2 4x 5 è equivalente all’equazione:ab8. Quale delle seguenti parabole tramite la traslazione e X x 1 si porta nella parabolaY 3X 2 ?Y y 3ab9. Quale delle seguenti affermazioni è falsa relativamente alle parabole di equazioney ax 2 bx c ?abcdOgni parabola è simmetrica rispetto a un asse.Ogni parabola è tangente a una retta orizzontale.Ogni parabola è contenuta in un semipiano.Ogni parabola è tangente a una retta verticale.10. Quale delle seguenti affermazioni è vera?Le parabole che hanno b 2 4ac 6 0 :aby 21x 12 2 3y 21x 12 2 3y 31x 12 2 3y 31x 12 2 3non esistono.hanno concavità rivolta verso il basso.non intersecano l’asse x. d non intersecano l’asse y.cdcdcy 21x 12 2 3y 21x 12 2 3y 3x 2 4y 3x 2 411. La parabola di equazione y 1x 32 2 1 ha asse di simmetria:ay 1bx 3cx 3dy 112. Quale valore deve assumere k affinché la parabola y 1x 12 2 k passi per l’origine degliassi?ak 1bk 0ck 1nessuna delle precedenti13. Quale valore deve assumere k affinché la parabola y 1k 12x 2 kx 2 abbia l’ascissadel vertice pari a 3 4 ?dak 3bk 4ck 4dk 3© 2007 RCS Libri S.p.A.149

Capitolo7Equazioni di secondo gradoNumeri complessiTest a risposta multipla per la classe secondaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Riportare in tabella le lettere corrispondenti alle risposte esatte.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121. I due numeri complessi z 1 3 i e z 2 i 3 sonoa coniugati b opposti c uguali d inversi2. Il coniugato di z 1 è:2 232 iz 1 z 1 z 232 232 23a 2 i b2 i c4 i3. Il prodotto di due numeri complessi e coniugati è:absempre pari a zerosempre pari a unocdsempre realesempre immaginariodz 2344.1i2 2 ai 2b1 c 1 d nessuna delle precedenti5. Quale delle seguenti affermazioni è vera?a I coefficienti della parte reale e della parte immaginaria di un numero complesso si possonosommare.b Due numeri complessi si possono sommare solo se sono uguali.c Due numeri complessi si possono sommare solo se sono opposti.d La somma di due numeri complessi e coniugati è sempre reale.6. Di quale delle seguenti operazioni 4 2i è il risultato?a 2 1i 22c 2 i 2b 21i 22d 12 i212 i27. Due numeri complessi sono tali che z 1 z 2 2 e z 1 3z 2 . Quale delle seguenti affermazioniè vera?a I due numeri sono uno reale e uno immaginario.b I due numeri sono immaginari.c I due numeri sono complessi e coniugati.d I due numeri sono entrambi reali.150© 2007 RCS Libri S.p.A.

8. Nel secondo quadrante del piano complesso vengono rappresentati i numeri complessi chehannoa parte reale nulla.b parte reale e parte immaginaria positive.c parte immaginaria positiva e parte reale negativa.d parte immaginaria negativa e parte reale positiva.9.1i a1b1 c id non è definito10. Quale dei seguenti numeri complessi il punto (1; 3) rappresenta sul piano?a3 ib1 3ic1 3id3i11. L’equazione x 2 4 0 ha soluzioni:ax 1,2 4ibx 1,2 2icx 1,2 2dx 1,2 412. Se 6 0 allora2 ai 2bi 2ci2di2© 2007 RCS Libri S.p.A.151

Capitolo7Equazioni di secondo gradoRisoluzione algebrica: verifica e prova strutturata a risposta multiplaObiettivi Verifica TestTeoria alparagrafo●●●●●●●●Ridurre un’equazione a forma normale (pura, spuria e completa) e individuareil valore dei coefficienti a, b, cRisolvere equazioni incomplete senza l’uso di formule risolutive e risolvereequazioni complete trasformandole nella forma (ax b) 2 rApplicare la formula risolutivaDiscutere il tipo di soluzioni tramite lo studio del segno del discriminanteRisolvere equazioni algebriche di secondo grado numeriche intere e fratteConoscere e applicare le relazioni esistenti tra i coefficienti dell’equazione informa normale e le soluzioniDiscutere un’equazione a coefficienti letteraliApplicare la regola di Cartesio per la determinazione del segno delle radiciFattorizzare un trinomio di secondo grado1.a; 2.a1.a; 2.a1.a; 2.a; 3.a3.a1.a; 2.a3.a3.a3.a2.a2, 19, 201, 3, 4, 5,19, 203, 66, 7, 17, 18128, 9, 10, 1613, 1411, 15§ 1§ 2, 3, 4, 5§ 6, 7§ 6§ 6, 7§ 11§ 9§ 12§ 10Soluzioni degli esercizitempo previsto: 60 min1.a 2.a 3.a1. x 1,2 3a2 9x2 3x 2 09 ax 1 3 b ax 2 3 ba2 k 0 ⇒ x 1 2d2 k 22. x 1 23. x 1,2 5 3 ; 0e2b2 a 9; b 3; c 2c2 a3x 1 2 b 2 9 4f2 1x 32ax 3 2 b 0g2 3x 2 x 0b2 k 7 1 3c2 k 1con k 0e2 imp.f 2 k 7 1d2 x 1 2 3 ; x 2 1 3Soluzioni quesiti prova strutturata a risposta multiplatempo previsto: 45 min1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20c d c b d b d a a b a c a d a b c a c b152© 2007 RCS Libri S.p.A.

Interpretazione grafica: verifica e prova strutturata a risposta multiplaObiettivi Verifica TestTeoria alparagrafo●●●●Costruire il grafico dell’equazione y ax 2 bx c e disegnare la relativaparabolaRisolvere equazioni incomplete e complete trasformandole nella forma(ax b) 2 rOperare con una traslazione per dedurre il grafico di y ax 2 bx cDeterminare le coordinate del vertice e l’equazione dell’asse di simmetria diuna parabolaRiconoscere l’influenza dei coefficienti a, b, c sul grafico della parabola e sulleintersezioni con l’asse xIndividuare segno e coordinate delle intersezioni della parabola con l’asse xDiscutere i grafici di equazioni algebriche di secondo grado parametriche infunzione dei valori assunti dal parametroApplicare la regola di Cartesio per la determinazione del segno delle radici1.a1.a1.a; 2.a1.a; 2.a1.a; 3.a1.a; 3.a3.a3.a375, 81, 2, 11, 136, 9, 104, 812, 13§ 8§ 2, 3, 4,5, 6, 7§ 8§ 8§ 8§ 8§ 9§ 12Soluzioni degli esercizitempo previsto: 60 min1.a 2.a3.aa2 V a 1 3 ; 4 3 b ; A 10;121. F; 2. F; 3. V; 4. F a2 k 1 1 y 2x 3b2 x 1 b2 k 2 1 y 3x 2 4x3c2 y 3 ax 1 23 b 4 c2 k 6 13d2 k 2e2 B a 1 3 ¡ k 13 ; 0b ; C 11; 02 e2 k 6 1 ¡ k 7 2d2f 2 1 k 2Soluzioni quesiti prova strutturata a risposta multiplatempo previsto: 30 min1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13b a c a a d d b c b b c d© 2007 RCS Libri S.p.A.153

Numeri complessi: verifica e prova strutturata a risposta multiplaObiettivi Verifica TestTeoria alparagrafoIdentificare la parte reale e la parte immaginaria di un numero complessoRappresentare un numero complesso sul pianoDefinire un numero complesso; l’opposto e il coniugato di un numero complessoOperare con i numeri complessiRisolvere equazioni in 1.a1.a2.a3.a4.a; 4.b8, 101, 23, 4, 5, 6, 7, 9,1211§ 14§ 14§ 14§ 14§ 14Soluzioni degli esercizitempo previsto: 60 min1.a2.a 3.a 4.a 4.b5z 1 3 2i z 1 3 2i3 12 122 i3 2i 1. x 1,2 i x 2 6x 10 0z 2 12i z 2 12i 13iz z 3 4 3 4 2 3 3 2. x 1,2 i 122 i 3. x 1,2 1 i333135 1 a 3 22 13b iz 4 13 z 4 132 1 2 1 2 i 2 i 213 2 3 3 iz 5 iz 5 i313z 6 3 2i z 6 3 2i 1 a 3 22 13 b iz 4i12Soluzioni quesiti prova strutturata a risposta multiplatempo previsto: 30 min1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12b a c b d b d c c c b d154 © 2007 RCS Libri S.p.A.