CONJJECTURE D’’EDGEWORTH

K µ =
U
" # = { ( S) / + f !}
F ( , S ) PS
(!)
B ( I )
S!
N
!
'
&
!%
U
B ( I )
S)
!
$
+ S (*(
S)
( Y ( S)
# = qui est le pendant de
N
!"
Δ w P i (x i ) dans la démonstration originelle d’Aumann. On notera que w(S)+Y(S)=F(ε,S). La différence
est que pour les démonstrations des théorèmes usuelles d’Aumann on utilise la somme à la place de la
réunion (car dans une économie d’échange les ensembles de possibilités d’échange sont
additives,! x i # w i =0).
i"
S
IV.1.a: Lemme Basile [1993]
(i) Supposons que la correspondance de production Y : S ! Y(S) soit riche en
sélection absolument continue alors : pour tout élément µ du noyau de ε , s’il existe
p ! 0, tel que p ! K µ ! 0, , alors il existe une production y tel que (µ, y, p) est un
équilibre de Walras.
p! K µ ! 0 signifie qu’avec le prix p toute « S-allocation » (réalisable ou non) que S préfère à
µ égale ou excède son budget.
Preuve :
On note w(S)=
!
w ( i)
" d# ( i)
et pour une sélection y de Y, (par un abus qu’on comprendra, on
S
notera de la même manière y et sa dérivée de Radon-Nikodym “y” ) y(S)=
!
y ( i)
" d# ( i)
.
Comme µ est faisable (par hypothèse), il existe une production y(I) telle que µ(I)=w(I)+y(I).
Par hypothèse, il existe un prix p tel que :
p! K µ ! 0 15 , (ce qui signifie que pour les éléments de K µ , le budget pour le prix p est dépassé ou égalé,
on montrera en fait que pour un µ réalisable ce budget sera égalé).
S
!
'
& U
B ( I ) !% S)
p! η(S) ! p! w(S)+p! Y(S) dès que η f S µ
15 Une petite remarque utile : p! { { ( S) /*
f !}
!
$
* S ( w(
S)
( Y ( S)
# } ! 0, s’écrit aussi :
N
!"
p! η ! p! w + p! y, si S! B(I)\N. et η f S µ, mais cette inégalité est vraie pour toute sélection y(S) appartenant
à Y(S), donc elle est vraie pour y(S)=0.
p! η ! p! w :
!
'
&
!%
U
!
$
* S ( w(
S)
# } ! 0
)
N
!"
p! { { ( S) /*
f !}
B ( I
S)
16