CONJJECTURE D’’EDGEWORTH

( ιι) p est positif : µ+α ! w f I µ , d’après l’hypothèse de monotonie, par conséquent
p! (µ+α! w)(I)-p! w(I)-p ! y(I) ! 0 avec µ(I)=w(I)+y(I) ce qui donne :
p! (α! w)(I) ! 0, ! α ! 0. C.Q.F.D
(iii) (µ,y,p) est un équilibre de Walras
Il faut montrer que :
p! y ! p! Y(S), ! S! B(I) (Maximisation du profit pour chaque coalition).
p! µ(S) ! p! w(S)+p! y(S), ! S!B(I) (Contrainte budgétaire de chaque coalition)
! S!B(I)\N, η f S µ ! p! {η(S)- w(S)}>p! Y(S)
(Toute allocation préférée par une coalition excède son budget)
Etape 1 : Vérification des deux premières assertions :
Soit
!
"
0
S (.)=µ(.)+α ! w(. ! S 0 ) alors η f S µ, ce qui signifie p! " !
0
S 0
(S 0 ) ! p! w(S 0 )+p! Y(S 0 ). Quand α
! 0 + , p! µ(S 0 ) ! p! w(S 0 )+p! Y(S 0 ) et cette inégalité est valable pour toute coalition S 0 .
toute coalition) :
Prouvons maintenant qu’il y a égalité pour la sélection particulière y qui « réalise » µ (pour
Supposons qu’il existe une coalition S 0 , appartenant àB(I) pour laquelle l’inégalité est
stricte pour la sélection particulière y :
p! µ(S 0 )> p! w(S 0 )+p! y(S 0 ), pour son complémentaire p ! µ(I\S 0 ) ! p! w(\S 0 )+p! y(I\S 0 ) ce qui
donne p! µ(I)> p! w(I)+p! y(I). Contradiction puisque µ est faisable µ(I)=w(I)+y(I).
Par conséquent, p! µ(S)=p! w(S)+p! y(S), ! S! B(I)\N.
La condition budgétaire (ii) pour l’équilibre de Walras est remplie. Pour la condition de
maximisation du profit (i) : rappelons que : p! µ(S) ! p! w(S)+p! Y(S) et p! µ(S)=p! w(S)+p! y(S),
C.Q.F.D.
Il reste à vérifier la dernière condition (iii) :
Etape 2 : S! B(I)\N, η f µ ! p! η(S)>p! w(S)+p! Y(S).
S
Supposons par l’absurde que cette affirmation soit fausse. Alors à cause de ce qui précède, il
existerait une sélection y telle que p! η(S)=p! w(S)+p! y(S). Or les correspondances de préférences
strictes (pour chaque coalition S) sont semi-continues inférieurement. Ce qui signifie que comme
lim" % 1 $ " #!(
S)
=η(S), il existe un ε n tel que ε n ! η f S µ, pour n assez grand. Par conséquent :
p! ε n ! η(S) ! p! w(S)+p! y(S)=p! η(S). Contradiction puisque ε