CONJJECTURE D’’EDGEWORTH

I.1.b: La rationalité pour l’organisation sociale liée au noyau (Core
Situation)
Pour bien montrer que le noyau n’est pas, en général, stable extérieurement, selon la relation
de domination qu’on évoquait précédemment (et qui se rapporte à la définition originelle de
l’ensemble stable de Von Neumann-Morgenstern), donnons un exemple simple :
Le jeu sous-forme caractéristique prend la forme suivante 4 :
v(i)=0, i=1,2,3, v({1,2})=3/4, v({1,3})=1/2, v{(2,3)}=1/4, v({1,2,3})=1. Le noyau s’obtient :
- x 1 +x 2 +x 3 =1 et x 1 +x 2 ! 3/4 =>x 3 ! 1/4, de la même manière par permutation, x 2 ! 1/2, x 1 ! 3/4.
- x 1 +x 2 ! 3/4, et x 1 +x 2 ! 5/4 (réduit à x 1 +x 2 ! 1), x 1 +x 3 ! 1/2 et x 1 +x 3 ! 1, x 2 +x 3 ! 1/4 et x 2 +x 3 ! 3/4.
Le noyau
x 2 =0
x 1 =1
x 1 =3/4 ou
x 2 +x 3 =1/4
x 3 =0
x 1 =1/4 ou
x 2 +x 3 =3/4
x 1 =0
x 2 =1/2
x 3 =1/4
Paiements
non dominés
par le noyau
Le noyau (la portion entourée du haut) est constitué des paiements qui ne peuvent être
dominés par aucun autre : C(N,v)={[ 1 3 1
, ] [ 0, ]!
[ 0 , ]
4
4
! et x 1 +x 2 +x 3 =1 }. Cependant, la portion
1 3 1
entourée plus bas Δ(v)={(x 1 ,x 2 ,x 3 )/x 2 ! 1/2, x 3 ! 1/4, x 1 =1-x 2 -x 3 }= {[ 1 " x " x ]!
[ , ]!
[ ]
2
4
1
1
2 3
,
2 4 4 2
} ne peut
être dominée par aucun paiement appartenant au noyau. Le noyau n’est pas extérieurement stable au
sens originel de Von Neumann Morgenstern.
Nous exhibons maintenant une autre organisation sociale (une autre relation de domination)
pour laquelle le noyau est stable extérieurement. Soit ε une organisation sociale (c’est à dire pour
simplifier, la donnée d’un ensemble de joueurs N, et de paiements réalisables pour chaque coalition
4 On dira que le jeu est avec paiements latéraux lorsque la valeur d’une coalition peut être distribuée sans
restriction entre ses membres (une augmentation du paiement d’un membre se traduirait par une diminution du
paiement d’un autre). Le jeu précédent, par exemple, n’appartient pas à cette classe.
Un jeu avec transfert d’utilité est un jeu où les paiements des membres des coalitions peuvent être sommés. Une
condition nécessaire (mais non suffisante) est qu’ils aient la même unité de valeur 4 . Dans ce cas, V(S) est
entièrement déterminée par sa borne supérieure v(S) : V(S)={(x i ) i! S/ ! x i ! v(S)}.
i"S
On notera désormais Γ=(N,v) un jeu avec transfert d’utilité.
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