CONJJECTURE D’’EDGEWORTH

(i) (Egoïsme) : Soient deux allocations de l’économie de production en coalitions µ
et η et une coalition S !B(I)\N. Si µet η coïncident sur la sous-tribu S ! B(I) alors les agents de la
coalitions S ne différencient pas dans leurs préférences µ et η : P S (µ)=P S (η) et µ!P S (α) ! η! P S (α).
α f µ ! α f η.
S
Une autre manière de le dire est que si ! S! B(I)\N , si µ S =η S alors µ f α ! η f α et
S
(ii) La correspondance Y : S ! Y(S) est mesurable et absolument continue par
rapport à la mesure λ 9 et à valeurs convexes compactes 10
10 .
S
S
Aumann.
Alors une économie de production en coalition est équivalente à une économie libérale à la
Preuve :
Il est évident qu’une économie à la Aumann admet une représentation équivalente à la Vind.
Montrons maintenant la réciproque :
- Il suffit de montrer que toute production possible pour une coalition S, z!Y(S) peut être atteint par
l’intégrale d’une sélection y prenant valeur dans I. Y est mesurable donc d’après le théorème de
représentation de Castaing, il existe une suite de sélections mesurables (f n ) n telle que tout élément z
de l’image Y(S) se trouve à une distance (de Hausdorff) inférieure 1/n de l’un des f n (S). f n (S) !
z!Y(S). La limite de la suite f n est une fonction mesurable f. Nécessairement, f(S)=z! Y(S)
Considérons maintenant la sélection f : Y est absolument continue par rapport à λ, ce qui
signifie que f est absolument continue par rapport à λ. Il existe donc une dérivée y de Radon-Nikodym
de f telle que f(S)=
!
y ( i)
" d# ( i)
. C.Q.F.D.
correspondances.
S
Nous utilisons ici une version simple du théorème de dérivation de Radon-Nikodym pour les
(iii) Remarque importante : En fait, la proposition 1 montre de manière explicite
que si Y est mesurable et λ -absolument continue, elle est riche en
sélections
mesurables et λ-absolument continues.
II.5.b: Proposition osition 2
On appelle sélection d’une correspondance quelconque Y:Ω=B(I) ! 2 Ε , une application
y: Ω ! Ε, telle que y(S)!Y(S) ! S!Ω.
9 λ(S)=0! Y(S)={0}, ! S! B(I).
10 En fait, la compacité faible est suffisante mais nécessiterait plus de travaux techniques.
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