I triangoli

Capitolo2I triangoliCriteri di congruenza - Triangoli isosceliVerifica per la classe primaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CongruenzaTriangolo isosceleTeoremaQuesiti1861.a Scrivere l’enunciato dei tre criteri di congruenza dei triangoli.2.a Definire il triangolo isoscele e scriverne le proprietà principali.3.a In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angoloal vertice coincide con l’altezza relativa allabase.1. Scrivere l’enunciato del teorema utilizzandola formulazione “Se... allora...”.2. Indicare ipotesi e tesi del teorema utilizzandole lettere presenti nella figura.3. Completare la dimostrazione:Si considerino i due triangoli ........ e ......... formati dalla bisettrice.I due triangoli sono ............. per il ......... criterio di ............... perchéhanno:– ......... ......... per .............– ......... ......... per .............– ......... ......... per .............Allora avranno ........... anche gli altri elementi corrispondenti, e inparticolare ......... ........., che essendo uguali e supplementari sonoanche retti, c.v.d.4. Scrivere il teorema inverso del teorema dell’esercizio 3.a.5. Riscrivere i due teoremi unitamente, utilizzando la locuzione“Condizione necessaria e sufficiente”.3.b Facoltativo. Dimostrare il teorema inverso.4.a Vero o falso?Due triangoli sono congruenti se hanno:1. tre angoli uguali.2. tre lati uguali.3. due lati e la mediana relativa a uno di essi uguali.Se due triangoli sono congruenti allora:4. le mediane corrispondenti sono congruenti a due a due.5. le bisettrici corrispondenti sono congruenti fra loro.6. In ogni triangolo isoscele le bisettrici coincidonocon le altezze.7. Il triangolo isoscele ha tutte le altezze congruenti.8. Un triangolo può essere contemporaneamente isoscelee rettangolo.VVVVVVVVFFFFFFFFPunti.../....../....../....../....../....../....../....../....../...© 2007 RCS Libri S.p.A.

I triangoliCapitolo2Criteri di congruenzaVerifica per la classe primaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Problema. Costruendo segmenti congruenti sui prolungamenti dei lati di un triangoloequilatero nello stesso verso si ottengono triangoli equilateri.1. Disegnare un segmento AB con lo strumento Segmento .2. Disegnare, con centro rispettivamente A e B e raggio AB, due Circonferenze .3. Determinare con Intersezione di due oggetti le intersezioni tra le due circonferenze.4. Dare un nome alle intersezioni con Nomi (iniziando da C...).5. Verifica della costruzione5.a Quante intersezioni vi sono tra le due circonferenze?5.b Quanti triangoli si possono costruire congiungendo A e B con le intersezioni?6. Congiungere gli estremi del segmento AB con C per formare il triangolo ABC e con lostrumento Mostra/Nascondi nascondere le due circonferenze che sono servite percostruire il triangolo ABC.7. Misurare la lunghezza di AB, BC e AC con Distanza e lunghezza :AB ...; BC ...; AC ... .8. Misurare l’angolo ABˆC con Misura dell’angolo : ABˆC ... .9. Verifica della costruzione9.a Muovendo il punto B sul foglio di lavoro, come variano le misure trovate?9.b Fornire una dimostrazione del fatto che il triangolo così costruito è equilatero.9.c Volendo costruire un triangolo isoscele di base AB, ma non equilatero, quale passaggiodella costruzione precedente va modificato?10. Prolungare i lati del triangolo ABC con lo strumento Retta .11. Sulla retta passante per il lato AB, esternamente al lato AB e dalla parte di B, posizionareil punto D con Punto su un oggetto .12. Sui prolungamenti degli altri lati riportare la lunghezza del segmento BD conCompasso , determinando così i segmenti CE e AF.13. Congiungere D, E e F per formare il triangolo DEF.14. Verifica della costruzione14.a Muovere il punto D sulla costruzione. Come variano le lunghezze di FD, DE e EF?14.b Che tipo di triangolo è DEF?14.c Fornire una dimostrazione. (I triangoli BDE, CEF e AFD sono congruenti perché...)14.d Se il triangolo ABC anziché equilatero fosse stato soltanto isoscele, il triangoloDEF sarebbe stato isoscele?14.e Muovere il punto D sulla figura fino a che AB BD. Misurare i perimetri 2p DEFe 2p ABC e le aree DEF e ABC con Area .14.f Stabilire quale delle relazioni è corretta:a DEF a 2p 2DEFb ABC 2p ABCb DEF a 2p 2ABCb ABC 2p DEFca 2DEFb 2p DEF ABC 2p ABCdPunti.../....../....../....../....../....../....../....../....../....../....../... DEF ABC 2p DEF2p ABC© 2007 RCS Libri S.p.A.187

Capitolo2I triangoliDisuguaglianze triangolariVerifica per la classe primaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Problema. Sia P un punto interno al triangolo equilatero ABC e siano PD, PE e PF i segmentidi perpendicolare che da P vengono mandati ai lati del triangolo ABC. Determinarela regione del triangolo ABC a cui deve appartenere P affinché PD, PE e PF siano essistessi i lati di un triangolo.1. Disegnare un Segmento AB.2. Costruire sul segmento AB un triangolo equilatero ABC di lato AB utilizzando gli strumentiCirconferenza e Intersezione di due oggetti .3. Verifica della costruzione3.a Spostare con il mouse il punto B sul foglio di lavoro per verificare che il triangoloABC si mantenga equilatero.3.b Esiste in Cabri uno strumento che permette di disegnare direttamente un triangoloequilatero? Si potrebbe utilizzare in questo caso?4. Disegnare un punto P internamente al triangolo ABC, tracciare da questo punto le Retteperpendicolari ai lati del triangolo e determinare le intersezioni con essi.5. Chiamare D, E e F i punti in cui le perpendicolari intersecano i lati del triangolo.6. Verifica della costruzione6.a Muovere il punto P all’interno del triangolo ABC e verificare chePDA ˆ ........ .Costruzione del triangolo di lati PD, PE e PF7. Con lo strumento Compasso costruire sul foglio di lavoro, a fianco del triangoloequilatero ABC, un segmento LM di lunghezza pari a PD.8. Con centro negli estremi del segmento LM riportare con Compasso due circonferenzedi raggio pari a PE e PF rispettivamente.9. Le due circonferenze si intersecano? Se sì, chiamare N uno dei due punti di intersezionee disegnare il triangolo LMN con Triangolo . Se no, spostare il punto P nel triangoloABC.10. Dopo aver costruito il triangolo LMN, iniziare a muovere con il mouse il punto P perindividuare i punti che all’interno del triangolo ABC danno origine al triangolo LMN.11. Teoria11.a Perché alcune volte il triangolo LMN non si forma? È un errore di Cabri, un inconvenientedovuto alla nostra costruzione oppure il triangolo non può esistere?11.b Quale relazione deve sussistere tra tre segmenti qualsiasi affinché si formi untriangolo?12. Quesiti sulla costruzione12.a Dove si deve trovare il punto P affinché il triangolo LMN sia equilatero?12.b Dove si deve trovare il punto P affinché il triangolo LMN sia isoscele?12.c Dove si deve trovare il punto P affinché il triangolo LMN esista ma abbia superficienulla?13. Qual è la regione interna ad ABC in cui si forma comunque un triangolo LMN?Disegnare la figura.Punti.../....../....../....../....../....../....../....../....../....../...188© 2007 RCS Libri S.p.A.

I triangoliCapitolo2Rette parallele - Triangoli rettangoliVerifica per la classe primaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ParallelismoAngoliesterniTriangolirettangoli© 2007 RCS Libri S.p.A.1.a Con riferimento alla figura, indicare:a) le coppie di angoli corrispondenti;b) le coppie di angoli coniugati interni ed esterni;c) le coppie di angoli alterni interni ed esterni.1.b Le due rette in figura sono parallele se:1. 4 e 5 sono....................... 4. 7 e 3 sono.......................2. 3 e 5 sono....................... 5. 5 e 2 sono.......................3. 7 e 1 sono....................... 6. 7 e 2 sono.......................2.a Quale delle seguenti affermazioni è vera (a, b, c sono sullo stesso piano)?a Se a non è b e b non è c, allora a non è c.b Se a non è › b e b non è › c, allora a non è › c.c Se a › b e b › c, allora a › c.d Se a b e b c, allora a c.3.a Dimostrare il seguente teorema:Una retta parallela a un lato di un triangolo equilatero forma con glialtri lati (o con i loro prolungamenti) un triangolo equilatero.(Utilizzare il criterio di parallelismo)4.a Quale delle seguenti affermazioni è falsa?a Se un triangolo ha due angoli esterni ottusi allora non è rettangolo.b In un triangolo due angoli esterni sono sempre ottusi.c Un triangolo non può avere due angoli interni o esterni retti.d Un triangolo può avere un solo angolo interno ottuso.4.b Quale delle seguenti affermazioni è vera?a La somma degli angoli interni di un quadrilatero è pari a 360° see solo se il quadrilatero è convesso.b Le somme degli angoli esterni di un quadrangolo e di un pentagonoentrambi convessi sono sempre uguali.c Gli angoli esterni di un triangolo rettangolo formati sui prolungamentidell’ipotenusa sono complementari.d Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore della somma degliangoli interni a esso non adiacenti.5.a Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamentecongruenti:1. un cateto e un angolo qualsiasi.V F2. l’altezza e la mediana relativa all’ipotenusa.V F3. l’altezza relativa all’ipotenusa e l’ipotenusa.V F4. la mediana relativa all’ipotenusa e l’ipotenusa.5.b Facoltativo. Dimostrare il seguente teorema:V FDue triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto e la bisettricedell’angolo retto rispettivamente congruenti.Punti.../....../....../....../....../....../....../....../...189

Capitolo2I triangoliRette parallele - Triangoli rettangoliVerifica per la classe primaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Problema. Due rette r ed s sono incidenti, ma il loro punto d’intersezione cade fuori deimargini del foglio di lavoro. Misurare l’angolo convesso rŝ formato da r ed s.Costruire la bisettrice di tale angolo.1. Disegnare sul foglio di lavoro due Rette non parallele r ed s tali che il punto P incui si intersecano cada fuori del foglio di lavoro.2. Fissare sulla retta r un punto A con lo strumento Punto su un oggetto .s 23. Tracciare la retta passante per A e parallela a s con lo strumento Retta parallela .4. Misurare l’angolo formato da ed r: Misura dell’angolo sˆ2 r ........ .5. Verifica della costruzione / Teoria5.a Facoltativo. Invece di utilizzare lo strumento Retta parallela presente suCabri, descrivere un procedimento per la costruzione di una retta parallela a unaretta data.5.b Quale relazione sussiste tra l’angolo sr ˆ e l’angolo sˆ2 r ? Perché?5.c Quanto misura l’angolo sr ˆ ?6. Tracciare la retta bisettrice dell’angolo sˆ2 r utilizzando il pulsante Bisettrice .b 27. Verifica della costruzione / Teoria7.a Facoltativo. Descrivere un procedimento che porti alla costruzione della bisettricesenza dover utilizzare le macro contenute in Cabri.7.b Quale relazione sussiste tra la bisettrice e la bisettrice b dell’angolo sr ˆ ?n 2 9. Chiamare B l’intersezione della con la retta s, utilizzando lo strumento Nomi .8. Con Retta perpendicolare tracciare la retta perpendicolare a b 2 e passanteper A.10. Determinare il punto medio del segmento AB con il comando Punto medio .11. Verifica della costruzione / Teoria11.a Facoltativo. Descrivere un procedimento che porti alla costruzione del puntomedio di un segmento senza dover utilizzare le macro contenute in Cabri.11.b Quale relazione sussiste tra la bisettrice di sr ˆ e il segmento AB?12. Disegnare la bisettrice b dell’angolo sr ˆ .s 213. Verifica della costruzione13.a Preso un punto qualsiasi sulla retta b determinare le distanze di tale punto dalledue rette.13.b Come sono tra loro queste distanze?13.c Facoltativo. Fornire una dimostrazione di quest’ultimo risultato.b 2n 2Punti.../....../....../....../....../....../....../....../....../....../....../...190© 2007 RCS Libri S.p.A.

I triangoliCapitolo2Triangoli - Rette parallele - DisuguaglianzeTest a risposta multipla per la classe primaCOGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Riportare in tabella le lettere corrispondenti alle risposte esatte, fornendo una giustificazione allerisposte.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 191. Date le rette r ed s tagliate dalla trasversale t, indicare quale tra leseguenti rappresenta una coppia di angoli corrispondenti:a(1; 2) b (3; 5) c (5; 1) d (4; 5)2. Con riferimento al quesito 1, indicare quale tra le seguenti rappresentauna coppia di angoli coniugati:a (1; 2) b (3; 5) c (5; 1) d (4; 5)3. Le bisettrici di una coppia di angoli corrispondenti formati dadue rette parallele tagliate da una trasversale sono:a parallele.c coincidenti.b perpendicolari. d dipende dall’ampiezza degli angoli.4. Uno dei seguenti enunciati è falso.a Un angolo esterno di un triangolo può essere congruente a un angolo interno a esso adiacente.b Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.c La somma degli angoli esterni di un triangolo è pari alla somma degli angoli interni.d Ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno a esso non adiacente.5. Quale dei seguenti enunciati è falso?Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti:a gli angoli alla base.c i lati obliqui e l’angolo al vertice.b un lato obliquo e la base.d la base e un angolo esterno.6. Con riferimento alla figura, uno dei seguenti enunciati è falso.a CH è la proiezione ortogonale di BC sulla retta AC.b H è la proiezione ortogonale di B sulla retta AC.c BH è la distanza di B dalla retta AC.d AH è la distanza di AC da BH.7. Con riferimento al quesito 6, la distanza di B da AC è:a AB b AH c BH d AC8. La proiezione ortogonale di un segmento non nullo su una retta è:a un punto, se il segmento è alla retta. c un segmento, se il segmento è › alla retta.bun punto, se il segmento è › alla retta.dsempre un punto.© 2007 RCS Libri S.p.A.191

9. Quale dei seguenti enunciati è falso?La distanza di un punto P da una retta:apuò assumere qualsiasi valore reale.bcdè la lunghezza minima del segmento che ha come estremi il punto e un punto sulla retta.è la lunghezza del segmento di perpendicolare condotta dal punto alla retta.è nulla se il punto si trova sulla retta stessa.10. La bisettrice di un angolo interno di un triangolo:abcddivide il lato opposto in due parti uguali per qualsiasi triangolo.divide il lato opposto in due parti disuguali per qualsiasi triangolo.può non incontrare il lato opposto.non soddisfa nessuna delle precedenti.11. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?In un triangolo scaleno l’altezza relativa a un lato è sempreabcdminore della mediana corrispondente allo stesso lato.minore della bisettrice corrispondente allo stesso lato.minore del lato corrispondente.minore di ciascuno dei lati adiacenti.12. In un triangolo qualsiasi si congiunga il vertice C con un punto P qualsiasidel lato opposto. Quale delle seguenti affermazioni è vera?abcdCP è sempre minore di CB.CP è sempre minore dell’altezza CH.CP è sempre minore del semiperimetro.CP può essere maggiore del semiperimetro.13. Con riferimento al triangolo in figura, quale delle seguenti affermazioniè vera?a DBC ˆ 6 BAC ˆc DBC ˆ 6 ACB ˆb DBC ˆ 6 BAC ACB ˆd nessuna delle precedenti14. In un triangolo isoscele:abcdle altezze relative ai lati obliqui sono sempre minori dell’altezza relativa alla base.le altezze relative ai lati obliqui sono sempre minori della base.le altezze relative ai lati obliqui possono essere maggiori dei lati obliqui.le tre altezze sono sempre uguali.15. Considerando un triangolo ABC, quale delle seguenti affermazioni è falsa?a AC AB 6 BCc AC AB 7 BCb AC 6 AB BCd AC 7 AB BC16. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?In un triangolo rettangolo:abcdl’ipotenusa è sempre maggiore di ciascun cateto.l’ipotenusa è sempre opposta all’angolo maggiore.l’ipotenusa è sempre adiacente all’angolo minore.l’ipotenusa è sempre adiacente all’angolo maggiore.192 © 2007 RCS Libri S.p.A.

17. Quale dei seguenti triangoli esiste?abAB 12; BC 5; AC 6 c AB 12; BC 20; AC 6AB 12; BC 16; AC 5 d AB 12; BC 16; AC 3018. Quale dei seguenti triangoli esiste?abcd19. Due triangoli hanno due lati corrispondenti congruenti: AB AB 7 e AC AC 6.Quale delle seguenti affermazioni è vera?abcdBC 4,6; AC 8,22; Bˆ 30°;  116°BC 4,06; AC 8,22;  70°; Bˆ 116°BC 8,22; AC 4,06; Bˆ 90°; Ĉ 60°BC 4,6; AC 8,22; Bˆ 116°;  30°I due triangoli sono congruenti.Se  7 ¿ solo uno dei due triangoli esiste.Se  7 ¿Se  7 ¿allora BC 7 B¿C¿.allora B¿C¿ 7BC.© 2007 RCS Libri S.p.A.193

Capitolo2I triangoliCriteri di congruenza - Triangoli isosceli: verifica,prova strutturata a risposta multipla e laboratorio di CabriObiettivi Verifica Test●●Conoscere/Applicare i criteri di congruenza dei triangoliClassificare i triangoli in isosceli, scaleni, equilateriDimostrare/Applicare semplici proprietà del triangolo isoscele1.a; 3.a; 4.a2.a; 3.a; 4.a3.a; 3.b; 4.a 5, 10Lab.Cabri★★★Teoria alparagrafo§ 3§ 1§ 3Soluzioni degli esercizi3.a1. F; 2. V; 3. V; 4. V; 5. V; 6. F; 7. F; 8. Vtempo previsto: 60 minRette parallele - Triangoli rettangoli: verifica,prova strutturata a risposta multipla e laboratorio di CabriObiettivi Verifica Test●●●●Riconoscere angoli alterni, coniugati, corrispondenti1.aDimostrare/Applicare il criterio di parallelismo1.b; 2.a; 3.aConoscere le proprietà della relazione di parallelismo3.aDimostrare/Applicare teoremi sull’angolo esterno e sulla somma degli 4.a; 4.bangoli interniDimostrare/Applicare i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli 5.a; 5.bCostruire il segmento che identifica la distanza di un punto da una rettaCostruire la proiezione ortogonale di un segmento su una retta1, 2, 346, 7, 9, 116, 8Lab.Cabri★★Teoria alparagrafo§ 4§ 4§ 4§ 5§ 6§ 7§ 7, 9Soluzioni degli esercizitempo previsto: 60 min3.a 4.a 4.b 5.ad a b 1. F; 2. V; 3. V; 4. FDisuguaglianze triangolari: prova strutturata a risposta multipla e laboratorio di CabriObiettiviTestLab.CabriTeoria alparagrafoDimostrare/Applicare i teoremi sulle disuguaglianze triangolariDimostrare/Applicare semplici proprietà del triangolo isoscele12, 13, 15, 16, 17,18, 1914★★§ 8§ 3Soluzioni laboratorio di Cabritempo previsto: 60 minLa regione in cui si forma comunque il triangolo LMN è il triangolo equilatero avente i vertici sui punti medi del triangoloABC.Soluzioni quesiti prova strutturata a risposta multiplatempo previsto: 45 min1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19c d a c a d c b a d c c d b a d b d c194© 2007 RCS Libri S.p.A.