CONJJECTURE D’’EDGEWORTH

On dit qu’une correspondance Y est riche en sélections ayant une propriété quelconque (π)
lorsque (par définition) pour tout S! B(I) et z! Y(S), il existe une sélection f possédant la propriété
(π) passant par z en S: (π) est vraie pour f et z=f(S).
(1) Corollaire : Si une correspondance de production Y est riche en sélections
absolument continues par rapport à λ alors Y est additive .
Nous rappelons d’après la remarque qui précède que si la correspondance est λ-absolument continue
alors elle est riche en sélections absolument continues.
Preuve :
On doit montrer que Y(S 1 ! S 2 ) ! Y(S 1 )+Y(S 2 )
Soit z! Y(S 1 ! S 2 ), alors à cause de l’hypothèse de richesse, il existe une sélection f absolument
continue par rapport à λ et donc elle admet une dérivée de Radon-Nikodym y par rapport à λ et sa
dérivée de Radon-Nikodym y telle que :
z=
"
y(
i)
$ d!
( i)
=
"
y(
i)
# d!
( i)
+
"
y(
i)
# d!
( i)
=f(S 1 )+f(S 2 )!Y(S 1 )+Y(S 2 ). C.Q.F.D
S1#
S2
S1
S2
(i) Remarque importante
Cette additivité exclut les technologies de production à rendements strictement croissants.
Lorsque les rendements sont croissants, le noyau est non-vide en général mais l’équilibre compétitif
peut ne pas exister. Ainsi, l’équivalence entre une économie « libérale » et l’économie de production
en coalitions ne s’étend pas aux technologies de production à rendements d’échelle strictement
croissants, ce qui est parfaitement intuitif. Les technologies de production de biens publics ne vérifient
pas non plus cette « additivité ».
II.5.c: Théorème de convergence d’Edgeworth pour une économie de
production néo- classique
1/ Soit une économie de production libérale à la Aumann ε :={X i , f
i
, w i , Y i } avec (I, B(I), λ)
l'espace non-atomique des agents.
Si :
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